高考数学专题复习：定积分在几何中的应用

高考数学专题复习：定积分在几何中的应用

‎1.7.1定积分在几何中的应用 一、选择题 ‎1、由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2、若两曲线y＝x2与y＝cx3 (c>0)围成图形的面积是，则c等于(　　)‎ A. B. C．1 D. ‎3、由曲线y＝x3、直线x＝－2、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是(　　)‎ A．ʃx3dx B．|ʃx3dx|‎ C．ʃ|x3|dx D．ʃx3dx＋ʃx3dx ‎4、由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为(　　)‎ A. B. C.ln2 D．2ln2‎ ‎5、如图，阴影部分面积为(　　)‎ A．ʃ[f(x)－g(x)]dx B．ʃ[g(x)－f(x)]dx＋ʃ[f(x)－g(x)]dx C．ʃ[f(x)－g(x)]dx＋ʃ[g(x)－f(x)]dx D．ʃ[g(x)－f(x)]dx ‎6、将由y＝cos x，x＝0，x＝π，y＝0所围图形的面积写成定积分形式为(　　)‎ A．ʃcos xdx B．cos xdx＋|cos xdx|‎ C．ʃ2sin xdx D．ʃ2|cos x|dx 二、填空题 ‎7、设函数f(x)的原函数F(x)是以T为周期的周期函数，若ʃf(x)dx＝μ，则ʃf(x)dx＝________.‎ ‎8、直线x＝k平分由y＝x2，y＝0，x＝1所围图形的面积，则k的值为________．‎ ‎9、由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．‎ 三、解答题 ‎10、在曲线y＝x2 (x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．‎ ‎11、‎ 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ ‎12、计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为ʃ(x2－x3)dx＝| ‎＝－＝.]‎ ‎2、B　[由，得x＝0或x＝ (c>0)．‎ 则围成图形的面积S＝(x2－cx3)dx＝，‎ 可求得c＝.]‎ ‎3、C ‎4、D　[所求面积dx ‎＝ln x|＝ln 2－ln ＝2ln 2.]‎ ‎5、B ‎6、B　[定积分可正，可负，但不论图形在x轴上方还是在x轴下方面积都是正数，故选B.]‎ 二、填空题 ‎7、－μ 解析　ʃf(x)dx＝F(x)| ‎＝F(a＋T)－F(T)＝F(a)－F(T)＝－μ.‎ ‎8、 解析　作平面图形，如右图所示．‎ 由题意，得ʃx2dx＝ʃx2dx 即x3|＝x3|.‎ ‎∴k3＝，k＝.‎ ‎9、 解析　‎ 由，‎ 得x＝1或x＝4.‎ 所求面积为S＝ʃ(x2＋4－5x)dx＋ʃ(5x－x2－4)dx ‎＝|＋‎ |＝.‎ 三、解答题 ‎10、解　‎ 由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点 坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如图所示．‎ 故S＝S1＋S2‎ ‎＝x2dx＋‎ ‎＝x3|＋x3|－(x0x2－xx)|‎ ‎＝＝，解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，‎ 所求切线方程为y＝2x－1.‎ ‎11、解　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，‎ 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝ʃ(x－x2)dx＝＝.‎ 又 由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，‎ ＝ʃ(x－x2－kx)dx＝ ‎＝(1－k)3.‎ 又知S＝，所以(1－k)3＝，‎ 于是k＝1－＝1－.‎ ‎12、‎ 解　由 解得x＝0或x＝3.‎ ‎∴S＝ʃ(x＋3)dx－ʃ(x2－2x＋3)dx ‎＝ʃ[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx ‎＝ʃ(－x2＋3x)dx＝|＝.‎ ‎∴所围成的图形的面积为.‎