数学卷·2018届河北省邯郸市临漳一中高二上学期期中考试数学理试卷（解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市临漳一中高二上学期期中考试数学理试卷（解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、单选题（共18小题，每题5分，每题中只有一个选项是正确的）‎ ‎1．不等式x2﹣2x+3＜0的解集是（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．∅‎ ‎2．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（　　）‎ A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°‎ ‎3．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（　　）‎ A．10 B．18 C．20 D．28‎ ‎4．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．lg（b﹣a）＜0‎ ‎5．实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．2‎ ‎6．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．21 D．24‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎8．设等差数列{an}的公差不等于0，且其前n项和为Sn．若2a8=6+a11且a3，a4，a6成等比数列，则S8=（　　）‎ A．40 B．54 C．80 D．96‎ ‎9．已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎10．已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（　　）‎ A．2 B． C．2+ D．2‎ ‎11．已知狆：p：≥1，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3] B．[2，3] C．（2，3] D．（2，3）‎ ‎12．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎13．下列说法不正确的是（　　）‎ A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”‎ C．设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 D．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 ‎14．设x∈R，则“x2=1”是“x=1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎15．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2016a2017＞1，＜0，下列结论中正确的是（　　）‎ A．q＜0 B．a2016a2018﹣1＞0‎ C．T2016是数列{Tn}中的最大项 D．S2016＞S2017‎ ‎18．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为　　．‎ ‎20．已知数列{an}满足anan+1=（﹣1）n（n∈N*），a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则S2015=　　．‎ ‎21．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是　　．‎ ‎22．直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有　　个．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，每题10分，共40分．）‎ ‎23．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．‎ ‎（Ⅰ）求cos∠CAD的值；‎ ‎（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．‎ ‎24．（10分）已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎25．（10分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x﹣m=0；命题q：∀x∈R，mx2+mx+1＞0．‎ ‎（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎26．（10分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市临漳一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单选题（共18小题，每题5分，每题中只有一个选项是正确的）‎ ‎1．（2016秋•临漳县校级期中）不等式x2﹣2x+3＜0的解集是（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．∅‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意，对x2﹣2x+3变形分析可得方程x2﹣2x+3=0无解，由一元二次不等式的解法分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，‎ 分析易得方程x2﹣2x+3=0无解，‎ 则不等式x2﹣2x+3＜0的解集∅；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了求一元二次不等式的解集的问题，解题时应先判定对应方程解的情况，是容易题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016春•曲靖校级期末）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（　　）‎ A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知 =，‎ ‎∴sinB==‎ ‎∵B∈（0，180°）‎ ‎∴∠B=60°或120°°‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•吴忠模拟）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（　　）‎ A．10 B．18 C．20 D．28‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】计算题；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质得：‎ ‎3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•深圳二模）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a3＞b3 B． C．ab＞1 D．lg（b﹣a）＜0‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用条件，通过不等式的基本性质判断A、B的正误；指数函数的性质判断C的正误；对数函数的性质判断D的正误；‎ ‎【解答】解：因为0＜a＜b＜1，由不等式的基本性质可知：a3＜b3，故A不正确；，所以B不正确；由指数函数的图形与性质可知ab＜1，所以C不正确；由题意可知b﹣a∈（0，1），所以lg（b﹣a）＜0，正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查不等式的基本性质，指数函数与对数函数的基本性质的应用，考查基本知识的掌握情况．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•葫芦岛二模）实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．‎ ‎【解答】解：由题意作出其平面区域，‎ 将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，‎ 则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，‎ 则z=0﹣1=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•潮南区模拟）已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．21 D．24‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．‎ ‎【解答】解：根据题意设△ABC的三边长为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，‎ ‎∵sinα=，∴cosα=或﹣，‎ 当cosα=时，α=60°，不合题意，舍去；‎ 当cosα=﹣时，α=120°，由余弦定理得：cosα=cos120°==﹣，‎ 解得：a=3或a=﹣2（不合题意，舍去），‎ 则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•海南校级二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　）‎ A．3 B． C． D．3‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，‎ ‎∴c2=a2﹣2ab+b2+6，‎ 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，‎ ‎∵C=，‎ ‎∴cos===，‎ 解得ab=6，‎ 则三角形的面积S=absinC==，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•临漳县校级期中）设等差数列{an}的公差不等于0，且其前n项和为Sn．若2a8=6+a11且a3，a4，a6成等比数列，则S8=（　　）‎ A．40 B．54 C．80 D．96‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由已知得，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差不等于0，且其前n项和为Sn．‎ ‎2a8=6+a11且a3，a4，a6成等比数列，‎ ‎∴，‎ 由d≠0，解得a1=﹣2，d=2，‎ ‎∴=40．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前8项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•临漳县校级期中）已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2，=16，解得q2．可得=q4．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4a6=16，∴=2，=16，‎ 解得q2=2．‎ 则==q4=4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•平度市三模）已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于（　　）‎ A．2 B． C．2+ D．2‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1（a＞b＞0），进而可将=（a﹣b）+，进而根据基本不等式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），‎ 则lga=﹣lgb，则a=，即ab=1（a＞b＞0）‎ ‎==（a﹣b）+≥2‎ 故的最小值等于2‎ 故选A ‎【点评】本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到ab=1是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•临漳县校级期中）已知狆：p：≥1，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，3] B．[2，3] C．（2，3] D．（2，3）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】求出p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由≥1，即≥0，解得2＜x≤3，‎ 由|x﹣a|＜1得a﹣1＜x＜a+1，‎ 若p是q的充分不必要条件，‎ 则，‎ 解得2＜a≤3．‎ 实数a的取值范围为（2，3]．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•新课标Ⅰ）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】阅读型；简易逻辑．‎ ‎【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．‎ ‎【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．‎ 令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，‎ 即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．‎ 则￢p∧q为真命题．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2016秋•临漳县校级期中）下列说法不正确的是（　　）‎ A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”‎ C．设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件 D．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的性质．‎ ‎【专题】计算题；简易逻辑．‎ ‎【分析】逐项判断即可．‎ ‎【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；‎ B、根据特称命题的否定形式知B正确；‎ C、当A⊆B可得A∩B=A，反之，当A∩B=A时，也可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件，故C错误；‎ D、由幂函数的性质易知D正确．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查命题的判断，充分必要条件等知识．考查学生对基本知识的掌握和运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•武汉模拟）设x∈R，则“x2=1”是“x=1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】解方程x2=1，易判断“x2=1⇒x=1”与“x=1⇒x2=1”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．‎ ‎【解答】解：当x2=1时，x=±1，此时x=1不成立 故x2=1是x=1的不充分条件；‎ 当x=1时，此时x2=1一定成立 故x2=1是x=1的必要条件；‎ x∈R，则“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，分别判断“x2=1⇒x=1”与“x=1⇒x2=1”的真假，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2016•淮南一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设|PF2|=x，‎ ‎∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，‎ ‎∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，‎ 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ‎∴2a=3x，2c=x，‎ ‎∴C的离心率为：e==．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力．‎ ‎　‎ ‎16．（2004秋•丰台区期末）已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据椭圆方程为标准方程，及椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，可得相应几何量，从而得解．‎ ‎【解答】解：由题意，因为椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），‎ 所以c=3，‎ 又因为椭圆过点（0，2），‎ 所以b=2，‎ 根据a2=b2+c2，可得a=．‎ 故椭圆的标准方程为：‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，解题的关键是正确运用椭圆的几何性质．‎ ‎　‎ ‎17．（2016秋•临漳县校级期中）设等比数列{an}的公比为q，其前n项之和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2016a2017＞1，＜0，下列结论中正确的是（　　）‎ A．q＜0 B．a2016a2018﹣1＞0‎ C．T2016是数列{Tn}中的最大项 D．S2016＞S2017‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】a1＞1，a2016a2017＞1，＜0，可得a2016＞1，a2017＜1，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：∵a1＞1，a2016a2017＞1，＜0，‎ ‎∴a2016＞1，a2017＜1，‎ ‎∴T2016是数列{Tn}中的最大项，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•唐山二模）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．[，1） D．[，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】作出简图，则＞，则e=．‎ ‎【解答】解：由题意，如图 若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，‎ 由∠APO＞45°，‎ 即sin∠APO＞sin45°，‎ 即＞，‎ 则e=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎19．（2010•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为　　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．‎ ‎【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，‎ 因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中，‎ 由正弦定理得：，‎ 解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°．‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（2015秋•福建期末）已知数列{an}满足anan+1=（﹣1）n（n∈N*），a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则S2015=　﹣1　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由数列{an}满足，a1=1，可得a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即可得出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足，a1=1，‎ ‎∴a2=﹣1，a3=﹣1，a4=1，a5=1…，‎ ‎∴a4k﹣3=1，a4k﹣2=﹣1，a4k﹣1=﹣1，a4k=1，k∈N*．即数列各项的值呈周期性出现 ‎∴S2015=503×（1﹣1﹣1+1）+（1﹣1﹣1）=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2015秋•朝阳区期末）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是　4　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．‎ ‎【专题】计算题；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解 ‎【解答】解：∵a2=2，且an＞0‎ 由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4‎ 即最小值为 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（2005秋•泰州期末）直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点，若以（m，n）为点P的坐标，则过点P的一条直线与椭圆的公共点有　2　个．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据直线mx+ny﹣3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出m与n的关系式，得到m与n的绝对值的范围，在根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．‎ ‎【解答】解：将直线mx+ny﹣3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得 ‎（m2+n2）y2﹣6ny+9﹣3m2=0．令△＜0得，m2+n2＜3．‎ 又m、n不同时为零，∴0＜m2+n2＜3．‎ 由0＜m2+n2＜3，可知|n|＜，|m|＜，‎ 再由椭圆方程a=，b=可知P（m，n）在椭圆内部，‎ ‎∴过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，每题10分，共40分．）‎ ‎23．（10分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．‎ ‎（Ⅰ）求cos∠CAD的值；‎ ‎（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．‎ ‎（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．‎ ‎（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，‎ ‎∴sin∠BAD==，‎ ‎∵cos∠CAD=，‎ ‎∴sin∠CAD==‎ ‎∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，‎ ‎∴由正弦定理知=，‎ ‎∴BC=•sin∠BAC=×=3‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2016秋•临漳县校级期中）已知数列{an}满足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）‎ ‎（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（I）由an+1=3an﹣2（n∈N+），变形为an+1﹣1=3（an﹣1），即可证明．‎ ‎（II）由（I）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n=．可得==2．利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】（I）证明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），‎ ‎∴an+1﹣1=3（an﹣1），‎ ‎∴数列{an﹣1}为等比数列，a1﹣1=3．‎ ‎∴an﹣1=3n，‎ ‎∴．‎ ‎（II）解：由（I）可得log3（an﹣1）=n．‎ ‎∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n=．‎ ‎∴==2．‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的定义、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2014秋•宜宾期末）已知命题p：∃x∈R，x2+2x﹣m=0；命题q：∀x∈R，mx2+mx+1＞0．‎ ‎（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；全称命题．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】（ I）若命题p为真命题，则x2+2x﹣m=0有实数根，根据△≥0，解出即可；‎ ‎（II）若命题q为假命题，通过讨论（1）m=0时，（2）m＞0时，（3）m＜0时的情况，从而得到答案．‎ ‎（III）通过讨论“p真，q假”或“p假，q真”的情况，得到不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（ I）若命题p为真命题，则x2+2x﹣m=0有实数根，‎ ‎∴△=4+4m≥0，解得：m≥﹣1，‎ 即m的取值范围为[﹣1，+∞）；‎ ‎（II）若命题q为假命题，则 ‎（1）m=0时，不合题意； ‎ ‎（2）m＞0时，△=m2﹣4m≥0，解得：m≥4； ‎ ‎（3）m＜0时，符合题意． ‎ 综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪[4，+∞）．‎ ‎（III）由（ I）得p为真命题时，m≥﹣1；p为假命题时，m＜﹣1，‎ 由（II）得q为真命题时，0≤m＜4；q为假命题时，m＜0或m≥4，‎ ‎∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴“p真，q假”或“p假，q真”‎ ‎∴或，‎ 解得实数m的取值范围为[﹣1，0）∪[4，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2016•重庆校级模拟）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ ‎【分析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1，=，由此能求出a，b．‎ ‎（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．‎ ‎【解答】（本小题满分16分）‎ 解：（1）记椭圆C的半焦距为c．‎ 由题意，得b=1，=，c2=a2+b2，‎ 解得a=2，b=1．…（4分）‎ ‎（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．‎ 显然直线l的斜率存在．‎ 设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0． …（6分）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 故方程组（*）有且只有一组解．‎ 由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．‎ 从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（ 4m2﹣4）=0．‎ 化简，得m2=1+4k2．①…（10分）‎ 因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2，‎ 所以圆心到直线l的距离d==．‎ 即=． ②…（14分）‎ 由①②，解得k2=2，m2=9．‎ 因为m＞0，所以m=3． …（16分）‎ ‎【点评】本题主要考查实数值的求法，考查直线与椭圆、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．‎