2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期期末模拟数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期期末模拟数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期期末模拟数学（理）试题 一、单选题 ‎1．如果,那么下列不等式成立的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.‎ 详解：-（）=，因为，所以 所以.故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.‎ ‎2．倾斜角为,在轴上的截距为的直线方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：倾斜角 ，直线方程截距式 ‎【考点】斜截式直线方程 点评：直线斜率为，在y轴上的截距为，则直线方程为，求直线方程最终结果整理为一般式方程 ‎3．抛物线的焦点坐标是(　 　)‎ A．(0，1) B．(1，0) C．(，0) D．(0，)‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知 ‎ ‎∴焦点坐标为(0，)‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的性质．属基础题．‎ ‎4．若直线与直线互相垂直,则实数的值等于 A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当a="0" 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验不满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于﹣1，可求a．‎ 解：当a="0" 时，两直线分别为 x+2y=0，和x=1，显然不满足垂直条件；‎ 当a≠0 时，两直线的斜率分别为﹣和，由斜率之积等于﹣1得：﹣•=﹣1‎ 解得a=1‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想．‎ ‎5．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.‎ 详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，‎ 则，即，‎ 又由焦距为，即，‎ 则有，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.‎ ‎6．若不等式的解集为,则值是 A．-10 B．14 C．10 D．14‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式的解集可知方程的根为，利用根与系数的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的解集为，‎ 所以方程的根为，‎ 因此，解得,‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次不等式的解集与二次方程的根之间的关系，属于中档题.‎ ‎7．两圆和的位置关系是 （ ）‎ A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 ‎【答案】C ‎【解析】略 ‎8．已知圆，圆 交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为， 两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.‎ 详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；‎ 又，所以，①正确；‎ 的中点为直线与直线的交点，又 ‎，‎ ‎. ‎ 由 得，故有，③正确，‎ 综上，选D.‎ 点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算. ‎ ‎9．正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体外接球表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离就 是球的半径，三棱柱的底面边长为1，1，‎ ‎，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中 点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，‎ ‎∴三棱柱的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为，‎ 底面中心到底面三角形的顶点的距离为，‎ ‎∴球的半径为r．‎ 外接球的表面积为：4πr2＝5π．‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查空间想象能力及计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离 相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学 题目的前提．‎ ‎10．函数 (且)的图象恒过定点,若点在直线上,其中均大于,则的最小值为 A．2 B．6 C． D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝‎ ‎1，结合基本不等式可得的最小值．‎ ‎【详解】‎ 函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，‎ 当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），‎ ‎∴﹣3m﹣n+1＝0，‎ ‎∴3m+n＝1，‎ ‎∴（3m+n）（）＝55+25+2，当且仅当nm时取等 号，‎ 故最小值为5+2，‎ 故答案为:C ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，基本不等式的应用，难度中 档．‎ ‎11．已知变量满足,则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求解．‎ 详解：由约束条件作出可行域如图所示：‎ 联立，解得，即；‎ 联立，解得，即.‎ 的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.‎ ‎∵，‎ ‎∴的取值范围是 故选B.‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如，而本题属于斜率型.‎ ‎12．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切,且圆的圆心恰为双曲线的一个焦点,则该双曲线的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出c,再根据双曲线的渐近线和圆相切得到解方程即得a,b,c的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得圆的方程为，所以圆心坐标为（0,3），所以c=3.‎ 由题得双曲线的一条渐近线方程为 所以，‎ 所以双曲线的方程为.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎13．在半径为的圆内任取一点,则点到圆心的距离大于的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据几何概型的概率公式求解，，，运用面积的比得出概率为，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的半径为2，在内任取一点P，‎ 则点P到圆心O的距离大于1的事件为A，‎ 所以，，‎ 所以，故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是面积型几何概型的问题，在解题的过程中，需要明确面积型几何概型的概率的求解方法，需要正确求出基本事件对应的几何度量.‎ ‎14．已知椭圆的左右焦点为,离心率为,若为椭圆上一点,且,则面积为_____________.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：根据椭圆可得意，由离心率，可得c值，因为，结合椭圆的定义和勾股定理形成方程组可求得的值，再求面积即可.‎ 详解：‎ 由题意，，得，，，‎ ‎∵为椭圆上一点，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，即，得，‎ 故的面积．‎ 点睛：考查椭圆的定义和基本性质，对直角的条件通常可选择勾股定理建立等式关系求解，属于中档题.‎ ‎15．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,则椭圆的标准方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设椭圆方程．由离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，列方程组求出a，‎ b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝4y的焦点．‎ 由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），‎ 则有，解得a，b＝c＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，椭圆与抛物线的简单性质的应用，考查运算求解能力，函数与方 程思想，是中档题．‎ ‎16．已知圆,直线,若在直线上任取一点作圆的切线,切点分别为,则的长度取最小值时,直线的方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当AB的长度最小时，圆心角最小，设为2，则由可知当最小时，最大，即最小，那么，，可知，设直线AB的方程为. 又由可知，点到直线 AB的距离为，即，解得或；经检验，则直线AB的方程为.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系 三、解答题 ‎17．已知关于的不等式 ‎（1）若时,求不等式的解集 ‎（2）为常数时,求不等式的解集 ‎【答案】（1）；（2）答案见解析。‎ ‎【解析】（1）结合二次不等式对应的二次函数及二次方程进行求解即可得到所求解集；（2）对参数进行分类讨论，并结合“三个二次”的关系求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 即(，‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）当为常数时，由题意得原不等式为，‎ 不等式对应方程的两根为，．‎ ‎①当时，则，解得；‎ ‎②当时，不等式为，解得；‎ ‎③当时，则，解得．‎ 综上可得，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．‎ ‎18．某产品的广告费用支出与销售额 (单位:百万元)之间有如下的对应数据(单位:万元):‎ ‎（1）求与之间的回归直线方程;‎ ‎（2）据此估计广告费用为万元时销售收入的值.‎ 附:对于线性回归方程中, ,‎ 参考公式: ‎ 其中为样本平均值,线性回归方程也可写为.‎ ‎【答案】（1） （2）82.5‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据所给的数据先做出横坐标和纵坐标的平均数，利用最小乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出 的值，得到线性回归方程；（2）根据所给的变量 的值，把值代入线性回归方程，得到对应的的值，这里的的值是一个预报值.‎ 试题解析：(1) ,‎ ‎,，‎ 所以 ，‎ 所以回归直线方程为.. ‎ ‎（2）时，预报的值为万元 ‎【方法点晴】本题主要考查回归分析和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；(2) 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎19．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点。曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ．由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数。因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程。因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入，化简可求得，满足，故．‎ 详解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ‎ ．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．‎ ‎（2）设，，其坐标满足方程组 消去，得方程．‎ 由已知可得，判别式，且，．  由于，可得．‎ 又，‎ 所以． ‚ ‎ 由‚得，满足，故．‎ 点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：‎ ‎① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；‎ ‎ ②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径。‎ ‎（2）直线与圆或圆锥曲线交于，两点，若，应设，，可得。可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入，化简求值。‎ ‎20．已知抛物线,其焦点到准线的距离为。‎ ‎（1）求抛物线的标准方程。‎ ‎（2）若直线与抛物线相交于两点,且,求实数的值。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由题求出p的值即得抛物线的方程.(2)联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线,其焦点到准线的距离为,所以p=1,‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设,联立得,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,而,解得∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．如图，在五面体中，棱底面， .底面是菱形， .‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.‎ ‎（Ⅱ）取的中点为，可证， ，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.‎ 详解：（Ⅰ）在菱形中， ，‎ ‎∵， ，∴.‎ 又，面，∴.‎ ‎（Ⅱ）作的中点，则由题意知，‎ ‎∵，∴.‎ 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，‎ 设，则， ， ， ，‎ ‎∴， ， .‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由， ，得，‎ 令，则， ，即，‎ 同理，设平面的一个法向量为，‎ 由， ，得，‎ 令，则， ，即，‎ ‎∴，即二面角的余弦值为.‎ 点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.‎ ‎22．已知椭圆过点,且离心率 ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）是否存在过点的直线交椭圆与不同的两点,且满足 (其中为坐标原点)。若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）存在直线或满足题意.‎ ‎【解析】(1)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得解.(2)对直线l的斜率分类讨论，直线的斜率必存在,不妨设为，设直线的方程为,即，联立直线和椭圆的方程得到,得到，把韦达定理代入向量的数量积，得到k的值.即得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆过点,且离心率 ‎ ,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点,且满足 若直线的斜率不存在,且直线过点,则直线即为轴所在直线 ‎∴直线与椭圆的两不同交点就是椭圆短轴的端点,‎ ‎∴直线的斜率必存在,不妨设为,‎ ‎∴可设直线的方程为,即 联立,消得,‎ ‎∵直线与椭圆相交于不同的两点,‎ 得: 或①‎ 设,‎ ‎ ‎ 又,‎ 化简得,‎ 或,经检验均满足①式，‎ ‎∴直线的方程为: 或，‎ ‎∴存在直线或满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎