数学卷·2018届甘肃省武威市第六中学高三上学期第二次阶段性过关考试数学（理）试题（解析版）
武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（二）数学（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意,集合M={x|−3
5}，
在数轴上表示可得：则M∪N={x∣x<−5或x>−3}；
本题选择A选项.
2. 设i是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数a＝ ( )
A. 2 B. C. D. －2
【答案】B
【解析】由题意得，，
∵复数 是纯虚数，，解得.
本题选择B选项.
3. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于 ( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 14
【答案】B
【解析】模拟执行程序框图，可得a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
本题选择B选项.
点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．
4. 为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位
C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位
【答案】C
【解析】∵向右平移个长度单位
∴函数的图象,可由函数的图象向右平移个长度单位。
选项C正确.
5. 已知函数在上为减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
6. 已知命题 ；命题，则下列命题是真命题的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】x=−1时,2x>3x，∴命题p是真命题；
；，
即tanx>sinx，∴命题q是真命题；
∴是假命题,是假命题,是假命题,是假命题,是假命题,为真命题。
本题选择B选项.
7. 若函数有两个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作函数g(x)=|2x−2|的图象如下，∵函数f(x)=|2x−2|−b有两个零点，
结合图象可知，00，
即所求不等式的解集为(0,+∞).
本题选择B选项.
12. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵函数与互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称，设曲线上任意一点，当过此点的曲线的切线平行于直线y=x时距离最短.
令即点到直线y=x时距离最短，
为.所以最小值为.
本题选择C选项.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 定积分 ________；
【答案】
【解析】试题分析： =。
考点：本题主要考查定积分计算。
点评：简单题，准确求得原函数是解题的关键。
14. 设：实数满足，其中，：实数满足，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________；
【答案】
【解析】P为真时，当a>0时，；当a<0时，.
Q为真时，.
因为是的必要不充分条件，则，
所以当a>0时，有，解得；
当a<0时，显然，不合题意.
综上所述：实数a的取值范围是.
15. 已知函数，若，则的取值范围是________；
【答案】
【解析】函数在R上单调递增，∵f(a)>f(2−a)，∴a>2−a，∴a>1.
表示为区间的形式即：.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
16. 设函数的最大值为，最小值为，则__________.
【答案】2
【解析】函数可化为，
令，则为奇函数，
的最大值与最小值的和为0．
∴函数的最大值与最小值的和为1+1+0=2．
即2．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知：
(1)化简
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得；
(2)结合题意和三角函数的性质可得的取值范围是.
试题解析：
（1）
（2）由已知得：∴
∴ ∵ ∴
18. 已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得，则函数的最小正周期为；对称轴方程为；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为.
试题解析：
（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以 当时，取最大值 1
又 ，当时，取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
19. 已知函数的图象过原点,且在处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若对任意实数的,恒有成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合导函数研究函数切线的方法，得到关于实数a,b的方程，求得实数a,b的值可得函数的解析式为
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式可得函数f(x)的最大值是2,最小值为-2，据此可得实数的取值范围是.
试题解析：
(I)
图象过原点,
①
曲线在原点处切线斜率
又直线与切线垂直,
代入①得a=0,
(II)由(I)
易知上为增函数,在[-1,1]上为减函数
又
上的最大值是2,最小值为-2
要使对任意恒成立,只需
即
20. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为.
（Ⅰ）求比赛三局甲获胜的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率；
（Ⅲ）设甲比赛的次数为，求的数学期望.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由概率公式可得比赛三局甲获胜的概率是；
(Ⅱ)计算可得比赛四局甲获胜的概率是；比赛五局甲获胜的概率是；则甲获胜的概率是.
(Ⅲ)很明显X可能的取值为3,4,5，计算求得相应的概率值即可确定分布列，然后由分布列计算可得的数学期望是.
试题解析：
记甲局获胜的概率为，，
（Ⅰ）比赛三局甲获胜的概率是：；
（Ⅱ）比赛四局甲获胜的概率是：；
比赛五局甲获胜的概率是：；
甲获胜的概率是：.
（Ⅲ）记乙局获胜的概率为，.
，；；
故甲比赛次数的分布列为：
3
4
5
所以甲比赛次数的数学期望是：
点睛：（1）求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格．
(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
21. 已知函数 ,.
(Ⅰ)当 时,求函数 的最小值；
(Ⅱ)当 时,讨论函数 的单调性；
(Ⅲ)是否存在实数,对任意的 ,且,有,恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).
【解析】略
22. 在直线坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)最小值为，此时的直角坐标为.
【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为 到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
