北京市八一中学2018-2019学年高二3月月考数学试题

北京市八一中学2018-2019学年高二3月月考数学试题

高二年级2018-2019学年（下）3月月考试卷 数学 一、选择题（单选题，每题4分，共40分）‎ ‎1.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数求导公式对选项进行一一验证.‎ ‎【详解】因为，故A错；因为，故B正确；‎ 因为，故C错；因为，故D错．‎ ‎【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.‎ 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D.‎ 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.‎ ‎3.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导分析导函数大于0的区间即可.‎ ‎【详解】易得,当时解得.故函数的单调递增区间是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.‎ ‎4.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解.‎ ‎【详解】解：直线经过，两点，‎ ‎.‎ 直线与曲线切于点，‎ 可得曲线在处的导数为：，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A. (-∞,-]∪[,+∞)‎ B. [-]‎ C (-∞,-)∪(,+∞)‎ D. (-)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数在R上单调，所以 恒成立，因为导函数为开口向下的二次函数，故应恒成立，因此，解得，故选B. ‎ 点睛：函数在给定区间上单调，转化为函数的导函数在区间上恒大于等于0，或者恒小于等于0，再转化为分类讨论或分离参数法求其取值范围.‎ ‎6.函数的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数的定义域为，排除选项A；‎ 当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；‎ 当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．‎ 点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎7.已知是虚数单位，，，则“”是“”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算性质，分别判断“” “”与“” “”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．‎ ‎【详解】解：当“”时，“”成立，‎ 故“”是“”的充分条件；‎ 当“”时，“”或“”，‎ 故“”是“”的不必要条件；‎ 综上所述，“”是“”的充分不必要条件；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．‎ ‎8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】的定义域是（0，+∞），‎ ‎，‎ 若函数有两个不同的极值点，‎ 则在（0，+∞）由2个不同的实数根，‎ 故，解得：，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎9.做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设锅炉的高为，底面直径为，根据圆柱的表面积计算公式列出函数关系式，结合导数，然后求其最值.‎ ‎【详解】解：设锅炉的高为，底面直径为，锅炉的高与底面直径的比是.‎ ‎，‎ ‎，.‎ 设造价为，则.‎ 则，‎ 令，解得，可得此时取得最小值.‎ 故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用求最值，同时考查圆柱的表面积和体积公式，属于中档题.‎ ‎10.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为方程①至多有一个零点，所以方程②至少有两个零点，所以，利用导数分析函数的图像特点可知①有一个零点且②有两个零点，从而可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】方程①至多有一个零点，所以方程至少有两个零点．‎ 令．‎ 若，则为上的增函数，故至多有一个零点，舍去；‎ 若，则，‎ 令，则，‎ 为上的减函数，故，‎ 若，则，为上的减函数，故至多有一个零点，舍去；‎ 若，则在有解,‎ 当时，；当时，，‎ 故在上单调递增，在单调递减，所以在上只能有两个零点，故，解．‎ 又方程有一个零点，故，故，‎ 综上，，故选D．‎ ‎【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据各段函数图像的特点判断零点的个数，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．如果导数的零点不易求得，则可设出该零点，通过零点满足的方程去化简，从而得到参数的取值范围．‎ 二、填空题（每题4分，共24分）‎ ‎11.函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，‎ 则f（1）+f′（1）=______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎∵切线方程是则直线的斜率 ， 根据导数的几何意义得： ‎ 故答案为4 ‎ ‎12.已知，则的值为___.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 因为 ，所以 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎13.复数，是虚数单位，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出、、、、的值得出规律：，进而计算得出结论.‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算性质，属于基础题.‎ ‎14.过原点作曲线的切线，则切点为___________．‎ ‎【答案】(e,1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，代入切点可得切线斜率，结合切线所过点可得切点坐标.‎ ‎【详解】设切点，，所以切线方程为，‎ 即.‎ 因为切线经过原点，所以，即，代入可得，故切点为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解切点时，一般是先设出切点，结合切点处的导数值为切线的斜率建立等量关系.‎ ‎15.已知函数在处取得极值，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，利用函数在处取得极值，可得，求出的值.‎ ‎【详解】解：根据题意求导，得，‎ 因为在处取得极值，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以或.‎ 经检验，符合题意.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的极值运算，属于基础题.‎ ‎16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】‎ 分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．‎ 详解：，，由得，，‎ 即的图象关于点对称，∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故答案为2018．‎ 点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．‎ 三、解答题（共36分，要求写出必要的解答过程〕‎ ‎17.已知函数（为常数）在处的切线斜率为．‎ 求实数的值并求此切线方程；‎ 求在区间上的最大值．‎ ‎【答案】，；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据导数的几何意义求出实数的值，列出切线方程；‎ 根据的导函数式子，讨论函数在区间的增减性，进而算出最大值.‎ ‎【详解】解：，‎ ‎.‎ 函数在处的切线斜率为，‎ ‎，即，‎ 解得.‎ 由,‎ 切线方程为.‎ 由得，‎ 令，解得或，‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又，，，‎ 在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的性质和应用，属于中档题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．‎ 求证：直线平面；‎ 求直线与平面的夹角的正弦值．‎ ‎【答案】证明见解析；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明，结合，即可证明直线平面；‎ 以为原点，分别以,,为，，轴建立空间直角坐标系，求出相关向量，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，利用向量的数量积求解即可.‎ 详解】解：底面，.‎ 又底面是正方形，.‎ ‎，平面，平面，‎ 平面.‎ 以为原点，分别以,,为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：‎ 设，则,,,,‎ ‎,,.‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，令，‎ 则.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎，即直线与平面的夹角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求法，向量的数量积的运用，直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题.‎ ‎19.已知和是椭圆的两个焦点，且点 在椭圆上．‎ 求椭圆的方程；‎ 直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．‎ ‎【答案】；或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，求出，，即可得出椭圆方程；‎ 联立直线和椭圆的方程，可得，利用跟的判别式，基本不等式求出结果.‎ ‎【详解】解：和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，‎ ‎，，故，‎ 由可得.‎ 椭圆的方程为：.‎ 由，可得.‎ 直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，‎ 整理得.‎ 由条件可得，，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，，‎ 当且仅当，即，时等号成立，的最小值为，‎ ‎，‎ ‎，又，解得.‎ 故此时直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆简单性质，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，．‎ 求函数的单调区间；‎ 当时，若在区间上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；‎ 当时，函数的单调递增区间为，无减区间；‎ 当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的定义域，在求导，根据的范围得到函数的单调区间；‎ 根据函数的单调性求出函数的最值，再由在区间上恒成立，，得出的取值范围.‎ ‎【详解】解：的定义域为，‎ ‎.‎ 当时，，令，解得，则函数在上单调递增，‎ 令，解得，则函数在上单调递减.‎ 当时，令，解得，则函数在上单调递减，‎ 令，解得或，则函数在，上单调递增.‎ 当时，恒成立，则函数的单调递增区间为.‎ 当时，，令，解得，则函数在上单调递减，‎ 令，解得或，则函数在，上单调递增.‎ 由得当时，函数在区间上单调递增，‎ 则，故不满足条件；‎ 当时，由可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎，满足条件；‎ 当时，由可知，则函数在，上单调递增，在 上单调递减，‎ 当时，函数有极小值，极小值为.‎ 若极小值为最小值，在区间上恒成立，则，‎ 解得，‎ 若，‎ 则，即.‎ 因为，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在求函数单调性和单调区间的应用，属于中档题.‎ ‎ ‎