数学理卷·2018届山西省太原市高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届山西省太原市高二下学期期中考试（2017-04）

‎2016～2017学年第二学期高二年级阶段性测评 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A.类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理 B.合情推理得到的结论一定是正确的 C.合情推理得到的结论不一定正确 D.归纳推理得到的结论一定是正确的 ‎3.已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知复数在复平面内对应的点为，复数的共轭复数为，那么等于（ ）‎ A.5 B. C.12 D.25‎ ‎5.已知函数在处取得极值，那么（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.利用反证法证明：“若，则”时，假设为（ ）‎ A.，都不为0 B.且，都不为0 ‎ C.且，不都为0 D.，不都为0‎ ‎7.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.给出如下“三段论”的推理过程：‎ 因为对数函数（且）是增函数，……大前提 而是对数函数，……小前提 所以是增函数，………………结论 则下列说法正确的是（ ）‎ A.推理形成错误 B.大前提错误 C.小前提错误 D.大前提和小前提都错误 ‎9.（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（ ）‎ A.12，0 B.24，26 C.12，26 D.6，8‎ ‎11.已知函数，，，…，，，那么（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设函数，，若函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.复数在复平面内对应的点位于第 象限．‎ ‎14.已知，那么 ．‎ ‎15.我们知道：在长方形中，如果设，，那么长方形的外接圆的半径满足：.类比上述结论回答：在长方体中，如果设，，，那么长方体的外接球的半径满足的关系式是 ．‎ ‎16.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求. ‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）用分析法证明：；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎20.（A）已知数列满足，其中，.‎ ‎（1）求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；‎ ‎（2）由（1）写出数列的前项和，并用数学归纳法证明.‎ ‎（B）已知数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；‎ ‎（2）设，，求的最大值.‎ ‎21.（A）设函数，.‎ ‎（1）证明：函数在上为增函数；‎ ‎（2）若方程有且只有两个不同的实数根，求实数的值.‎ ‎（B）已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若存在唯一实数，使得成立，求实数的值.‎ ‎2016～2017学年第二学期高二年级阶段性测评 数学（理科）测评参考答案及评分意见 一、选择题 ‎1-5:ACBDC 6-10:DBBBC 11、12：AB 二、填空题 ‎13.二 14.2 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）.‎ ‎（2）由，得，‎ ‎.‎ ‎18.解：（1），‎ 令，解得或.‎ 列表如下：‎ x ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 所以函数在区间上的最大值为16，最小值是.‎ ‎19.证明：（1）由，得，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 只需证，‎ 只需证 因为成立，所以成立.‎ ‎（2）因为，当且仅当时取等号，‎ 又，‎ 所以由（1）得.‎ ‎20.（A）解（1）由题意，，，，‎ 则，，，‎ 猜想得：.‎ ‎（2）由（1），数列是以4为首项，公比为2的等比数列，‎ 则有，‎ 证明：当时，成立，‎ 假设当时，有，‎ 则当时，，‎ 综上有成立.‎ ‎（B）（1），‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 猜想得：，‎ 证明：当时，成立，‎ 假设当时，有，‎ 则当时，，.‎ 综上，成立.‎ ‎（2）由（1），时，，‎ 当时，满足止式，‎ 所以，‎ 则，，‎ 设，则有在上为减函数，在上为增函数，‎ 因为，且，‎ 所以当或时，有最大值.‎ ‎21.（A）证明：（1）的定义域为，，‎ 当时，由，，得，‎ 所以，‎ 则有函数在上为增函数.‎ ‎（2）令，得或.‎ 列表如下：‎ ‎0‎ 正 ‎0‎ 负 ‎0‎ 正 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 则当时，函数有极大值，‎ 当时，函数有极小值，‎ 又时，，时，，时，，‎ 因为方程，即有且只有两个不同的实数根，‎ 所以，解得（负根舍去）.‎ ‎（B）（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 令，得或，‎ 列表如下：‎ ‎1‎ 正 ‎0‎ 负 ‎0‎ 正 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 则函数在，上为增函数，在上为减函数；‎ 当时，，‎ 所以当时，，又，‎ 所以时，函数有最小值.‎ ‎（2）对于，有，‎ 则函数有两个不同的零点，‎ 若存在唯一实数，使得成立，由（1）得，‎ 即，‎ 解得.‎