2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(十五) 导数与函数的极植、最值
课时跟踪检测(十五) 导数与函数的极植、最值
(分A、B卷，共2页)
A卷：夯基保分
一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
2．(2015·济宁一模)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为( )
A. B．1
C．0 D．不存在
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是( )
5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
6．(2015·山东日照月考)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④⑤ D．③
二、填空题
7．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
8．(2015·东北八校月考)已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．
9．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
10．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
0； ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
12．(2015·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(t>0)上的最小值．
B卷：增分提能
1．已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R，e为自然对数的底数)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)解关于x的不等式：f(x)>f′(x)；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．
2．(2014·江西高考)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中 a<0.
(1)当 a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a的值．
3．(2015·云南第一次检测)已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．
(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；
(2)是否存在实数m，使f(x)在上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
答案
A卷：夯基保分
1．选B 令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.
2．选A f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得00，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
5．选D ∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当00，f(x)在上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，解得a＝1.
6．选D 当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．故选D.
7．解析：f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
答案：－
8．解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴⇒
∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极大值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
9．解析：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从而解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
答案：(－1,1)
10．解析：∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f′(x)<0，得10，得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a0，
y极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.
答案：②③
11．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
12．解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
①当t≥时，在区间上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当00.
当a＝0时，无解；
当a>0时，解集为{x|x<0或x>2}；
当a<0时，解集为{x|00时，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a，
当x∈(－∞，ln 2a)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(ln 2a，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴当g(x)max>0时，方程g(x)＝0才有两个根，
∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>.
故实数a的取值范围是.
2．解：(1)当a＝－4时，f(x)＝(4x2－16x＋16) ，其中x>0.则f′(x)＝.
由f′(x)>0得02.
故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈时，f(x)单调递增；当x∈－，－时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.
①当－≤1时，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4时，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．
③当－>4时，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有，a＝－10.
3．解：(1)当m＝－2时，
f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．
则f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)
＝xex(x2＋x－6)
＝(x＋3)x(x－2)ex，
∴当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)<0;
当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0;
f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，
∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增；
在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；
当x＝0时，f(x)取得极大值，
∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，
f(x)极大值＝f(0)＝2.
(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)
＝xex.
∵f(x)在上单调递增，
∴当x∈时，f′(x)≥0.
又∵当x∈时，xex<0，
∴当x∈时，x2＋(m＋3)x＋2m－2≤0，
∴解得m≤4，
∴当m∈时，f(x)在上单调递增．
