- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第一篇 第2练
第一篇 小考点抢先练 , 基础题不失分 第 2 练 复数与平面向量 明晰 考 情 1. 命题角度:复数的四则运算和几何意义;以平面图形为背景,考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积 . 2 . 题目难度:复数题目为低档难度,平面向量题目为中低档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一 复数的概念与四则运算 要点重组 (1) 复数:形如 a + b i( a , b ∈ R ) 的数叫做复数,其中 a , b 分别是它的实部和虚部, i 为虚数单位 . 若 b = 0 ,则 a + b i 为实数;若 b ≠ 0 ,则 a + b i 为虚数;若 a = 0 且 b ≠ 0 ,则 a + b i 为纯虚数 . (2) 复数相等: a + b i = c + d i ⇔ a = c 且 b = d ( a , b , c , d ∈ R ). (3) 共轭复数: a + b i 与 c + d i 共轭 ⇔ a = c , b =- d ( a , b , c , d ∈ R ). 核心考点突破练 (5) 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数 . √ ∴ | z | = 1. 故选 C. 答案 解析 2. 已知 a , b ∈ R , i 是虚数单位 . 若 a - i 与 2 + b i 互为共轭复数,则 ( a + b i) 2 等于 A.5 - 4i B.5 + 4i C.3 - 4i D.3 + 4i 解析 由已知得 a = 2 , b = 1 ,即 a + b i = 2 + i , ∴ ( a + b i) 2 = (2 + i) 2 = 3 + 4i. 故选 D. 答案 解析 √ 3. 已知 i 是虚数单位, a , b ∈ R ,则 “ a = b = 1 ” 是 “ ( a + b i) 2 = 2i ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析 当 a = b = 1 时, ( a + b i) 2 = (1 + i) 2 = 2i , 反过来 ( a + b i) 2 = a 2 - b 2 + 2 ab i = 2i , 则 a 2 - b 2 = 0 , 2 ab = 2 , 解得 a = 1 , b = 1 或 a =- 1 , b =- 1. 故 “ a = b = 1 ” 是 “ ( a + b i) 2 = 2i ” 的充分不必要条件 ,故 选 A. 答案 解析 4. 复数 ( m 2 - 3 m - 4) + ( m 2 - 5 m - 6)i 是虚数,则实数 m 的取值范围 是 __________________. 解析 根据题意知, m 2 - 5 m - 6 ≠ 0 , 即 ( m - 6)( m + 1) ≠ 0 , 所以 m ≠ 6 且 m ≠ - 1. 答案 解析 { m | m ≠ 6 且 m ≠ - 1} 考点二 复数的几何意义 5. 设 a ∈ R ,若 (1 + 3i)(1 + a i) ∈ R (i 是虚数单位 ) ,则 a 等于 √ 解析 (1 + 3i)(1 + a i) = 1 + a i + 3i - 3 a , ∵ (1 + 3i)(1 + a i) ∈ R , ∴ 虚部为 0 ,则 a + 3 = 0 , ∴ a =- 3. 答案 解析 6. 已知 z = ( m + 3) + ( m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 A.( - 3 , 1) B.( - 1 , 3) C.(1 ,+ ∞ ) D.( - ∞ ,- 3) √ 解析 由复数 z = ( m + 3) + ( m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限, 答案 解析 解析 由题意知, z 1 =- 2 - i , z 2 = i , ∴ z 1 + z 2 =- 2 , ∴ | z 1 + z 2 | = 2. 答案 解析 2 解析 因为 i 4 n + k = i k ( n ∈ Z ) ,且 i + i 2 + i 3 + i 4 = 0 , 所以 i + i 2 + i 3 + … + i 2 019 = i + i 2 + i 3 = i - 1 - i =- 1 , 答案 解析 二 考点三 平面向量的线性运算 方法技巧 (1) 向量加法的平行四边形法则:共起点;三角形法则:首尾相连;向量减法的三角形法则:共起点连终点,指向被减 . (3) 证明三点共线问题,可转化为向量共线解决 . 解析 作出示意图如图所示 . √ 答案 解析 √ 又 B , N , P 三点共线, 答案 解析 √ 答案 解析 解析 方法一 如图以 AB , AD 为坐标轴建立平面直角坐标系, ∵ M , N 分别为 BC , CD 的中点, 12. 已知 a , b 为单位向量,且 a ⊥ ( a + 2 b ) ,则 | a - 2 b | = ____. 解析 由 a ⊥ ( a + 2 b ) 得 a ·( a + 2 b ) = 0 , ∴ | a | 2 + 2 a · b = 0 ,得 2 a · b =- 1 , ∴ | a - 2 b | 2 = ( a - 2 b ) 2 = a 2 - 4 a · b + 4 b 2 = | a | 2 - 4 a · b + 4| b | 2 = 1 + 2 + 4 = 7 , ∴ | a - 2 b | = . 答案 解析 考点四 平面向量的数量积 方法技巧 (1) 向量数量积的求法:定义法,几何法 ( 利用数量积的几何意义 ) ,坐标法 . (2) 向量运算的两种基本方法:基向量法,坐标法 . 13. 已知向量 a = (1 , 2) , b = (1 , 0) , c = (3 , 4) ,若 λ 为实数, ( b + λ a ) ⊥ c ,则 λ 的值为 解析 b + λ a = (1 , 0) + λ (1 , 2) = (1 + λ , 2 λ ) , 又 c = (3 , 4) ,且 ( b + λ a ) ⊥ c , 所以 ( b + λ a )· c = 0 ,即 3(1 + λ ) + 2 λ × 4 = 3 + 3 λ + 8 λ = 0 , √ 答案 解析 答案 解析 √ 解析 方法一 ( 解析法 ) 建立坐标系如图 ① 所示, 设 P 点的坐标为 ( x , y ) , 图 ① 方法二 ( 几何法 ) 图 ② A.30° B.45° C.60° D.120 ° 又 ∵ 0° ≤∠ ABC ≤ 180° , ∴∠ ABC = 30°. √ 答案 解析 16.(2016· 浙江 ) 已知向量 a , b , | a | = 1 , | b | = 2. 若对任意单位向量 e ,均有 | a · e | + | b · e | ≤ , 则 a · b 的最大值是 ____. 解析 由已知可 得 ≥ | a · e | + | b · e | ≥ | a · e + b · e | = |( a + b )· e | , 由于上式对任意单位向量 e 都成立 . ∴ ≥ | a + b | 成立 . ∴ 6 ≥ ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 a · b = 1 2 + 2 2 + 2 a · b . 即 6 ≥ 5 + 2 a · b , ∴ a · b ≤ . ∴ a · b 的最大值 为 . 答案 解析 1.(2017· 全国 Ⅰ ) 设有下面四个命题: p 1 :若复数 z 满足 ∈ R ,则 z ∈ R ; p 2 :若复数 z 满足 z 2 ∈ R ,则 z ∈ R ; p 3 :若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ,则 z 1 = ; p 4 :若复数 z ∈ R , 则 ∈ R . 其中的真命题为 A. p 1 , p 3 B. p 1 , p 4 C. p 2 , p 3 D. p 2 , p 4 易错易混专项练 √ 答案 解析 解析 设 z = a + b i( a , b ∈ R ) , z 1 = a 1 + b 1 i( a 1 , b 1 ∈ R ) , z 2 = a 2 + b 2 i( a 2 , b 2 ∈ R ). 则 b = 0 ,即 z = a + b i = a ∈ R ,所以 p 1 为真命题; 对于 p 2 ,若 z 2 ∈ R ,即 ( a + b i) 2 = a 2 + 2 ab i - b 2 ∈ R ,则 ab = 0. 当 a = 0 , b ≠ 0 时, z = a + b i = b i ∉ R ,所以 p 2 为假命题; 对于 p 3 ,若 z 1 z 2 ∈ R ,即 ( a 1 + b 1 i)( a 2 + b 2 i) = ( a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 )i ∈ R , 则 a 1 b 2 + a 2 b 1 = 0. 因为 a 1 b 2 + a 2 b 1 = 0 ⇏ a 1 = a 2 , b 1 =- b 2 ,所以 p 3 为假命题; 对于 p 4 ,若 z ∈ R ,即 a + b i ∈ R , 所以 p 4 为真命题 . 故选 B. 2. 在 △ ABC 中,有如下命题,其中正确的是 ______.( 填序号 ) ②③ 答案 解析 3. 已知向量 a = (1 , 2) , b = (1 , 1) ,且 a 与 a + λ b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是 ___________________. 解析 a + λ b = (1 + λ , 2 + λ ) ,由 a ·( a + λ b )>0 ,可得 λ > . 又 a 与 a + λ b 不共线, ∴ λ ≠ 0. 故 λ > 且 λ ≠ 0. 答案 解析 解题秘籍 (1) 复数的概念是考查的重点 , 虚数及纯虚数的意义要把握准确 . (2) 复数的运算中除法运算是高考的热点,运算时要分母实数化 ( 分子分母同乘以分母的共轭复数 ) ,两个复数相等的条件在复数运算中经常用到 . (3) 注意向量夹角的定义和范围 . 在 △ ABC 中 , 的 夹角为 π - B ;向量 a , b 的夹角为锐角要和 a · b >0 区别开来 ( 不要忽视向量共线情况,两向量夹角为钝角类似处理 ). 1. 设 i 是虚数单位,则复数 i 3 - 等于 A. - i B . - 3i C.i D.3i √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴ a = ±1. 故选 A. 3. 设 i 是虚数单位,则 复数 在 复平面内所对应的点 位于 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 √ 由复数的几何意义知,- 1 + i 在复平面内的对应点为 ( - 1 , 1) ,该点位于第二象限,故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 M 是线段 AD 的中点, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 因为点 D 在边 BC 上, 5. “ 复数 z = 在 复平面内对应的点在第三象限 ” 是 “ a ≥ 0 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析 由题意得 z = a - 3i , 若 z 在复平面内对应的点在第三象限,则 a <0 ,故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 故点 O 是 BC 的中点,且 △ ABC 为直角三角形, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 即 a 2 = 3. 又 ∵ a >0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 ∵ b 2 - 4 e · b + 3 = 0 , ∴ ( b - 2 e ) 2 = 1 , ∴ | b - 2 e | = 1. 如图所示 , 把 a , b , e 的起点作为公共点 O , 以 O 为坐标原点 , 向量 e 所在直线为 x 轴 , 则 b 的终点在以点 M (2 , 0) 为圆心 , 1 为半径的圆上 , | a - b | 就是线段 AB 的长度 . 要求 | AB | 的最小值,就是求圆上动点到定直线的距离的最小值,也就是圆心 M 到直线 OA 的距离减去圆的半径长,因此 | a - b | 的最小值 为 - 1. 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4 ∴ (5 x + 2 y ) + (5 x + 4 y )i = 5 + 15i , 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故 C , M , D 三点共线, 也就是 △ ABM 与 △ ABC 对于边 AB 的两高之比为 3 ∶ 5 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. (2018· 德阳诊断 ) 已知 i 为虚数单位,实数 x , y 满足 ( x + 2i)i = y - i ,则 | x - y i| = ____. 解析 ∵ ( x + 2i)i = y - i , 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ∴ 点 P (1 , 4) , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12查看更多