【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版高考专题突破五第1课时范围、最值问题学案
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
解 (1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝.
由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，解得yH＝.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组
消去y，解得xM＝.
在△MAO中，由∠MOA≤∠MAO，得|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋y≤x＋y，
化简，得xM≥1，即≥1，
解得k≤－或k≥.
所以直线l的斜率的取值范围为∪.
思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
(1)证明 设P(x0，y0)，A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴．
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝.
因为x＋＝1(－1≤x0<0)，
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )
A．2 B. C．4 D．2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用均值不等式或二次函数求最值
例4 (2018·大连模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点M在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
解 (1)由题意，得a－c＝b，则(a－c)2＝b2，
结合b2＝a2－c2，得(a－c)2＝(a2－c2)，
即2c2－3ac＋a2＝0，亦即2e2－3e＋1＝0，
结合0
0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以线段AB的中点N的坐标为，
因为点N在直线y＝x上，
所以－＝2×，
解得k＝－.
所以Δ＝48(12－m2)>0，解得－20，①
将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②
由①②得m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，则t2∈.
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立，此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，
解得－0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2]
答案 C
解析 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，
所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，
∴|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.
又e>1，所以10)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D．1
答案 A
解析 由题意可得F，设P(y0>0)，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6．已知M，N为双曲线－y2＝1上关于坐标原点O对称的两点，P为双曲线上异于M，N的点，若直线PM的斜率的取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
答案 C
解析 设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(m，n)(m≠±x0)，则kPM＝，kPN＝.因为点P，M，N均在双曲线－y2＝1上，所以－n2＝1，－y＝1，两式相减得－(n－y0)(n＋y0)＝0，化简得·＝，即kPM·kPN＝，又≤kPM≤2，
即≤≤2，解得≤kPN≤，故选C.
7．椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.
8．(2018·沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
答案 (0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
答案
解析 由题意，得△ABF2的周长为32，
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，
∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，
∴＝32－4a，∴b＝(00，
所以4k2－m2＋3>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得
所以y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m
＝k(x1＋x2)＋2m
＝2m－＝，
所以＝，＝，
所以线段AB的中点坐标为，
当k＝0时，弦AB的中垂线为y轴，此时x0＝0，
当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－，
把点P(x0,0)代入上面的方程得
x0(3＋4k2)＝－km.
所以m＝－，代入4k2－m2＋3>0.
整理得x<，令k2＝t(t>0)，
x<＝＝<，
综上，－b>0)与抛物线E：y2＝2px(p>0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.
(1)求椭圆C及抛物线E的方程；
(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解 (1)∵P是抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点，
∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x，F(1,0)，
∴a2－b2＝1.
又∵P在椭圆C：＋＝1上，
∴＋＝1，结合a2－b2＝1知b2＝3(舍负)，a2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8.
②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－(x－1)，
由
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由弦长公式知
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝.
同理可得|CD|＝4(k2＋1)．
∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|
＝··4(k2＋1)
＝.
令t＝k2＋1，t∈(1，＋∞)，
则S四边形ACBD＝＝＝，
当t∈(1，＋∞)时，∈(0,1)，
－2＋4<3，S四边形ACBD>＝8.
综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.
(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；
(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0,0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0,0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．
解 (1)由题意知F，|FA|＝3＋，
则D(3＋p,0)，FD的中点坐标为，
则＋＝3，解得p＝2，
故C的方程为y2＝4x.
(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则E(x2，－y2)，由
消去x，得y2－4my－4x0＝0，x0≥.
所以Δ＝16m2＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，
设P的坐标为(xP,0)，
则＝(x2－xP，－y2)，＝(x1－xP，y1)，
由题意知∥，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，
即x2y1＋y2x1＝＝
＝(y1＋y2)xP，
显然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝＝－x0，
即证P(－x0,0)，由题意知△EPB为等腰直角三角形，
所以kAP＝1，即＝1，也即＝1，
所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16，
即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x0<1，
又因为x0≥，所以≤x0<1，
d＝＝＝，
令＝t∈，x0＝2－t2，
d＝＝－2t，
易知f(t)＝－2t在上是减函数，
所以d∈.
所以d的取值范围是.
13．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A．θ∈ B．θ＝
C．θ∈ D．θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝.故选B.
14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为_______．
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，
由题意得左焦点F(－1,0)，
∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，
∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15．如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4,5] B．[7,8] C．[6,7] D．[5,6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3,0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.
16．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，求椭圆C1的离心率e1的取值范围．
解 ∵椭圆C1：－＝1，
∴a＝m＋4，b＝－n，c＝m＋4＋n，
e＝＝1＋.
∵双曲线C2：＋＝1，
∴a＝m，b＝－n，c＝m－n，
∴由条件知m＋4＋n＝m－n，则n＝－2，
∴e＝1－.
由m>0得m＋4>4，<，－>－，
∴1－>，
即e>，而0
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