【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第二节两条直线的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第二节两条直线的位置关系学案

第二节两条直线的位置关系 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行：‎ ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直：‎ ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎3．三种距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 ‎|P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离 d＝ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)‎ ‎(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)‎ ‎(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)‎ A．－3　　　　　　　　　 　B．－ C．2 D．3‎ 解析：选D　直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.‎ ‎3．(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　B．2－ C.－1 D.＋1‎ 解析：选C　由题意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.‎ ‎4．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．‎ 解析：由得 即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)．‎ 又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，‎ 所以－8＝－‎9a－2，解得a＝.‎ 答案： ‎5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．‎ 解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.‎ 答案：2‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 两条不同直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易，属于基础题.‎ ‎1．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)‎ A．－10　　　　　　　　　 　B．－2‎ C．0 D．8‎ 解析：选A　∵l1∥l2，∴＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)，∵l2⊥l3，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10.‎ ‎2．已知经过点A(－2,0)和点B(1,‎3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－‎2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．‎ 解析：l1的斜率k1＝＝a.‎ 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.‎ 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.‎ 当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.‎ 综上可知，实数a的值为1或0.‎ 答案：1或0‎ ‎3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使 ‎(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2；‎ ‎(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.‎ 解：(1)由题意得 解得 即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．‎ ‎(2)∵l1∥l2，∴ ‎ 解得或 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.‎ ‎(3)当且仅当‎2m＋‎8m＝0，‎ 即m＝0时，l1⊥l2.‎ 又－＝－1，∴n＝8.‎ 即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．解题要“前思后想”‎ 解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”‎ ‎2．方法要“因题而定”‎ ‎(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 ‎①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；‎ ‎②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.‎ ‎(2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ l1与l2垂直的充要条件 A‎1A2＋B1B2＝0‎ l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B‎2C2≠0)‎ l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)‎ l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B‎2C2≠0)‎ ‎　　[注意]　在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．‎ 　　　　 距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离，多以选择题或填空题的形式考查，难度偏小，属于基础题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　B. C. D. 解析：选C　因为＝≠，所以两直线平行，‎ 将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，‎ 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，‎ 即＝，所以|PQ|的最小值为.‎ ‎2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．‎ 解析：设点P的坐标为(a，b)．‎ ‎∵A(4，－3)，B(2，－1)，‎ ‎∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．‎ 而AB的斜率kAB＝＝－1，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，‎ 即x－y－5＝0.‎ ‎∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，‎ ‎∴a－b－5＝0.①‎ 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，‎ ‎∴＝2，即‎4a＋3b－2＝±10，②‎ 由①②联立解得或 ‎∴所求点P的坐标为(1，－4)或.‎ 答案：(1，－4)或 ‎[解题师说]‎ 距离问题的常见题型及解题策略 ‎(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．‎ ‎(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．‎ ‎(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：选C　因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线y＝x－2的最小距离为，故选C.‎ ‎2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)‎ A．3 B．2 C．3 D．4 解析：选A　依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ 　　　　 对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题，中心对称就是点(线)关于点的对称，轴对称就是点(线)关于线的对称，此类问题多以选择题或填空题的形式考查，难度适中．‎ 常见的命题角度有：‎ ‎(1)点关于点的对称；　　　 (2)点关于线的对称；‎ ‎(3)线关于点的对称； (4)线关于线的对称．‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　点关于点的对称 ‎1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．‎ 解析：设l1与l的交点为A(a,8－‎2a)，‎ 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,‎2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(‎2a－6)＋10＝0，‎ 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，‎ 所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 答案：x＋4y－4＝0‎ ‎[题型技法]　若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．‎ 角度(二)　点关于线的对称 ‎2.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 　B．1‎ C. D. 解析：选D　以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(00，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么＋的最小值等于________．‎ 解析：设点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(a，b)，则解得 则(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n，1＋m)，则1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是＋＝(m＋n)＝×≥×(5＋2×2)＝，当且仅当m＝，n＝时等号成立．‎ 答案： ‎7．以点A(4,1)，B(1,5)，C(－3,2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．‎ 解析：因为kAB＝＝－，kDC＝＝－.‎ kAD＝＝，kBC＝＝.‎ 则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ 又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，‎ 故四边形ABCD为矩形．‎ 故S＝|AB|·|AD|＝‎ ×＝25.‎ 答案：25‎ ‎8.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．‎ 解析：从特殊位置考虑．如图所示，‎ ‎∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，‎ ‎∴kA‎1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E‎2F的斜率不存在，∴kFD>kA‎1F，即kFD∈(4，＋∞)．‎ 答案：(4，＋∞)‎ ‎9．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．‎ 解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝.‎ 设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)，‎ 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离 d＝＝，‎ 解得m＝－5(舍去)或m＝7，‎ 所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0.‎ 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是 ‎3x－y＋n＝0，‎ 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离 d＝＝，解得n＝－3或n＝9，‎ 所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.‎ ‎10．已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．‎ 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，‎ 因为kOP＝－，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)‎ A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 解析：选D　因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，‎ 设Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.‎ 若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，‎ 则Ax＋By＋C＋k＝0.‎ 因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，‎ 但在y轴上的截距不相等，‎ 故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．‎ 因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，‎ 所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，‎ 所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.‎ ‎2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：选C　由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋sin C ‎＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.‎ ‎3．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 解析：选A　由题意a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.又直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0的距离d＝，所以d2＝2＝＝＝－‎2c，而0≤c≤，所以－2×≤－‎2c≤－2×0，得≤－‎2c≤，所以≤d≤，故选A.‎ ‎4．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为________________．‎ 解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；‎ 当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.‎ 答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0‎ ‎5．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解：(1)由已知可得l2的斜率存在，‎ ‎∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.‎ ‎∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－‎3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，‎ ‎∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．‎ ‎∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，‎ 即(1－a)＝－1.①‎ 又∵l1过点(－3，－1)，‎ ‎∴－‎3a＋b＋4＝0.②‎ 由①②联立，解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，‎ ‎∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.④‎ 联立③④，解得或 ‎∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎6．一条光线经过点P(2,3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求：‎ ‎(1)入射光线所在直线的方程；‎ ‎(2)这条光线从P到Q所经路线的长度．‎ 解：(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，QQ′交l于M点，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，‎ ‎∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.‎ 由解得 ‎∴交点M，∴ 解得∴Q′(－2，－2)．‎ 设入射光线与l交于点N，‎ 则P，N，Q′三点共线，‎ 又P(2,3)，Q′(－2，－2)，‎ 故入射光线所在直线的方程为 ＝，‎ 即5x－4y＋2＝0.‎ ‎(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|‎ ‎＝＝，‎ 即这条光线从P到Q所经路线的长度为.‎