【数学】天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题

【数学】天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题

天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．‎ 锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．‎ 球的体积公式 ，其中表示球的半径．‎ ‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2．本卷共9题，每小题5分，共45分。‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（2）若数列是等比数列，其前项和为，且，则公比 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) 或 (D) 或 ‎ ‎（3）已知，，，则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（4）设，，则是的 ‎(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ‎(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎（5）若直线被圆所截的弦长为，则实数的值为 ‎ (A) 或 (B) 或 ‎ ‎(C) 或 (D) 或 ‎ ‎ ‎（6）已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（7）将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（8）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（9）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 二、 填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（10）若为虚单位，则复数.‎ ‎（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：‎ 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果武术社被抽出人，则这三个社团人数共有.‎ 武术社 摄影社 围棋社 高一 高二 ‎（12）已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是.‎ ‎（13）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则.‎ ‎（14）曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（15）已知是单位向量，且，若向量满足，则的最大值是.‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（16）（本小题满分分）‎ 在△中，内角所对的边分别是，已知，，.‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎（17）（本小题满分分）‎ 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.‎ ‎（Ⅰ）若甲、乙两人各射击次，求至少有一人命中目标的概率；‎ ‎（Ⅱ）若甲连续射击次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.‎ ‎（18）（本小题满分分）‎ 四棱锥中，平面，四边形是矩形，且 ‎，，是线段上的动点，是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角为，‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分分）‎ 已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. ‎ ‎（20）（本小题满分分）‎ 函数，. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）已知和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：.（其中为自然对数的底数）‎ 参考答案 一、选择题 每题5分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 答案 A C A A A B D D C 二、填空题 每题5分 ‎10. 11. 150 12. 10 13. 14. 15. ‎ 三、解答题 ‎16.（本小题满分分）‎ 解：（Ⅰ）因为；..............................3分 且，，，‎ 解得；.......................................................................6分 ‎（Ⅱ）因为,‎ ‎ 所以，...............................................................7分 ‎,...........................................9分 ‎，..........................................11分 又,...........13分 所以......................................15分 17. ‎（本小题满分分）‎ ‎（Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件，‎ ‎......................................4分 ‎ .........................................................6分 ‎（或设“两人都没命中目标”为事件，..........4分 ‎“至少有一人命中目标”为事件，..........6分）‎ ‎（Ⅱ）的取值情况可能为0，1,2,3，‎ ‎ ..........................................................10分 的分布列为 ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎...............................................13分 以 。 ................................................15分 ‎18.（本小题满分分）‎ ‎（Ⅰ）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），‎ 可得,，，，,，。‎ 向量,向量，，‎ ‎，，....................................................2分 即,,,..................................4分 所以平面...................................................................5分 ‎（Ⅱ）（1）设为平面的法向量，‎ 则即,‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量，....................................7分 向量 于是有，............................................................................9分 所以，得（舍）.............................10分 ‎，，线段的长为；.............................................................11分 ‎（2）设为平面的法向量，,‎ 则即,‎ 不妨令，可得为平面的一个法向量，.........................12分 又为平面的一个法向量，....................................................13分 所以。..............................................................15分 ‎19.（本小题满分分）‎ ‎（Ⅰ）由 题意可得，....................................3分 得，，.............................................................5分 椭圆；..........................................................6分 ‎（Ⅱ）设、,直线为...................................7分 由,得，.....................................8分 显然，由韦达定理有:,；...................10分 因为、、共线，‎ 所以 ......................................................11分 若 ‎..................................12分 ‎, ................................................................13分 又，.........................................................................14分 所以。.............................................................................15分 ‎20.（本小题满分分）‎ ‎（Ⅰ）函数定义域为，......................................1分 则，.............................................................2分 ‎（1）当时，函数是上的增函数，无极值；..............4分 ‎（2）当时，则，‎ 所以的单调增区间是；............................................................5分 单调减区间是；...........................................................6分 在处取得极大值，无极小值；......................7分 ‎（Ⅱ） 因为是函数的零点，‎ 则，得；............................8分 所以；...........................................9分 因为，............................................10分 ‎，....................................................11分 所以，................................................12分 由（Ⅰ）知，函数在区间上单调递减，...........13分 所以函数在区间上有唯一零点，.........................14分 因此成立..................15分