【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、复数学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、复数学案

二 推理与证明、复数 ‎1.推理 ‎2.证明 ‎(1)直接证明 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →→→…‎ ‎→ →→→…‎ ‎→ 文字 语言 因为……所以……‎ 或由……得……‎ 要证……只需证……‎ 即证……‎ ‎(2)间接证明 反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.‎ ‎3.复数 ‎(1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.‎ ‎(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).‎ ‎(4)复数的模 向量的模r(r≥0,r∈R)叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.‎ ‎(5)复数运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ‎①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;‎ ‎②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;‎ ‎③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;‎ ‎④除法:== ‎=+i(c+di≠0).‎ ‎1.演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.‎ ‎2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.‎ ‎3.利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.‎ ‎4.z2<0在复数范围内有可能成立,例如:当z=3i时z2=-9<0.‎ 主题1 合情推理的应用 ‎              ‎ ‎ (1)观察下列结论:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为(  )‎ A.76 B.80‎ C.86 D.92‎ ‎(2)公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出“球的体积(V)与它的直径(d)的立方成正比”,此即V=kd3(k>0).与此类似,我们可以得到:‎ ‎①正四面体(所有棱长都相等的四面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=ma3(m>0);‎ ‎②正方体的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=na3(n>0);‎ ‎③正八面体(所有棱长都相等的八面体)的体积(V)与它的棱长(a)的立方成正比,即V=ta3(t>0).‎ 那么m∶n∶t=(  )‎ A.1∶6∶4 B.∶12∶16‎ C.∶1∶ D.∶6∶4 ‎【解析】 (1)由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.故选B.‎ ‎(2)正四面体的体积V=×a2×a=a3,正方体的体积V=a3,正八面体的体积V=2×a2×a=a3,所以m∶n∶t=1∶6∶4.‎ ‎【答案】 (1)B (2)A ‎(1)归纳推理的特点及一般步骤 ‎(2)类比推理的特点及一般步骤 ‎  ‎ ‎ 1.观察下列一组等式 ‎1+2+3+…+n=n(n+1)‎ ‎1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)‎ ‎1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)·(n+2)(n+3).‎ 猜想:1×2×3×4+2×3×4×5+…+n(n+1)(n+2)·(n+3)=          ‎ W.‎ 解析:归纳可得此式是与n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)的积.‎ 答案:n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)‎ ‎2.已知命题:若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m≠n,m,n∈N*),则am+n=.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=    .‎ 解析:在等差数列{an}中,设公差为d,‎ 则所以am+n=.‎ 在等比数列{bn}中,设公比为q,‎ 则 所以bm+n=.‎ 答案: 主题2 直接证明与间接证明 ‎ 设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.试用综合法和分析法分别证明.‎ ‎【证明】 法一:(综合法)‎ 因为a>0,b>0,a+b=1,‎ 所以1=a+b≥2.‎ 所以≤,ab≤,‎ 所以≥4.‎ 又+=(a+b)=2++≥4,‎ 所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).‎ 法二:(分析法)‎ 因为a>0,b>0,a+b=1,‎ 要证++≥8,‎ 只要证+≥8,‎ 只要证+≥8,‎ 即证+≥4.‎ 也就是证+≥4.‎ 即证+≥2,‎ 由基本不等式可知,‎ 当a>0,b>0时,+≥2成立,‎ 所以原不等式成立.‎ ‎(1)综合法和分析法的特点 ‎①综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式;‎ ‎②分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.‎ ‎(2)反证法的证明思路 反证法是一种间接证明命题的方法,它的理论依据是p与綈p真假性相反,通过证明綈p为假命题说明p为真命题,证明过程中必须出现矛盾,反证法反映了“正难则反”的证题思想.它与利用逆否命题的等价性证明原命题不同,利用逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价的,若证明“綈q⇒綈p”为真即可推得“p⇒q”为真证明过程不出现矛盾.  ‎ ‎ 用分析法证明2cos(α-β)-=.‎ 证明:要证原等式成立,只需证:‎ ‎2cos(α-β)sin α-sin(2α-β)=sin β.①‎ 因为①式左边=2cos(α-β)sin α-sin[(α-β)+α]‎ ‎=2cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α ‎=cos(α-β)sin α-sin(α-β)cos α ‎=sin β=右边,‎ 所以①式成立,‎ 即原等式成立.‎ 主题3 数学归纳法 ‎ 设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.‎ ‎(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【解】 (1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=,a3=f(a2)=,a4=f(a3)=.‎ 猜想an=(n∈N*).‎ ‎(2)证明:①当n=1时,a1==1,猜想正确.‎ ‎②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确,‎ 即ak=,‎ 则ak+1=f(ak)====,‎ 所以n=k+1时猜想正确.‎ 由①②,知对于任何n∈N*,都有an=.‎ ‎(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始n0是多少.‎ ‎(2)由n=k到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k时的式子,‎ 即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.  ‎ ‎ 用数学归纳法证明当n∈N*时,1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).‎ 证明:(1)当n=1时,1=·1·2·3,结论成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,‎ 即1·k+2· (k-1)+3·(k-2)+…+(k-2)·3+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2).‎ 当n=k+1时,则1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+…+(k-1)·3+k·2+(k+1)·1‎ ‎=1·k+2·(k-1)+…+(k-1)·2+k·1+[1+2+3+…+k+(k+1)]‎ ‎=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)‎ ‎=(k+1)(k+2)(k+3),‎ 即当n=k+1时结论也成立.‎ 综上所述,可知结论对一切n∈N*都成立.‎ 主题4 复数 ‎ (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(  )‎ A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i ‎(2)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=(  )‎ A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i ‎【解析】 (1)由=1+i,‎ 得z== ‎==-1-i,故选B.‎ ‎(2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.由z+=2,可得a=1.由(z-)i=2,得b=-1,所以z=1-i.‎ ‎【答案】 (1)B (2)D 利用复数的四则运算求复数的一般思路 ‎(1)复数的加、减、乘法运算:满足多项式的加、减、乘法法则,利用法则后将实部与虚部分别写出即可,注意多项式乘法公式的运算.‎ ‎(2)复数的除法运算:主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.  ‎ ‎ 1.已知i是虚数单位,若(m+i)2=3-4i,则实数m的值为(  )‎ A.-2 B.±2‎ C.± D.2‎ 解析:选A.(m+i)2=(m2-1)+2mi=3-4i,由复数相等得解得m=-2,故选A.‎ ‎2.“复数z=在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.z==-a=-a-3i在复平面内对应的点在第三象限,则a>0,可以判断“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件.‎ ‎3.定义运算=ad-bc,若复数x=,y=,则y=    .‎ 解析:依题意,y=4i(x+i)-2xi ‎=4i2+2xi=-4+ ‎=-4+=-4+2=-2.‎ 答案:-2‎ ‎ [A 基础达标]‎ ‎              ‎ ‎1.若复数是纯虚数,则实数a的值为(  )‎ A.2 B.- C. D.- 解析:选A.因为==是纯虚数,所以a=2.‎ ‎2.已知复数z1=+i,z2=-+i,则z=在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选D.因为z1=+i,z2=-+i,所以z====-i,所以复数z在复平面内对应的点为,在第四象限.故选D.‎ ‎3.对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,第3次操作为53+53=250,如此反复操作,则第2 018次操作后得到的数是(  )‎ A.25 B.250‎ C.55 D.133‎ 解析:选C.由规定:第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,……,故操作得到的数值周期出现,且周期为3.又2 018=3×672+2,故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数,即55,故选C.‎ ‎4.已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)及其证明:‎ ‎(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,所以等式成立;‎ ‎(2)假设当n=k时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.‎ 由(1)(2),知对任意的正整数n等式都成立.‎ 则以下说法正确的是(  )‎ A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确 解析:选B.命题正确,但证明n=k+1时没有用到假设的结论,故推理不正确.‎ ‎5.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:‎ ‎①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;‎ ‎②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立;‎ ‎③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.‎ 其中判断正确的个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选B.若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故①正确.a=b与b=c及a=c中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确.‎ ‎6.已知m∈R,复数-的实部和虚部相等,则m=    .‎ 解析:由-=-=-=,由已知得=,则m=.‎ 答案: ‎7.在平面几何中:△ABC中∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为=.把这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中(如图),DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则得到类比的结论是    W.‎ 解析:由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得=.‎ 答案:= ‎8.观察下列等式:‎ S1=n2+n,‎ S2=n3+n2+n,‎ S3=n4+n3+n2,‎ S4=n5+n4+n3-n,‎ S5=An6+n5+n4+Bn2,‎ ‎…‎ 可以推测,A-B=    .‎ 解析:由S1,S2,S3,S4,S5的特征,推测A=.又Sk的各项系数的和为1,所以A++ ‎+B=1,所以B=-.故A-B=+=.‎ 答案: ‎9.已知|x|≤1,|y|≤1,用分析法证明:|x+y|≤|1+xy|.‎ 证明:要证|x+y|≤|1+xy|,‎ 即证(x+y)2≤(1+xy)2,‎ 即证x2+y2≤1+x2y2,‎ 即证(x2-1)(1-y2)≤0,‎ 因为|x|≤1,|y|≤1,‎ 所以x2-1≤0,1-y2≥0,‎ 所以(x2-1)(1-y2)≤0,不等式得证.‎ ‎10.设f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).‎ ‎(1)5=2+3,请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;‎ ‎(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.‎ 解:(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)=·+·=,‎ 又g(5)=,‎ 因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).‎ ‎(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),‎ 即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2),‎ 于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).‎ 证明:因为f(x)=,‎ g(x)=(大前提).‎ 所以g(x+y)=,‎ g(y)=,f(y)=,‎ ‎(小前提及结论)‎ 所以f(x)g(y)+g(x)f(y)‎ ‎=·+· ‎= ‎=g(x+y).故推测正确.‎ ‎[B 能力提升]‎ ‎11.定义:如果函数y=f(x)在定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a
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