数学（理）卷·2018届安徽省淮北一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学（理）卷·2018届安徽省淮北一中高二下学期期中考试（2017-04）

淮北一中 2016-2017 学年度下学期高二期中考试 数学试卷（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。‎ ‎2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎3、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设集合 M={x | 0 £ x £ 2, x Î Z} N={x | x2 - 3x + 2≤0}，则 M Ç N =( )‎ A. ｛0，1｝ B. [0, 2] C. [1, 2] D. ｛1，2｝‎ ‎2.已知复数 z 满足 (z + i)(1- 2i) = 2 ，则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为（‎ ‎）‎ A． 3‎ B．1‎ C． 5‎ D． 7‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ì1+ log2 (2 - x), x <1,‎ ‎, f (-2) + f (log2 12) = (‎ ‎)‎ ‎4．设函数 f (x) = í ‎, x ³1,‎ î2x-1‎ A．3‎ B．6‎ C．9‎ D．12‎ ‎5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为(‎ ‎)‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎6．若 m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线 l1：x+2my﹣1=0 与 l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0 平行”的 ‎（‎ ‎）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 p cos 2 x ‎7.‎ ò04‎ dx = （‎ ‎）‎ cos x + sin x ‎1‎ A． 2(‎ ‎2‎ -1)‎ B．‎ +1‎ C．‎ -1D． 2 - ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ìx + y - 3‎ £ 0‎ x + 2 y ï ‎8. 若变量 x、y 满足约束条件 í x - y +1‎ ³ 0 ，则 z=‎ 的最小值为（‎ ‎）‎ x ï y ³ 1‎ î A．0B．2‎ C．1‎ D．3‎ ‎9．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够 自由交谈，事先了解到的情况如下：‎ 甲是中国人，还会说英语．‎ 乙是法国人，还会说日语．‎ 丙是英国人，还会说法语．‎ 丁是日本人，还会说汉语．‎ 戊是法国人，还会说德语．‎ 则这五位代表的座位顺序应为（‎ ‎）‎ A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁 ‎10．如图，在△ ABC 中, AN = 1 NC , P 是 BN 上的一点,‎ ‎3‎ ¾¾® ¾¾® ¾¾® 若 AP = m AB + 2‎ AC ,则实数 m 的值为(‎ ‎)‎ ‎9‎ B． 1‎ C． 1‎ A．1‎ D． 3‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎11 .函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<‎ π 的图像向左平移π个单位长度后所得图像关于原点对称，‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎0，π 则函数 f(x)在 ‎2‎ 上的最小值为(‎ ‎)‎ B．－1‎ C.1‎ D.‎ A．－‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎12．若函数 f（x）=aex﹣x﹣2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（‎ ‎）‎ A． (-¥, 1)‎ B． (0, 1)‎ C．（﹣∞，0）‎ D．（0，+∞）‎ e e 第Ⅱ卷 二、 填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分.)‎ ‎13. 命题“"x∈R，x2-x+3>0”的否定是 ‎14．已知数列{an } 的前 n 项和 Sn = 2n + 3 ，则数列{an }的通项公式为___________.‎ ‎15．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，‎ 则 E 的离心率为 ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ x2‎ ‎1‎ ‎16.已知函数 f (x)（ x ÎR ）满足 f (1) =1，且 f (x)的导数 f ¢(x ) < ‎2‎ ‎，则不等式 f (x ) < + ‎2‎ ‎2‎ 的解集为 ‎．‎ 三、 解答题（本大题共 6 小题，70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分 10 分）已知△ABC 是等边三角形，‎ D 在 BC 的延长线上，且 CD=2， SDABD = 63 ．‎ ‎（Ⅰ）求 AB 的长；‎ ‎（Ⅱ）求 sin∠CAD 的值．‎ ‎18.（本小题满分 12 分）已知数列{an }满足 a1 =1， an+1 = 3an +1.‎ ‎（Ⅰ）证明{an + 12}是等比数列，并求{an }的通项公式；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1 - ‎1‎ ‎) 的大小，并证明你的结论。‎ ‎（Ⅱ）猜测 + +…+‎ 与 ‎2‎ a a ‎2‎ a n ‎3n ‎1‎ ‎19. （本小题满分 12 分）设函数 f (x) = a 2 ln x - x2 + ax, (a > 0) .（注：e 为自然对数的底数）‎ ‎（I）求 f (x) 的单调区间 ‎（II）求所有实数 a ，使 e -1 £ f (x) £ e2 对 x Î[1, e] 恒成立。‎ ‎20．（本小题满分 12 分）如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点．将△ADE沿 DE 折起使得平面 ADE⊥平面 BCDE，如图 2，F 是折叠后 AC 的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：BF∥平面 ADE；（Ⅱ）求二面角 E﹣AB﹣D 的平面角的余弦值．‎ ‎3‎ ‎21. （本小题满分 12 分）已知直线 l:y=x+1,圆 O: x2 + y2 = 32 ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C:‎ x2‎ + y2‎ = 1, (a > b > 0)‎ 的短轴长相等,椭圆的离心率 e =‎ ‎2‎ ‎.‎ a2‎ b2‎ ‎2‎ ‎(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点 M (0, - 13) 的动直线 l0 交椭圆 C 于 A. B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，‎ 使得无论 l0 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请 说明理由。‎ ‎22.已知函数 f (x) = ln (x +1), g (x) = 12 x2 - x .‎ ‎（Ⅰ）求过点 (-1, 0) 且与曲线 y = f (x)相切的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）设 h (x) = af (x)+ g (x)，其中 a 为非零实数， y = h (x) 有两个极值点 x1 , x2 ，且 x1 < x2 ，‎ 求 a 的取值范围;‎ ‎（III）在（Ⅱ）的条件下，求证： 2h (x2 )- x1 > 0 .‎ 理科数学参考答案 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分.)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D C C A A C B D B A D 二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分.)‎ ‎13. 14．‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【解答】：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．‎ ‎（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．‎ 所以．在△ACD中，因为，所以．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解答】：（1）‎ ‎(2)结论：‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】：（Ⅰ）因为，其中，‎ ‎ 所以。‎ ‎ 由于，所以的增区间为（0，a）,减区间为（a,+∞）‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意得， ，即 ‎ 由（Ⅰ）知在[1,e]恒成立，‎ ‎ 要使对恒成立，‎ ‎ 只要 ‎ 解得。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】： （Ⅰ） 证明：取AD中点G，连结EG，FG，‎ ‎∵F为AC中点，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形EBFG是平行四边形 ‎∴BF∥EG，又BF⊄平面ADE，EG⊂平面ADE，‎ ‎∴EG∥平面ADE ‎（Ⅱ） 如图示以E为坐标原点，‎ 建立空间直角坐标系 则由已知得A，‎ B（1，0，0），D（﹣1，2，0）‎ 设平面EAB的法向量为 则 解得一个法向量为 设平面ABD的法向量为 则 解得一个法向量为 ‎∵，‎ ‎∴二面角E﹣AB﹣D的平面角的余弦值．…（15分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解答】：(Ⅰ)则由题设可知b=1,‎ 又e=,∴,∴a2=2 所以椭圆C的方程是.‎ ‎(Ⅱ)若直线与y轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1①‎ 若直线垂直于y轴,则以AB为直径的圆是  ②,由①②解得.‎ 由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1)‎ 事实上点T(0,1)就是所求的点。‎ 下面证明当直线的斜率存在且不为0时T(0,1)也符合要求。‎ 设的方程为,代入椭圆方程,并整理,得(18k2+9)x2−12kx−16=0‎ 设点A. B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则,‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)‎ 综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件 ‎22.（本小题满分12分）‎ ‎【解答】：（Ⅰ）‎ 设切点为，则切线的斜率为 点在上，‎ ‎，解得 切线的斜率为，切线方程为 ‎（Ⅱ）‎ 当时，即时，在上单调递增；‎ 当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时，有两个极值点，即，即a的范围是（0,1）‎ ‎（III）由（Ⅱ）知，由得，‎ 由 ‎，即证明 即证明 构造函数，‎ 在上单调递增，‎ 又，所以在时恒成立，即成立 ‎.‎