四川省宜宾市第四中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

四川省宜宾市第四中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

‎2019-2020学年度秋四川省宜宾市四中高三第一学月考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集.‎ ‎【详解】由，解得，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.设命题，则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项.‎ ‎【详解】原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.‎ ‎3.已知，复数，，且为实数，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把和 代入再由复数代数形式乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．‎ ‎【详解】因为为实数，所以，解得.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.‎ ‎4.“m＝﹣2”是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】若直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直，‎ 则2（6﹣m）+（m﹣2）（2﹣m）＝0，‎ 得12﹣2m﹣m2+4m﹣4＝0，‎ 即m2﹣2m﹣8＝0，‎ 得（m+2）（m﹣4）＝0，‎ 得m＝4或m＝﹣2，‎ 则m＝﹣2是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m的范围是解决本题的关键．‎ ‎5.下列函数中，既是奇函数，又在区间内是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和在内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A选项.对于B选项，由于，所以函数不是奇函数，排除B选项.对于C选项，眼熟在上递增，在上递减，排除C选项.由于A,B,C三个选项不正确，故本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题.‎ ‎6.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A. 63 B. 62 C. 61 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ ‎【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.‎ ‎7.已知，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式及二倍角公式化简，由结合得，即可求解 ‎【详解】=又,解 又，,故故 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题 ‎8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（ ）‎ A. 704立方尺 B. 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.‎ ‎【详解】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长为.‎ 因为，所以，‎ 所以 （立方尺）.‎ 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.‎ ‎9.已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，﹣1），点N的坐标满足,则的最大值为（　　）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. －1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．‎ ‎【详解】根据题意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y 做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC阴影部分：‎ 做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，‎ 到点A时Z最大，‎ 而由 可得A（1，0），‎ 此时Zmax＝2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎10.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；‎ 对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：‎ 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是 ‎11.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出 的值，利用双曲线的定义，可求出曲线的离心率。‎ ‎【详解】因为，所以是直角三角形，且,由意可知，所以有，‎ ‎，由双曲线定义可知：‎ ‎，故本题B。‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义以及离心率。‎ ‎12.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集。‎ ‎【详解】令,构造函数 ‎，‎ 由已知可知：，所以是上的减函数，‎ 当时，，，‎ 所以当时，成立，‎ 也就当时，成立，故本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题。关键是换元法、构造函数法。‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知是第三象限角，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得：，又是第三象限角 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎14.在某次语文考试中，、、三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“没有得优秀”；说：“我得了优秀”；说：“说得是真话”。事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果 ‎【详解】假如说的是假话，则说的也是假话，不成立；‎ 假如说的是假话，即没有得优秀，又没有得优秀，故优秀；‎ 假如说的是假话，即得优秀，则说的也是假话，不成立；‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了合情推理，先假设再推理出结果，较为简单 ‎15.幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义得到的值，再根据图象关于轴对称验证的值.‎ ‎【详解】函数是幂函数，‎ 解得：或，‎ 当时，函数的图象不关于轴对称，舍去，‎ 当时，函数的图象关于轴对称，‎ ‎∴实数．‎ ‎【点睛】幂函数，若为偶数，则图象关于轴对称.‎ ‎16.定义在上的函数的导函数为，.若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，对任意都有，可得，函数在单调递减，利用其单调性即可得结果.‎ ‎【详解】构造函数：，‎ 对任意都有，‎ ‎ ，‎ 函数在单调递减，‎ 由化为，‎ 使得成立的的取值范围为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.‎ 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出。‎ ‎（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积。‎ ‎【详解】解（1），由得，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，:‎ ‎（2）连接，如下图：是的中点，，，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。‎ ‎18.如图，在三棱柱中，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD，由中位线定理可得OD∥BC1，故而BC1∥平面A1CD；（2）根据棱锥和棱柱的体积公式即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，‎ ‎∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，‎ ‎∴四边形AA1C1C是平行四边形，‎ ‎∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，‎ ‎∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ ‎∴BC1∥平面A1CD．‎ ‎（2）设三棱柱A1B1C1﹣ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积V＝S△ABC•h，‎ 又V＝VV，VVS△ABC•h，‎ ‎∴V，‎ ‎∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴CC1∥平面ABB1A1，‎ ‎∴VV，‎ ‎∵SS，∴VV，‎ ‎∴三棱锥C﹣AA1E体积与三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积之比为．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎19.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点。曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ．由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，‎ 故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数。因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程。因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入，化简可求得，满足，故．‎ 详解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ‎ ．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．‎ ‎（2）设，，其坐标满足方程组 消去，得方程．‎ 由已知可得，判别式，且，．  由于，可得．‎ 又，‎ 所以． ‚ ‎ 由‚得，满足，故．‎ 点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：‎ ‎① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；‎ ‎ ②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径。‎ ‎（2）直线与圆或圆锥曲线交于，两点，若，应设，，可得。可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入，化简求值。‎ ‎20.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进性试销售，其单价（元）与销量（个）相关数据如下表：‎ ‎（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性相关方程；‎ ‎（2）若该新造型糖画每个的成本为元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）‎ 参考公式：线性回归方程中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：‎ ‎.参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出x为何值时函数值最大．‎ ‎【详解】（1）由表中数据，计算（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，‎ ‎（12+11+9+7+6）＝9，‎ 则3.2，‎ ‎，‎ 所以y关于x的线性相关方程为y＝﹣3.2x+39.4；‎ ‎（2）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣7.7），其中x≥7.7；‎ 则y＝﹣3.2x2+64.04x﹣303.38，‎ 所以x10（元），‎ 为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为10元．‎ ‎【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值 ‎21.某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示：‎ 中学编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 原料采购加工标准评分x ‎100‎ ‎95‎ ‎93‎ ‎83‎ ‎82‎ ‎75‎ ‎70‎ ‎66‎ 卫生标准评分y ‎87‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎82‎ ‎81‎ ‎79‎ ‎77‎ ‎75‎ ‎（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（精确到0.1）‎ ‎（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.‎ 参考公式：，；‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程；‎ ‎（2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．‎ ‎【详解】（1）由题意得：，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故所求的线性回归方程为：.‎ ‎（2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.‎ 其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，，．‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的运算法则可得，分别解出，，即可得出单调区间．‎ ‎（2）利用导数研究的单调性，从而可判断函数的最大值。‎ ‎【详解】（1）解：由题意知，，.‎ 当时，对恒成立，‎ 所以当时，；当时，.‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）证明：由题意知，即证当时，对任意，恒成立，‎ 令，，‎ 所以，.‎ 因为，，则，所以函数在上单调递减，‎ 所以，‎ 当时，，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎23.[选修4-4：极坐标与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值 ‎【答案】(1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，‎ 将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 将代入得：‎ ‎，故曲线的极坐标方程为.‎ 由得，‎ 将代入得，故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点、的极坐标分别为，，‎ 将 分别代入曲线、极坐标方程得：，，‎ 则 ，其 中为锐角，且满足，，当时，取最大值，‎ 此时， ‎ ‎【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.‎ ‎24.已知函数，，为实数.‎ ‎（1）若，，求不等式的解集；‎ ‎（2）当，时，函数的最大值为7，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式可得，从而得，由展开利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】（1）由题，即，（1）‎ 当时，由（1）式可得，故此时；‎ 当时，由（1）式可得，故此时；‎ 当时，由（1）式可得，故此时；‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎（2）因，‎ 故，即，所以，‎ 则，‎ 当且仅当，时取等号，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及绝对值三角不等式求最值、基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎