专题05+函数的单调性与最值（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题05+函数的单调性与最值（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎ 1．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)‎ A．f(x)＝x2　　　　　　　 B．f(x)＝2|x|‎ C．f(x)＝log2 D．f(x)＝sinx ‎【答案】C ‎2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)‎ A．递减函数 B．递增函数 C．先减后增 D．先增后减 ‎【解析】对称轴为x＝3，函数在(2,3]上为减函数，在(3,4)上为增函数．‎ ‎【答案】C ‎3．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是(　　)‎ A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，1) D．(－∞，－1)‎ ‎【解析】由已知易得即x>3，又0<0.5<1，‎ ‎∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．‎ ‎【答案】A ‎4．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<－3 B．a≤－3‎ C．a>－3 D．a≥－3‎ ‎【解析】对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3.‎ ‎【答案】B ‎5．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(0,1)∪(1，)‎ C．(1，) D．[，＋∞)‎ ‎【解析】当a>1且x2－ax＋有最小值时，f(x)才有最小值loga，∴⇒1x－成立，所以a>min，而函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，故选D. ‎ ‎【答案】D ‎7．若函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是(　　)‎ A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎8．已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c ‎【解析】由函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x＝a＋1对称，知f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1<2<f>f(e)．‎ ‎∴b>a>c，故选D.‎ ‎【答案】D ‎9．下列函数f(x)中，满足“对任意x1， x2∈(0，＋∞)，都有<‎0”‎的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2‎ C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)‎ ‎【解析】满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.‎ ‎【答案】A ‎10．定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有<0，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是(　　)‎ A．[－3，－) B．[－3，－]‎ C．[－5，－) D．[－5，－]‎ ＝＝1－，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知∈[－，1]，从而＝1－∈[－5，－]，∴∈[－5，－]．选D.‎ ‎【答案】D ‎11．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)‎ A．y＝e－x　　　　　　　 B．y＝x C．y＝lnx D．y＝|x|‎ ‎【解析】　由所给选项知只有y＝x的定义域是R且为增函数。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎12．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．2或－2 D．0‎ ‎【解析】　当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎13．函数f(x)＝1－(　　)‎ A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 ‎【解析】f(x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示。故选B。‎ ‎【答案】B ‎14．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________。‎ ‎【解析】设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3。 ‎ 调递增。又因为y＝在[0，＋∞)上单调递增。‎ 所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞)。‎ ‎【答案】[3，＋∞)‎ ‎15．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________。‎ ‎【解析】由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又ax－a是增函数，故a>1，所以a的取值范围为12时，h(x)＝－x＋3是减函数．‎ ‎∴h(x)＝min{f(x)，g(x)}在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.‎ ‎【答案】1‎ ‎18．若函数f(x)＝2x＋sinx对任意的m∈[－2,2]，有f(mx－3)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．‎ 时， g(2)<0，即2x－3＋x<0，则0≤x<1；当x<0时，g(－2)<0，即－2x－3＋x<0，则－30)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】(0,4]‎ ‎22．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．‎ ‎(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，‎ 当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数；‎ 当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a.‎ 因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)．‎ 所以当a≠0时，函数f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．‎ ‎(2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，对任意x∈[2，＋∞)，f′(x)>0恒成立，易知满足题意；当a>0时，令f′(x)＝>0，解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得01.‎ ‎(1)求证：f(x)>0；‎ ‎(2)求证：f(x)为R上的减函数；‎ ‎(3)当f(4)＝时，对a∈[－1,1]时恒有f(x2－2ax＋2)≤，求实数x的取值范围．‎ ‎24．试判断函数f(x)＝，x∈(－1,1)的单调性．‎ ‎【解析】设－10，‎ x－1<0，x－1<0，|x1x2|<1，‎ 即－10.‎ ‎∴>0.‎ 因此，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数．‎ ‎25．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，求实数x的取值范围．‎ ‎【解析】∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R 上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－21时，f(x)<0.‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；‎ ‎(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．‎ 所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．‎ 由f＝f(x1)－f(x2)得，‎ f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，‎ 所以f(9)＝－2.‎ 即f(x)在[2,9]上的最小值为－2.‎