北京市2008-2019年中考数学分类汇编四边形pdf含解析

北京市2008-2019年中考数学分类汇编四边形pdf含解析

第 1页（共 17页） 2008～2019 北京中考数学分类(四边形) 一．解答题（共 12 小题） 1．如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE＝DF，连接 EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O．若 BD＝4，tanG＝ ，求 AO 的长． 2．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分∠ BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB＝ ，BD＝2，求 OE 的长． 3．如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E 为 AD 的中点，连接 BE． （1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （2）连接 AC，若 AC 平分∠BAD，BC＝1，求 AC 的长． 4．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连 第 2页（共 17页） 接 BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求 BN 的长． 5．在▱ ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF＝BE，连接 AF，BF． （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF 平分∠DAB． 6．如图，在▱ ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F， AE 与 BF 交于点 P，连接 EF，PD． （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若 AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求 tan∠ADP 的值． 7．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝ BC，连接 DE，CF． （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长． 8．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°， 第 3页（共 17页） ∠DCE＝30°，DE＝ ，BE＝2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若 AC＝2， CE＝4，求四边形 ACEB 的周长． 10．已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B 的度数及 AC 的长． 11．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E 为 AB 中点，EF∥DC 交 BC 于点 F，求 EF 的长． 12．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝ ，BC＝4 ，求 DC 的长． 第 4页（共 17页） 2008～2019 北京中考数学分类(四边形) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 12 小题） 1．如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE＝DF，连接 EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O．若 BD＝4，tanG＝ ，求 AO 的长． 【解答】（1）证明：连接 BD，如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴AB：BE＝AD：DF， ∴EF∥BD， ∴AC⊥EF； （2）解：如图 2 所示： ∵由（1）得：EF∥BD， ∴∠G＝∠ADO， ∴tanG＝tan∠ADO＝ ＝ ， ∴OA＝ OD， ∵BD＝4， ∴OD＝2， ∴OA＝1． 第 5页（共 17页） 2．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分∠ BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB＝ ，BD＝2，求 OE 的长． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC 为∠DAB 的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴▱ ABCD 是菱形； （2）∵四边形 ABCD 是菱形， 第 6页（共 17页） ∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴OB＝ BD＝1， 在 Rt△AOB 中，AB＝ ，OB＝1， ∴OA＝ ＝2， ∴OE＝OA＝2． 3．如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E 为 AD 的中点，连接 BE． （1）求证：四边形 BCDE 为菱形； （2）连接 AC，若 AC 平分∠BAD，BC＝1，求 AC 的长． 【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E 为 AD 的中点， ∴DE＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形 BCDE 是平行四边形， ∵∠ABD＝90°，AE＝DE， ∴BE＝DE， ∴四边形 BCDE 是菱形． （2）解：连接 AC． ∵AD∥BC，AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA， ∴AB＝BC＝1， 第 7页（共 17页） ∵AD＝2BC＝2， ∴sin∠ADB＝ ， ∴∠ADB＝30°， ∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°， 在 Rt△ACD 中，∵AD＝2， ∴CD＝1，AC＝ ． 4．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连 接 BM，MN，BN． （1）求证：BM＝MN； （2）∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求 BN 的长． 【解答】（1）证明：在△CAD 中，∵M、N 分别是 AC、CD 的中点， ∴MN∥AD，MN＝ AD， 在 RT△ABC 中，∵M 是 AC 中点， ∴BM＝ AC， ∵AC＝AD， ∴MN＝BM． （2）解：∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， 第 8页（共 17页） 由（1）可知，BM＝ AC＝AM＝MC， ∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°， ∵MN∥AD， ∴∠NMC＝∠DAC＝30°， ∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°， ∴BN2＝BM2+MN2， 由（1）可知 MN＝BM＝ AC＝1， ∴BN＝ 5．在▱ ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF＝BE，连接 AF，BF． （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF 平分∠DAB． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形 BFDE 是矩形； （2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA＝∠FAB． 在 Rt△BCF 中，由勾股定理，得 BC＝ ＝ ＝5， ∴AD＝BC＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， 第 9页（共 17页） ∴∠DAF＝∠FAB， 即 AF 平分∠DAB． 6．如图，在▱ ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F， AE 与 BF 交于点 P，连接 EF，PD． （1）求证：四边形 ABEF 是菱形； （2）若 AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求 tan∠ADP 的值． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE 是角平分线， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理 AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形 ABEF 是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形 ABEF 是菱形． （2）解：作 PH⊥AD 于 H， ∵四边形 ABEF 是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴AP＝ AB＝2， ∴PH＝ ，AH＝1， ∴DH＝5， 第 10页（共 17页） ∴tan∠ADP＝ ＝ ． 7．如图，在▱ ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝ BC，连接 DE，CF． （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求 DE 的长． 【解答】证明：（1）在▱ ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝BC． ∵F 是 AD 的中点， ∴DF＝ ． 又∵CE＝ BC， ∴DF＝CE， ∵DF∥CE， ∴四边形 CEDF 是平行四边形； 第 11页（共 17页） （2）解：如图，过点 D 作 DH⊥BE 于点 H． 在▱ ABCD 中，∵∠B＝60°，AD∥BC， ∴∠B＝∠DCE， ∴∠DCE＝60°． ∵AB＝4， ∴CD＝AB＝4， ∴CH＝ CD＝2，DH＝2 ． 在▱ CEDF 中，CE＝DF＝ AD＝3，则 EH＝1． ∴在 Rt△DHE 中，根据勾股定理知 DE＝ ＝ ． 8．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°， ∠DCE＝30°，DE＝ ，BE＝2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 【解答】解：过点 D 作 DH⊥AC， ∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝ ， ∴EH＝DH， ∵EH2+DH2＝ED2， ∴EH2＝1， ∴EH＝DH＝1， 又∵∠DCE＝30°， ∴DC＝2，HC＝ ， 第 12页（共 17页） ∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°， BE＝2 ， ∴AB＝AE＝2， ∴AC＝2+1+ ＝3+ ， ∴S 四边形 ABCD＝ ×2×（3+ ）+ ×1×（3+ ）＝ ． 9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若 AC＝2， CE＝4，求四边形 ACEB 的周长． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴AC∥DE． 又∵CE∥AD， ∴四边形 ACED 是平行四边形． ∴DE＝AC＝2． 在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 CD＝ ＝2 ． ∵D 是 BC 的中点， ∴BC＝2CD＝4 ． 在△ABC 中，∠ACB＝90°，由勾股定理得 AB＝ ＝2 ． ∵D 是 BC 的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC＝4． ∴四边形 ACEB 的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2 ． 10．已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B 的度数及 AC 的长． 第 13页（共 17页） 【解答】解：解法一：分别作 AF⊥BC，DG⊥BC，F、G 是垂足， ∴∠AFB＝∠DGC＝90°，AF∥DG， ∵AD∥BC， ∴四边形 AFGD 是矩形． ∴AF＝DG， ∵AB＝DC， ∴Rt△AFB≌Rt△DGC． ∴BF＝CG， ∵AD＝2，BC＝4， ∴BF＝1， 在 Rt△AFB 中， ∵cosB＝ ＝ ， ∴∠B＝60°， ∵BF＝1， ∴AF＝ ， ∵FC＝3， 由勾股定理， 得 AC＝2 ， ∴∠B＝60°，AC＝2 ． 解法二：过 A 点作 AE∥DC 交 BC 于点 E， ∵AD∥BC， ∴四边形 AECD 是平行四边形． ∴AD＝EC，AE＝DC， ∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4， ∴AE＝BE＝EC＝AB， 第 14页（共 17页） 即 AB＝BE＝AE，AE＝CE， ∴△BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形， ∴∠BAE＝60°＝∠AEB，∠EAC＝∠ACE＝ ∠AEB＝30°， ∴∠BAC＝60°+30°＝90°，∠B＝60°． 在 Rt△ABC 中， AC＝ABtan∠B＝AB•tan60°＝2 ， ∴∠B＝60°，AC＝2 ． 11．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E 为 AB 中点，EF∥DC 交 BC 于点 F，求 EF 的长． 【解答】解：解法一：如图 1，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90 度． 可得四边形 ABGD 为矩形． ∴BG＝AD＝1，AB＝DG． ∵BC＝4， ∴GC＝3． ∵∠DGC＝90°，∠C＝45°， 第 15页（共 17页） ∴∠CDG＝45 度． ∴DG＝GC＝3． ∴AB＝3． 又∵E 为 AB 中点， ∴BE＝ AB＝ ． ∵EF∥DC， ∴∠EFB＝45 度． 在△BEF 中，∠B＝90 度． ∴EF＝ ＝ ． 解法二：如图 2，延长 FE 交 DA 的延长线于点 G．∵AD∥BC，EF∥DC， ∴四边形 GFCD 为平行四边形，∠G＝∠1． ∴GD＝FC． ∵EA＝EB，∠2＝∠3， ∴△GAE≌△FBE． ∴AG＝BF． ∵AD＝1，BC＝4， 设 AG＝x，则 BF＝x，CF＝4﹣x，GD＝x+1． ∴x+1＝4﹣x． 解得 x＝ ．∵∠C＝45°， ∴∠1＝45 度． 在△BEF 中，∠B＝90°， ∴EF＝ ． 第 16页（共 17页） 12．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝ ，BC＝4 ，求 DC 的长． 【解答】解：解法一： 如图 1，分别过点 A，D 作 AE⊥BC 于点 E，DF⊥BC 于点 F． ∴AE∥DF． 又 AD∥BC， ∴四边形 AEFD 是矩形． ∴EF＝AD＝ ． ∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝4 ， ∴AB＝AC． ∴AE＝EC＝ BC＝2 ． ∴DF＝AE＝2 ，CF＝EC﹣EF＝ 在 Rt△DFC 中，∠DFC＝90°， ∴DC＝ ． 解法二： 如图 2，过点 D 作 DF∥AB，分别交 AC，BC 于点 E，F． ∵AB⊥AC，∴∠AED＝∠BAC＝90 度． ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝45 度． 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝4 ， 第 17页（共 17页） ∴AC＝BC•sin45°＝4 ＝4 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°，∠DAE＝45°，AD＝ ， ∴DE＝AE＝1． ∴CE＝AC﹣AE＝3． 在 Rt△DEC 中，∠CED＝90°， ∴DC＝ ． 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/1/19 9:08:28 ；用户： 金雨教育；邮 箱：309593466@qq.com ；学号： 335385