【数学】四川省广安市邻水县邻水实验学校2019-2020学年高一下学期第二次阶段检测试题

【数学】四川省广安市邻水县邻水实验学校2019-2020学年高一下学期第二次阶段检测试题

四川省广安市邻水县邻水实验学校2019-2020学年 高一下学期第二次阶段检测试题 注意:(1)全卷共22题,满分150分,考试时间120分钟;‎ ‎(2)试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷, Ⅰ卷选择题均为单选题;Ⅱ卷填空题答案均应以最简形式出现,解答题必须有必要的文字说明,解答步骤和推导过程;‎ ‎(3)答题卡请勿折叠,请勿污损定位标记,个人信息请清晰填写。‎ 第Ⅰ卷 选择题(共60分)‎ 一．选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知α满足，则cos2α＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若不等式ax2﹣2x+3＞0的解集是（﹣3，1），则a取的值为（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎3．已知数列{an} 为等差数列，且a1+a8+a15＝π，则cos（a4+a12）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知数列{an}满足3an+1+an＝0，a2＝﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． ‎ C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎6．可行域的面积是（　　）‎ A．3 B．9 C．18 D．36‎ ‎7．已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎8．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（　　）‎ A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 ‎9．已知函数．则f（1）+f（2）+…+f（2020）的值等于（　　）‎ A．2018 B．1009 C．1010 D．2020‎ ‎10．设函数f（x）＝，数列{an}满足an＝f（n），n∈N+，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，3） B．（2，3） C．，3） D．（1，2）‎ ‎11．关于x的不等式sin2x+acosx﹣a2≤1+cosx对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣1，） B．[﹣1，] ‎ C．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）‎ ‎12．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（　　）（精确到0.01）（参考数据sin15°≈0.2588）‎ A．3.05 B．3.10 C．3.11 D．3.14‎ 第Ⅱ卷 非选择题(共90分)‎ 二．填空题（每小题5分，共计20分）‎ ‎13．已知tan（α﹣β）＝，tan（α+）＝，则tan（β+）=　 　．‎ ‎14．已知△ABC是锐角三角形，若A＝2B，则的取值范围是　 　．‎ ‎15．若x+2y＝1，则2x+4y的最小值是　 　；‎ ‎16．已知数列{an}满足a1＝1，an＝logn+1（n+2）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•a3…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2020]内所有的“和谐数”的和＝　 　．‎ 三．解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（1）已知，求1+sinθcosθ﹣cos2θ的值；‎ ‎（2）求值：．‎ ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求f（x）最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）＜m+2在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．‎ ‎21．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过250吨．问甲、乙两种棉纱各生产多少吨，才能使利润总额最大？并求最大利润总额．‎ ‎22．已知正数列{an}中的前n项和Sn满足2Sn＝an2+an﹣2（n∈N*）．‎ ‎（1）求a1，a2，a3的值，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎（3）设（n∈N*），试确定λ的取值范围，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．‎ 参考答案 一．选择题 ‎1.A； 2.B； 3.A； 4.C； 5.D； 6.B； 7.D； 8.A； 9.C； 10.B； 11.C； 12.C 二．填空题 ‎13.; 14.; 15.; 16.1080‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17.解：（1）∵，‎ ‎∴1+sinθcosθ﹣cos2θ＝‎ ‎＝＝＝；‎ ‎（2）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝＝＝．‎ ‎18.解：（I）∵函数 ‎∴‎ ‎∴‎ 由，‎ 即，‎ 故f（x）的递减区间：‎ ‎（II）由上恒成立，‎ 得f（x）max＜m+2，‎ 由，有，‎ 则 故，‎ 则，‎ 即，‎ ‎19.解：（1）根据{an}为等差数列，d≠0．‎ 前n项和为Sn，且S10＝110，即110＝10a1+45d，…①‎ ‎∵a1，a2，a4成等比数列．可得：a22＝a1•a4．‎ ‎∴（a1+d）2＝a1•（a1+3d）…②‎ 由①②解得：，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n ‎（2）由bn＝，即bn＝＝．‎ 那么：数列{bn}的前n项和Tn＝b1+b2+…+bn＝（1﹣++…+）＝（1﹣）‎ ‎20.解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，‎ 则有CD＝，BD＝10t．在△ABC中，‎ ‎∵AB＝﹣1，AC＝2，‎ ‎∠BAC＝45°+75°＝120°．‎ 根据余弦定理可求得BC＝．‎ ‎∠CBD＝90°+30°＝120°．‎ 在△BCD中，根据正弦定理可得 sin∠BCD＝，‎ ‎∵∠CBD＝120°，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，‎ ‎∴BD＝BC＝，则有 ‎10t＝，t＝（小时）‎ 所以缉私船沿北偏东60°方向，需 小时才能追上走私船．‎ ‎21.解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，‎ 那么 z＝600x+900y．‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域．‎ 作直线l：600x+900y＝0，即直线l：2x+3y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x+900y取最大值．‎ 解方程组，解得M的坐标为（，）．‎ 因此，当x＝，y＝时，z取得最大值．‎ 此时．‎ 答：应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元．‎ ‎22.解：（1）由已知，2Sn＝an2+an﹣2（n∈N*）①‎ 得：a1＝2，a2＝3，a3＝4， ‎ 又2Sn+1＝an+12+an+1﹣2②‎ 由②﹣①得； （an+1﹣an﹣1）（an+1+an）＝0，（an＞0）‎ 即an+1﹣an＝1（n≥2，n∈N*），且a2﹣a1＝1．‎ ‎∴数列{an}是以a1＝2为首项，公差为1的等差数列． ‎ ‎∴an＝n+1． ‎ ‎（2）由（Ⅰ）知bn＝（n+1）•2n它的前n项和为Tn，‎ Tn＝2•21+3•22+4•23+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n①‎ ‎2Tn＝2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1 ②‎ ‎①﹣②：﹣Tn＝2•21+22+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1‎ ‎＝‎ ‎＝﹣n•2n+1‎ ‎∴Tn＝n•2n+1 ‎ ‎（3）∵an＝n+1，∴cn＝4n+（﹣1）n﹣1λ•2n+1，‎ 要使cn+1＞cn恒成立，‎ ‎∴cn+1﹣cn＝4n+1﹣4n+（﹣1）nλ•2n+2﹣（﹣1）n﹣1λ•2n+1＞0恒成立 ‎∴3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣12n+1＞0恒成立，‎ ‎∴（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1恒成立． ‎ ‎（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立 当且仅当n＝1时，2n﹣1有最小值为1，‎ ‎∴λ＜1．‎ ‎（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立 当且仅当n＝2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，‎ ‎∴λ＞﹣2．‎ 综上：﹣2＜λ＜1.‎