2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题，那么￢是（    ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以对于命题，那么是：，故选D.‎ ‎2．某市有大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9.用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出( )家.‎ A．10 B．18 C．2 D．20‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为大型、中型与小型商店共1500家,它们的家数之比为1∶5∶9，用分层抽样抽取其中的30家进行调查,则中型商店应抽出305/15=10,选A ‎3．双曲线的渐近线方程是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线的渐近线为，结合条件即可得解.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的.‎ 渐近线方程为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线渐近线的定义，属于基础题.‎ ‎4．在区间内任取一个数，则点位于轴下方的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件计算得a的范围，再由长度比即可得解.‎ ‎【详解】‎ 在区间内任取一个数，则点位于轴下方，可得.‎ 由几何概型可得：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了长度型的几何概型，属于基础题.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，‎ 结合图中数据，计算它的体积为：‎ V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×3+•π•12×3=（6+1.5π）cm3．‎ 故答案为：6+1.5π．‎ 点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．‎ ‎6．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是( )‎ A．P与R是互斥事件 B．P与Q是对立事件 C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件 ‎【答案】C ‎【解析】找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．‎ ‎【详解】‎ 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有如下几类：‎ ‎①取出的两球都是黑球；②取出的两球都是白球；③取出的球一黑一白．‎ 事件R包括①③两类情况，∴事件P是事件R的子事件，故A不正确；‎ 事件Q与事件R互斥且对立，∴选项C正确,选项D不正确．‎ 事件P与事件Q互斥，但不是对立事件，∴选项B不正确 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件与对立事件，关键是对两个概念的理解，是基础的概念题．‎ ‎7．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图可知：，计算和，代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知：‎ 因为，‎ ‎.‎ ‎，所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件结构的框图的识别与计算，属于基础题.‎ ‎8．已知条件：，条件：直线截圆所得弦长为，则是的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析条件q，利用垂径定理求得b，从而可得两条件的关系.‎ ‎【详解】‎ 由条件：直线截圆所得弦长为，‎ 可得：圆心到直线的距离，解得.‎ 所以条件：，是的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了充分必要条件的判断及直线与圆相交时的垂径定理，属于基础题.‎ ‎9．若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则 取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出圆的圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式可求得结果.‎ 详解：圆整理为，‎ 所以圆心坐标为，半径为，‎ 要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以的范围是，故选B.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与圆的有关问题，在解题的过程中，需要明确点到直线的距离公式，根据图形的相关性质，得到圆心到直线的距离的范围，从而建立其关于b的不等关系式，求解即可.‎ ‎10．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，若,则与的面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出抛物线的图象如图所示．‎ 由抛物线方程，得焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x=−1．过点作准线的垂线，垂足分别为．‎ 由消去y整理得，‎ 设，则．‎ 由条件知，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵在△AEC中，BN∥AE，‎ ‎∴．选D．‎ 点睛：本题将抛物线的定义和平面几何知识综合在一起，考查学生分析问题解决问题的能力．解题中先根据平面几何知识将三角形的面积比转化为三角形边的长度比，并根据抛物线的定义将问题转化为相似三角形对应边的比．同时解题中还要注意直线和抛物线位置关系的运用，通过代数方法得到点A,B的坐标之间的关系也是解题的关键点．‎ ‎11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0‎ C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数、方差 ‎12．已知双曲线的左,右焦点分别为,若双曲线上存在点,使,则该双曲线的离心率范围为( )‎ A．（1,1） B．（1,1） C．（1,1] D．（1,1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，点 不是双曲线的顶点，否则 无意义，在 中，由正弦定理得，又 ，即 ， 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得 ，即 ，由双曲线的几何性质，知 ，即 ， ，解得 ，又 ，所以双曲线离心率的范围是 ，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.焦半径构造出关于的不等式，最后解出的范围.‎ 二、填空题 ‎13．甲、乙两名运动员的次测试成绩如图所示，以这次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是__________．（填“甲、乙”）‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】由题意得，甲乙的平均数都是22，甲的方差是29.2，乙的方差是18.8，故甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是甲.‎ ‎14．椭圆的右焦点为，则以为焦点的抛物线的标准方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由抛物线求得焦点坐标，从而可得抛物线方程.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的右焦点为，‎ 以为焦点的抛物线的标准方程是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的焦点及抛物线方程的求解，属于基础题.‎ ‎15．某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用与利润额（单位：百万元）进于了初步统计，得到下列表格中的数据：‎ 经计算，月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程，则的值为__________．‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】计算,，代入线性回归方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得.‎ 由线性回归方程经过样本中心,.‎ 有：，解得.‎ 故答案为：50.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程过样本中心，属于基础题.‎ ‎16．称离心率为的双曲线为黄金双曲线．如图是双曲线 的图象，给出以下几个说法：‎ ‎①双曲线是黄金双曲线；‎ ‎②若，则该双曲线是黄金双曲线；‎ ‎③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线 是黄金双曲线；‎ ‎④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．‎ 其中正确命题的序号为 ‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】试题分析：对于①，双曲线的标准方程为，则，‎ ‎∴，满足 对于②，，所以或（舍去）‎ 故满足 对于③ ∵，‎ ‎∴，由②可得，满足 对于④，由双曲线的对称性，可得，∴，由②可得，满足，‎ 综上，正确的有①②③④‎ ‎【考点】本题考查双曲线的几何性质 点评：解决本题的关键是掌握双曲线的几何性质，求离心率必须建立a,b,c的关系 三、解答题 ‎17．已知命题 ；方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（Ⅰ）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由命题p真，即可得解；‎ ‎（Ⅱ）由p、q一真一假，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若为假命题，则为真命题.‎ 若命题p真，即对∀x∈[0，1]，恒成立⇔‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆 ‎∴⇒或.‎ ‎∵p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题 ‎∴p、q一真一假 ‎①如果p真q假，则有；‎ ‎②如果p假q真，则有.‎ 综上实数m的取值范围为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.‎ ‎18．已知数列的前项和为，，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，利用，即可得，从而可得；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，有.‎ 当时，有：，满足上式.‎ 所以，则.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎……①‎ ‎……②‎ ‎①-②得：‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了错位相减求和，主要考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎19．在中，角所对的边分别为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，线段的中垂线交于点，求线段的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinBcosC+sinCsinB＝0，结合sinB＞0，可求tanC＝﹣1，结合范围0＜C＜π，可求C的值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理可求c的值，cosB的值，设BC的中垂线交BC于点E，在Rt△BCD中，可求BD的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，‎ ‎∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1‎ ‎∵0＜C＜π ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，‎ ‎∴c＝5， ‎ ‎∴，‎ 设BC的中垂线交BC于点E，‎ ‎∵在Rt△BCD中，，‎ ‎∴． ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂线的性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎20．某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为，求概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a＝0.04；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）分别取n的值，将n代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）画出频率分布直方图，求出平均数即可；‎ ‎（Ⅲ）按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，记[100，110）内2人为A,B，[110，120）内3人，为a,b,c，从而求出满足条件的概率即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．‎ 把n的取值分别代入，‎ 可得（0.5﹣10a）+（0.55﹣10a）+（0.6﹣10a）+（0.65﹣10a）+（0.7﹣10a）＝1．‎ 解得a＝0.04．‎ ‎（Ⅱ）频率分布直方图如图：‎ 这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．‎ ‎（Ⅲ）这40名新生的高考数学分数在[100，110）的频率为0.1，‎ 分数在[110，120）的频率为0.15，‎ 频率比0.1：0.15＝2：3．‎ 按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，记[100，110）内2人为A,B，[110，120）内3人，为a,b,c．‎ 从5名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc,ab,ac,bc，共10个，‎ 甲、乙的成绩分别为，满足的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc，共6个.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图，考查古典概率求值，是一道常规题．‎ ‎21．如图，在多面体ABCDEF中，，平面ADE，‎ 求证：．‎ 若，，且直线BD与平面ABFE所成的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】推导出，，，从而平面ABEF，进而，再由，得平面EFCD，由此能证明．‎ 由平面ABEF，得是BD与平面ABEF所成角，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 证明：平面ADE，，，‎ ‎，，‎ 平面ABEF，，‎ ‎，，平面EFCD，‎ ‎．‎ 解：由知平面ABEF，‎ 是BD与平面ABEF所成角，‎ 如图，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 解得或舍，，，‎ ‎0，，0，，2，，1，，4，，‎ ‎，2，，‎ 设平面FCB的法向量y，，‎ 则，取，得1，，‎ 由题意得：平面平面ADE，平面平面，取AD的中点M，‎ 连结EM，则，平面ABCD，‎ 又，平面ABCD的法向量为，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，满足．‎ ‎（i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；‎ ‎（ii）求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，利用待定系数法能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）（i）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、斜率性质，结合已知条件推导出当k变化时，m2是定值．‎ ‎②利用椭圆弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，‎ ‎∴椭圆方程为1，‎ 把点（，）代入，得k2＝1，‎ ‎∴椭圆方程为y2＝1．‎ ‎（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．‎ 证明如下：‎ 由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设 ‎∴，．‎ ‎∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，‎ ‎∴4k＝k1+k2，‎ ‎∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．‎ ‎∴当k变化时，是定值．‎ ‎②S△OPQ|x1﹣x2|•|m|，令t＞1，‎ 得S△OPQ1，‎ ‎∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，考查了设而不求的数学思想，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、斜率性质的合理运用．‎