海南省嘉积中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

海南省嘉积中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

琼海市嘉积中学2019-2020学年度第一学期第一次月考 数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，集合，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，再根据并集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，集合，‎ 则，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.命题“”的否定是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“‎ ‎”的否定是“”，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3.下列求导运算正确的是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，常数的导数为0，可得是正确的，所以A是正确的；‎ 根据导数的运算公式，可得，，，所以B、C、D是错误的，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的零点所在的一个区间是（）‎ A. （2，1） B. （1，0） C. （0，1） D. （1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意，求得，根据零点的存在定理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 即，‎ 根据零点的存在定理，可得函数的零点所在的一个区间是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义，求得或，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数是幂函数，可得，‎ 解得或，‎ 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；‎ 当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.设，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，‎ 由对数函数的性质，可得且，即，‎ 由三角函数的诱导公式，可得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性的应用，以及三角函数的诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数与的图象有可能是(　 ) ．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为为增函数，排除A、C，由B,D可得 对于B中函数的图象可以看出，则的图象与轴的交点应在原点下方，排除B.选D.‎ ‎8.下列函数中，最小值为4的是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过变量的赋值，以及利用基本不等式，逐项判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，A中，当时，，不满足题意；‎ B中，当时，，当且仅当时，即时取得等号，而，所以函数，不满足题意；‎ C中，由，所以，当且仅当时，即，‎ 即取得等号，所以的最小值为4，满足题意；‎ D中，当时，，所以，不满足题意；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中主要特殊值法的应用，以及基本不等式的合理运算与应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若，则此函数的单调减区间是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的定义域为，根据二次函数的性质，求得在单调递增，在单调递减，再由，得到，利用复合函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数满足，‎ 解得，即函数的定义域为，‎ 又由函数在单调递增，在单调递减，‎ 因为，即，所以，‎ 根据复合函数的单调性可得，函数的单调递减区间为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎11.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）‎ A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由图形可知，三点都在函数的图象上，‎ 所以，解得，‎ 所以，因为，所以当时，取最大值，‎ 故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.‎ 考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎12.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设，，‎ 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ‎ ‎，当时，；当时，.‎ 所以，函数的最小值为.‎ 又，.‎ 直线恒过定点且斜率为，‎ 故且，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用诱导公式和特殊角的三角函数值求值问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.直线与曲线相切于点，则_________.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把点代入直线方程，求得，再由导数的几何意义，得到，求得，进而代入曲线方程，求得的值，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，直线与曲线相切于点，‎ 把点代入直线，可得，‎ 又由，则，‎ 所以，解得，即，‎ 把点代入，解得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知在上是奇函数，且.当时，，则______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数满足，求得函数是以4为周期的周期函数，再由函数在上是奇函数和当时，，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数满足，即，‎ 代入可得，所以函数是以4为周期的周期函数，‎ 所以，‎ 又由函数在上是奇函数，且当时，，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的周期性与函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练推导函数的周期，合理应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16.设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是____________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 由于，则需考虑的情况，‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质，‎ 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，‎ 因此不可能与每个周期内对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期部分的交点，‎ 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，‎ 且处，则在附近仅有一个交点，‎ 因此方程的解的个数为8．‎ 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 三、解答题：17题10分，18至22题各12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；‎ ‎（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由.‎ ‎（2）由.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知角的终边经过点 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根三角函数的定义，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）利用三角函数的诱导公式，化简得到原式，代入求解.‎ ‎【详解】（1）由题意角的终边经过点，可得，‎ 根据三角函数的定义，可得.‎ ‎（2）由三角函数的诱导公式，可得 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.设函数 ‎（1）求的单调区间和极值 ‎（2）求在区间上的最值 ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极小值为；（2）最小值为0，最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的定义域为和，利用导数求得函数的单调性与极值，即可得到结论；‎ ‎（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而利用和的大小关系，即可求得函数的最值.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，‎ 且，‎ 因为，则，‎ 令，即，解得，所以函数在上单调递增；‎ 令，即，解得，所以函数在上单调递减，‎ 所以函数在处取得极小值，极小值为.‎ ‎（2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当处取得最小值，最小值为.‎ 又由，，‎ 因为，所以函数的最大值为，‎ 所以函数在区间的最小值为0，最大值为 ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，以及求解函数的极值与最值，注意数形结合思想的应用.‎ ‎20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．‎ ‎（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；‎ ‎(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.‎ ‎【详解】(1) 由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，‎ 可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，‎ 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，‎ 所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．‎ ‎(2)随机变量的所有可能取值为，‎ 则，‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以随机变量的数学期望．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．‎ ‎(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？‎ ‎(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？‎ ‎【答案】（1）若使每台机器人的平均成本最低，应买300台（2）75%‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由总成本p（x）x+150万元，可得每台机器人的平均成本，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m），分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．‎ ‎【详解】(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝，即x ‎＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．‎ ‎(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为＝120(人)．‎ ‎∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.‎ ‎【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查基本不等式求最值，是中档题．‎ ‎22.已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.‎ 试题解析：（1）的定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.‎ ‎ ‎