精品人教版八年级数学上册第十二章12.3角平分线的性质

精品人教版八年级数学上册第十二章12.3角平分线的性质

第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第1课时 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性 质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重 点） 学习目标 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 导入新课 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折 的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道 理吗? A B C(E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器 的功能吗？ A BO 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明 作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器 的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相 等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作 图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 尺规作角平分线 A B M C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基 本的尺规作图,大家 一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大 于 MN的长为半径画弧，两 弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所 求. 1 2 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点 作这条直线的垂线的方法. AB O C 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三 次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可 以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表 示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程. 方法归纳 u 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. u应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且 BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B CD E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 典例精析 例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm， 则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 A B C P 变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分 ∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D 14 PDBC PD PB DB PC PB DB BC DB AD DB AB              （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 1 2PDBS  由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离 是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所 示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M C O A 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C EA D 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 1 14 2 2 7, 2 2ABCS AC       方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高， 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． E D CB A 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周 长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的 点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点， PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 7 .如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC， DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分 线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. , , CD CD DE DF     课堂小结 角平分 线 尺 规 作 图 属于基本作图，必须熟练掌握 性 质 定 理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添 加 过角平分线上一点向两 边作垂线段 第十二章 全等三角形 12.3角平分线的性质 第2课时 1.理解角平分线判定定理.(难点） 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其 解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 导入新课 复习回顾 O D P P到OA的距离 P到OB的距离 角平分线上的点 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1.叙述角平分线的性质定理 不必再证全等 E 2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相 等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平 分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 讲授新课 P A O B C D E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么 结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 几何语言： 猜想: 思考：这个结 论正确吗？ 角平分线的判定 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B AD O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 证明猜想 u判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. u应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识总结 典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建 在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的 距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这 条角平分线上根据要求取点. 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度 尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这 个结论吗？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明结论 证明：过点P作PD，PE，PF分 别垂直于AB，BC，CA，垂足 分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 想一想：点P在∠A的平分线上吗？ 这说明三角形的三条角平分线有什 么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且 这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M M E N A B C PO D 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平 分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作 OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 12 解：连接OC 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 4 32 64 2 ABC AOC BOC AOBS S S S AB OE BC ON AB OM OM AB BC OM                    M E N A B C PO D 变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC， BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 chs 2 1  2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 知识与方法 例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到 △ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数 为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 1 21 2 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的 度数． 方法总结 归纳总结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 当堂练习 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、 OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离 相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E， PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离 与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理 由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B CE FD ( ( ( ( 3 4 1 2 P 3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB， 点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN. 4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　 FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　 FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH，∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 拓展思维 5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要 建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. l1 l3 l2 P1 P2 P3 P4 l1 l2l3 课堂小结 角平 分线 的判 定定 理 内 容 角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上 作 用 判断一个点是否在角的平分线上 结 论 三角形的角平分线相交于内部一点