上海市八校联考高考数学模拟试卷理科3月份Word版含解析

上海市八校联考高考数学模拟试卷理科3月份Word版含解析

www.ks5u.com ‎2016年上海市八校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）‎ ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）‎ ‎1．已知全集U=R，若A={x|x＜0}，B={x|x≥2}，则CR（A∪B）=　　　　　　．‎ ‎2．若=2，则a+b=　　　　　　．‎ ‎3．函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为　　　　　　．‎ ‎4．若复数z满足（3﹣z）•i=2（i为虚数单位），则z=　　　　　　．‎ ‎5．若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=﹣，，，则sin2β=　　　　　　．‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为　　　　　　．‎ ‎7．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=　　　　　　．‎ ‎8．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数g（x）=（3﹣10m）是单调增函数，则a=　　　　　　．‎ ‎9．若函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的范围是　　　　　　．‎ ‎10．已知||=1，||=2，且=0，若向量的模||=1，则||的最小值为　　　　　　．‎ ‎11．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是　　　　　　．‎ ‎12．若2＜a＜3，5＜b＜6，f（x）=logax+有整数零点x0，则x0=　　　　　　．‎ ‎13．已知点P在函数y=的图象上，过点P的直线交x、y轴正半轴于点A、B，O为坐标原点，三角形△AOB的面积为S，若且S∈[2，3]，则λ的取值范围是　　　　　　．‎ ‎14．若函数f（x）=x|x﹣a|（a＞0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a=　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎15．函数y=f（x）与y=g（x）的图象如下图，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．要制作一个容积为8m3，高为2m的无盖长方体容器，若容器的底面造价是每平方米200元，侧面造型是每平方米100元，则该容器的最低总造价为（　　）‎ A．1200元 B．2400元 C．3600元 D．3800元 ‎17．若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（　　）‎ A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值 C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值 ‎18．已知点A（1，1），B（5，5），直线l1：x=0和l2：3x+2y﹣2=0，若点P1、P2分别是l1、l2上与A、B两点距离的平方和最小的点，则||等于（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分66分）‎ ‎19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=6，sinA=，B=A+；‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎20．如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2，∠DAB=∠BCD=90°，且AA1=CC1=；‎ ‎（1）求二面角D1﹣A1B﹣A的大小；‎ ‎（2）求此多面体的体积．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）‎ ‎（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；‎ ‎（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．‎ ‎22．已知点R（x0，y0）在D：y2=2px上，以R为切点的D的切线的斜率为，过Γ外一点A（不在x轴上）作Γ的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线MN（切点为D），点M、N分别是与AB、AC的交点（如图）．‎ ‎（1）用B、C的纵坐标s、t表示直线BC的斜率；‎ ‎（2）设三角形△ABC面积为S，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如△AMN，再由M、N作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形…，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及BC所围成的阴影部分的面积T．‎ ‎23．已知函数f（x）的定义域为实数集R，及整数k、T；‎ ‎（1）若函数f（x）=2xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；‎ ‎（2）若f（x+T）=k•f（x），且f（x）=axφ（x）（其中a为正的常数），试证明：函数φ（x）为周期函数；‎ ‎（3）若f（x+6）=f（x），且当x∈[﹣3，3]时，f（x）=（x2﹣9），记Sn=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N+，求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整数n．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市八校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）‎ ‎1．已知全集U=R，若A={x|x＜0}，B={x|x≥2}，则CR（A∪B）=　{x|0≤x＜2}　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出A与B的并集，找出并集的补集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x＜0}，B={x|x≥2}，‎ ‎∴A∪B={x|x＜0或x≥2}，‎ ‎∵全集U=R，‎ ‎∴∁R（A∪B）={x|0≤x＜2}，‎ 故答案为：{x|0≤x＜2}‎ ‎　‎ ‎2．若=2，则a+b=　8　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】由极限的定义可知当n→∞时，极限存在，即分子分母中n的最大次数相等，即a=0，由的极限存在，由洛必达法则可知即b=8，a+b=8．‎ ‎【解答】解：由极限是的形式，利用洛必达法则，原式=，有极限存在且等于2得，a=0，b=8；‎ ‎∴a+b=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为　（﹣∞，0）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据对数函数成立的条件，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：要使函数f（x）有意义，则x2﹣x＞0，解得x＞1或x＜0，‎ 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ ‎4．若复数z满足（3﹣z）•i=2（i为虚数单位），则z=　3+2i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】设出z=a+bi，根据系数对应相等，求出a，b的值即可．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi，‎ 则（3﹣a﹣bi）i=b+（3﹣a）i=2，‎ 故b=2，a=3，‎ 故z=3+2i，‎ 故答案为：3+2i．‎ ‎　‎ ‎5．若cos（α+β）=，cos（α﹣β）=﹣，，，则sin2β=　0　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）与sin（α+β）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：cos（α+β）=，cos（α﹣β）=﹣，，，‎ ‎∴sin（α+β）=﹣，sin（α﹣β）=，‎ ‎∴sin2β=sin[α+β﹣（α﹣β）]=sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）=﹣×﹣（﹣）×=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：‎ 甲：87，91，90，89，93；‎ 乙：89，90，91，88，92；‎ ‎，‎ ‎．‎ 方差=4．‎ ‎=2．‎ 所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎7．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=　　．‎ ‎【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．‎ ‎【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．‎ ‎【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，‎ 所以T=2×（﹣）=2π．‎ 所以ω=1，‎ 所以f（x）=sin（x+φ），‎ 故+φ=+kπ，k∈Z，‎ 所以φ=+kπ，k∈Z，‎ 又因为0＜φ＜π，‎ 所以φ=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数g（x）=（3﹣10m）是单调增函数，则a=　　．‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，得3﹣10m＞0，‎ 解得m＜；‎ 当a＞1时，函数f（x）=ax在区间[﹣1，2]上单调递增，最大值为a2=8，解得a=2，‎ 最小值为m=a﹣1==＞，不合题意，舍去；‎ 当1＞a＞0时，函数f（x）=ax在区间[﹣1，2]上单调递减，最大值为a﹣1=8，解得a=，‎ 最小值为m=a2=＜，满足题意；‎ 综上，a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的范围是　[0，2]　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由分段函数，可得当x＜1时，21﹣x≤2，当x≥1时，1+log2x≤2，运用指数函数和对数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ 可得当x＜1时，f（x）≤2，即为21﹣x≤2，‎ 即1﹣x≤1，解得0≤x＜1；‎ 当x≥1时，1+log2x≤2，解得1≤x≤2．‎ 综上可得，x的范围是[0，2]．‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎　‎ ‎10．已知||=1，||=2，且=0，若向量的模||=1，则||的最小值为　﹣1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的几何意义，作出图形，找出的终点轨迹，利用几何知识得出最小值．‎ ‎【解答】解：设，，．‎ ‎∵=0，∴OA⊥OB，∴AB=．‎ ‎∵||=||=||=1，‎ ‎∴C的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．‎ ‎∴||的最小值是AB﹣1=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎11．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】确定基本事件总数，求出构成直角三角形的个数，即可求得概率．‎ ‎【解答】解：因任何三点不共线，所以共有个三角形．‎ ‎10个等分点可得5条直径，可构成直角三角形有5×8=40 个，所以构成直角三角形的概率为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．若2＜a＜3，5＜b＜6，f（x）=logax+有整数零点x0，则x0=　5　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用；对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】由2＜a＜3，5＜b＜6可判断f（4）f（6）＜0，从而判断零点的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=logax+x﹣b在定义域上连续，‎ 又∵2＜a＜3，5＜b＜6，‎ ‎∴f（4）=loga4+3﹣b＜0，‎ f（6）=loga6+4.5﹣b＞0；‎ 故f（4）f（6）＜0；‎ 故f（x）=logax+有整数零点x0，则x0=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎13．已知点P在函数y=的图象上，过点P的直线交x、y轴正半轴于点A、B，O为坐标原点，三角形△AOB的面积为S，若且S∈[2，3]，则λ的取值范围是　[2﹣，2]　．‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】设点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），P（x0，y0），a＞0，b＞0，由，得到x0=，y0=﹣，根据函数的性质和三角形的面积公式即可表示出4≤≤6，解得即可．‎ ‎【解答】解：设点A、B的坐标分别为（a，0），（0，b），P（x0，y0），a＞0，b＞0，‎ 则由，‎ ‎∴x0=，y0=﹣，‎ ‎∴x0•y0==1，‎ ‎∴ab=，‎ ‎∵S∈[2，3]，S=ab，‎ ‎∴ab∈[4，6]，‎ ‎∴4≤≤6，‎ 解得.2﹣≤λ≤2‎ 故答案为：[2﹣，2]．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=x|x﹣a|（a＞0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a=　3　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值可以是f（1），或f（2），f（a）．分别计算求得a，将绝对值去掉，运用二次函数的对称轴和区间的关系，结合单调性，即可判断a的值．‎ ‎【解答】解：由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值 可以是f（1），或f（2），f（a）．‎ 由f（a）=0，不成立；‎ 由f（1）=|1﹣a|=2，解得a=﹣1（舍去）或a=3，‎ 当a=3时，f（x）=x|x﹣3|在[1，2]，即有：f（x）=x（3﹣x）在[1，2]递减，‎ 可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；‎ 由f（2）=2|2﹣a|=2，解得a=1或a=3．‎ 当a=3时，f（x）=x|x﹣3|在[1，2]即为：f（x）=x（3﹣x）在[1，2]递减，‎ 可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；‎ 当a=1时，f（x）=x|x﹣1|在[1，2]即为：f（x）=x（x﹣1），‎ 可得f（x）在[1，2]递增，即有f（1）取得最小值，且为0，不成立．‎ 综上可得a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎15．函数y=f（x）与y=g（x）的图象如下图，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】由已知中函数y=f（x）与y=g（x）的图象我们不难分析，当函数y=f（x）•g（x）有两个零点M，N，我们可以根据函数y=f（x）与y=g（x）的图象中函数值的符号，分别讨论（﹣∞，M）（M，0）（0，N）（N，+∞）四个区间上函数值的符号，以确定函数的图象．‎ ‎【解答】解：∵y=f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；‎ ‎∴函数y=f（x）•g（x）也有两个零点M，N，‎ 又∵x=0时，函数值不存在 ‎∴y在x=0的函数值也不存在 当x∈（﹣∞，M）时，y＜0；‎ 当x∈（M，0）时，y＞0；‎ 当x∈（0，N）时，y＜0；‎ 当x∈（N，+∞）时，y＞0；‎ 只有A中的图象符合要求．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎16．要制作一个容积为8m3，高为2m的无盖长方体容器，若容器的底面造价是每平方米200元，侧面造型是每平方米100元，则该容器的最低总造价为（　　）‎ A．1200元 B．2400元 C．3600元 D．3800元 ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】设长方体容器的长为xm，宽为ym；从而可得xy=4，从而写出该容器的造价为200xy+100（2x+2x+2y+2y）=800+400（x+y），再利用基本不等式求最值即可．‎ ‎【解答】解：设长方体容器的长为xm，宽为ym，‎ 则x•y•2=8，‎ 即xy=4，‎ 则该容器的造价为：‎ z=200xy+100（2x+2x+2y+2y）‎ ‎=800+400（x+y）‎ ‎≥800+400×2‎ ‎=800+1600=2400．‎ ‎（当且仅当x=y=2时，等号成立）‎ 故该容器的最低总价是2400元．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎17．若直线y=k（x﹣2）与曲线有交点，则（　　）‎ A．k有最大值，最小值 B．k有最大值，最小值 C．k有最大值0，最小值 D．k有最大值0，最小值 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分），求出相切时，k的值，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：如图所示，曲线表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆（x轴上方部分）‎ 当直线y=k（x﹣2）与曲线相切时，d=（k＜0），∴k=‎ ‎∴k有最大值0，最小值 故选C．‎ ‎　‎ ‎18．已知点A（1，1），B（5，5），直线l1：x=0和l2：3x+2y﹣2=0，若点P1、P2分别是l1、l2上与A、B两点距离的平方和最小的点，则||等于（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设P1（0，s），P2，则+=2（s﹣3）2+33，当s=3时取最小值，此时P1（0，3）．+=+42≥42，当t=0时取等号，此时P2（0，1）．即可得出||．‎ ‎【解答】解：设P1（0，s），P2，‎ 则+=1+（s﹣1）2+52+（s﹣5）2=2（s﹣3）2+33≥33，当s=3时取等号，此时P1（0，3）．‎ ‎+=（t﹣1）2++（t﹣5）2+=+42≥42，当t=0时取等号，此时P2（0，1）．‎ ‎∴||==2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分66分）‎ ‎19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=6，sinA=，B=A+；‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据诱导公式求出sinB，利用正弦定理解出b；‎ ‎（2）使用两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式计算面积．‎ ‎【解答】解；（1）∵B=A+，∴sinB=cosA=．‎ 由正弦定理得，即，‎ 解得b=6．‎ ‎（2）cosB=cos（A+）=﹣sinA=﹣．‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．‎ ‎∴S△ABC===6．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示的多面体是由一个以四边形ABCD为地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2，∠DAB=∠BCD=90°，且AA1=CC1=；‎ ‎（1）求二面角D1﹣A1B﹣A的大小；‎ ‎（2）求此多面体的体积．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．‎ ‎（2）根据分割法将多面体分割成两个四棱锥，根据四棱锥的体积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）建立如图的空间坐标系，由题意得A1（0，0，），B（0，2，0），C1（﹣3，，），‎ ‎=（0，﹣2，），=（﹣3，，），‎ 设平面D1A1B的法向量为=（u，v，w），则，即，‎ 令v=，则u=1，w=4，‎ 即=（1，，4），‎ 平面A1BA的法向量为=（1，0，0），‎ 则cos＜，＞===，‎ 则二面角D1﹣A1B﹣A的大小为arccos．‎ ‎（2）设D1（﹣2，0，k），则=（﹣2，0，h﹣，），‎ 而•=0，则（﹣2，0，h﹣）•（1，，4）=﹣2+4h﹣6=0，得h=2，‎ 由题意知平面BD1D将多面体分成两个体积相等的四棱锥B﹣D1DCC1和B﹣D1DAA1，‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，∠DAB=90°，‎ ‎∴AB⊥平面D1DCC1，‎ 则四边形D1DAA1是直角梯形，‎ ‎=， =，‎ 则多面体的体积为．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）‎ ‎（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；‎ ‎（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）根据f（x）的开口方向和对称轴可知f（x）在[2，3]上是增函数，根据最值列出方程组解出a，b；‎ ‎（2）令|2x﹣1|=t，得到关于t的二次函数h（t），结合t=|2x﹣1|的函数图象可判断h（t）的零点分布情况，列出不等式组解出k的值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．‎ ‎∵a＞0，f（x）的对称轴为x=1，‎ 可得f（x）在[2，3]上为增函数，‎ 故f（2）=1，f（3）=4，‎ 即1+b=1，3a+1+b=4，‎ 解得a=1，b=0；‎ ‎（2）由题意可得f（x）=x2﹣2x+2，‎ ‎∴f（|2x﹣1|）+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，‎ 即为|2x﹣1|2﹣2|2x﹣1|+2+k（4﹣3|2x﹣1|）=0，‎ 即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+2（1+2k）=0，‎ 令|2x﹣1|=t，则方程可化为t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0（t≥0），‎ 关于x的方程f（|2x﹣1|）+k（2﹣3|2x﹣1|）=0有3个不同的实数解，‎ 结合t=|2x﹣1|的图象（如右图）可知，‎ 方程t2﹣（2+3k）t+2（1+2k）=0有两个根t1，t2，‎ 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，或0＜t1＜1，t2=0，‎ 记h（t）=t2﹣（2+3k）t+2（1+2k），‎ 则或或．‎ 即有k∈∅或k=﹣．‎ 解得k=﹣．‎ ‎　‎ ‎22．已知点R（x0，y0）在D：y2=2px上，以R为切点的D的切线的斜率为，过Γ外一点A（不在x轴上）作Γ的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线MN（切点为D），点M、N分别是与AB、AC的交点（如图）．‎ ‎（1）用B、C的纵坐标s、t表示直线BC的斜率；‎ ‎（2）设三角形△ABC面积为S，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如△AMN，再由M、N作“切线三角形”，并依这样的方法不断作切线三角形…，试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及BC所围成的阴影部分的面积T．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（1）根据题意可知设出直线方程，由切线斜率的定义即可表示出直线BC的斜率；‎ ‎（2）求得切线的斜率，可得D的坐标，求得直线BC的方程，运用中点坐标公式可得A关于D的对称点在直线BC上，求得D为AE的中点，根据MN为三角形ABC的中位线，且E为BC的中点，D为MN的中点，求得三角形ABC的面积，再由三角形的面积之比与对应边的比的关系，可得由抛物线外作出的“切线三角形”的面积构成以S为首项，为公比的等比数列，运用无穷递缩等比数列的求和公式，可得所有面积和，即可得到所求面积T．‎ ‎【解答】解：（1）设切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），‎ kBC==，‎ ‎（2）设D（μ，v），则MN∥BC，‎ ‎∴=，（s，t为B，C的纵坐标），‎ v=D（，），‎ 设A（a，b）利用切线方程得：‎ 即，两式相减得：‎ b=，a=，A（，），‎ 由前面计算可知：AD平行于横轴，可得yE=，‎ BC：y﹣t=（x﹣），将yE=，代入xE=，‎ 由xA+xE=+==2xD，‎ 所以D为AE的中点；‎ 设：S△AMN=R，由上可知R=S△ABC=，‎ 由M，N确定的确定的切线三角形的面积为×=，‎ 后一个切线三角形的面积是前一切线三角形面积的，‎ 由此继续下去可得算式：‎ S△ABC=S=T+R+2+4+8+…+，‎ ‎=T+R++++…，‎ ‎∴T=S﹣=S﹣R=S．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）的定义域为实数集R，及整数k、T；‎ ‎（1）若函数f（x）=2xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；‎ ‎（2）若f（x+T）=k•f（x），且f（x）=axφ（x）（其中a为正的常数），试证明：函数φ（x）为周期函数；‎ ‎（3）若f（x+6）=f（x），且当x∈[﹣3，3]时，f（x）=（x2﹣9），记Sn=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N+，求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整数n．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）代入计算即可证明．‎ ‎（2）设k=aT，a=k﹣T．而φ（x）=a﹣xf（x），可得φ（x+T）=φ（x），即可证明．‎ ‎（3）取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk．则Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），又f（0）=0．而f（x+6）=f（x），可得f（6k）=0，而f（2）=﹣1，f（10）=2．可得：f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：f（x+2）=2x+2sin（π（x+2））=4×2xsin（πx）=4f（x），‎ ‎∴f（x+2）=4f（x）．‎ ‎（2）证明：设k=aT，a=k﹣T．而φ（x）=a﹣xf（x），‎ ‎∴φ（x+T）=a﹣x﹣T•f（x+T）=a﹣x﹣T•aT•f（x）=a﹣x•f（x）=φ（x），‎ ‎∴φ（x）是以T为周期的周期函数．‎ ‎（3）解：取n=3k（k∈N*），令Sn=Rk．则Rk=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣6）+f（12k﹣2），‎ 又f（0）=0．而f（x+6）=f（x），‎ ‎∴f（6k）=0，又Rk=f（2）+f（10）+…+f（2k﹣10）+f（12k﹣2），‎ 而f（2）=﹣1，f（10）=f（4）=2f（﹣2）=2．‎ 又f（12（k+1）﹣10）+f（12（k+1）﹣2）=2[f（12k﹣10）+f（12k﹣2）]，‎ ‎∴数列{f（12k﹣10）+f（12k﹣2）}是以f（2）+f（10）=1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴Rk=2k﹣1，‎ 由Rk＜1000，解得9＜k＜10，即n=28，29．‎ 当n=28时，f=0．‎ ‎∴满足条件的最大正整数n=29．‎ ‎　‎ ‎2016年8月4日