江苏省苏州市吴江区汾湖中学2020届高三下学期期初考试数学试题

江苏省苏州市吴江区汾湖中学2020届高三下学期期初考试数学试题

(第 7 题) 数 学 参考公式： 样本数据 的方差 ，其中 ． 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合 ，集合 ，则 ▲ ． 2．复数 ，(其中 i 为虚数单位)的实部为 ▲ ． 3．函数 的定义域为 ▲ ． 4．已知某地连续 5 天的最低气温(单位：摄氏度)依次是 18， 21，22，24，25，那么这组数据 的方差为 ▲ ． 5．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八 人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数 几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这三面要 征调 300 人，而北面征调 108 人(用分层抽样的方法)，则北面共有 ▲ 人．” 6．已知椭圆 的长轴在 轴上，若焦距为 4，则 ▲ ． 7．如图是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为 8 时，则 1 2, , , nx x x… ( )22 1 1 n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ V Sh= S h 1 3V Sh= S h { }1,2,3,4A = { }4,5B = A B = ( )i 1 4iz = + ( ) ln 1f x x x= + − 22 110 2 yx m m + =− − y m = 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题−第 14 题)、解答题(第 15 题−第 20 题)．本卷满分 160 分， 考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠 笔． 其输出的结果是 ▲ ． 8．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合， 终边经过点 P(－1，2)，则 ＝ ▲ ． 9．已知函数 ，若 ， 则实数 a 的值是 ▲ ． 10．如图，正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为棱 DD1 上的点，F 为 AB 的中点，则三 棱锥 B1 — BFE 的体积为 ▲ ． 11．已知 x，y 为正数，且 ，则 x＋y 的最小值为 ▲ ． 12．如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60o，E 是 DC 中点，那么向量 与 所成角的余弦值等于 ▲ ． 13．设△ABC 的三边 a，b，c，所对的角分别为 A，B，C．若 ，则 的最大 值是 ▲ ． 14．任意实数 a，b，定义 ，设函数 ，正项数列 是公比 大 于 0 的等比数列，且 ，则 = ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) α sin 2α 2( ) log ( )af x x a x b= + − + (3) ( 3) 1f f− − = − 1 4 12 x y + =+ AC EB 2 2 23b a c+ = tan A 0 0 ab ab a b a abb ≥⊗ =  < ( ) lnf x x x= ⊗ { }na ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1010 1 2 3 2019 20201, + + ea f a f a f a f a f a= + + + = −… 2020a A A1 B CD F E B1 C1D1 △ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． (1)求边 c 的值； (2)求 的值． 16．(本小题满分 14 分) 在直三棱柱 ABC — A1B1C1 中，AB＝AC，BB1＝BC，点 P，Q，R 分别是棱 BC，CC1，B1C1 的中点． (1)求证：A1R//平面 APQ； (2)求证：直线 B1C⊥平面 APQ． 17．(本小题满分 14 分) 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P， 已知射线 AB，AC 为两边夹角为 120o 的公路(长度均超过 千米)，在两条公路 AB，AC 上分别设立游客上下点 M，N，从观景台 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM ＝ 千米，AN＝ 千米． (1)求线段 MN 的长度； (2)若 ，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值． 18．(本小题满分 16 分) 已知椭圆 的离心率为 ，点 N (2,0)为椭圆的右顶点． (1)求椭圆的方程； (2)过点 H (0,2)的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，直线 NA 与直线 NB 的斜率和为 ，求 直线 π2 63a B AB AC= = ⋅ = ， ， sin( )A C− 3 P 3 3 60MPN∠ = ° 22 2 2 1( 0)yx a b a b + = > > 2 2 1 3 − R Q P A1 C1 B1 B CA l 的方程． 19．(本小题满分 16 分) 已知函数 ， ， ． (1)当 时，求函数 的单调区间； (2)若曲线 在点(1,0)处的切线为 l : x＋y－1＝0，求 a，b 的值； (3)若 恒成立，求 的最大值． 20．(本小题满分 16 分) 记无穷数列 的前 n 项 ， ，…， 的最大项为 ，第 n 项之后的各项 ， ，…的最小项为 ， ． (1)若数列 的通项公式为 ，写出 ， ， ； (2)若数列 的通项公式为 ，判断 是否为等差数列，若是，求出公 差；若不是，请说明理由； (3)若数列 为公差大于零的等差数列，求证： 是等差数列． ( ) 2exf x x x= + − ( ) 2g x x ax b= + + ,a b∈R 1a = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( )y f x g x= − ( ) ( )f x g x≥ a b+ { }na 1a 2a na nA 1na + 2na + nB n n nb A B= − { }na 22 7 6na n n= − + 1b 2b 3b { }nb 1 2nb n= − { }1n na a+ − { }nb { }1n na a+ − 数学(I)参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答题卡相应位置上． 1． 2． 3． 4．6 5．8100 6．8 7． 2 8． 9．7 10． 11．7 12． 13． 14． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) 解：（1）因为 ，所以 即 ， 因此 ①， ……………2 分 又因为 由余弦定理， ②， 由①②及 ，可得 ， ……………4 分 所以 或 （舍），因此 ． ……………6 分 （2）由（1）知 ，代入②， 即 又 ，因此 ， ……………8 分 又由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ， 则 ． ……………10 分 又 ，所以 ……………14 分 16．(本小题满分 14 分) 证明：(1)在直三棱柱 中， 且 ， 因点 分别是棱 的中点，所以 且 ， 所以四边形 是平行四边形，即 且 ， ……………2 分 又 且 ，所以 且 ， 即四边形 是平行四边形，所以 ， ……………4 分 又 平面 ， 平面 ， { }4 4− (0,1] 4 5 − 12 1 7 14 2 4 1 e 6AB AC⋅ =  cos 6,bc A = 2 2 2 62 b c abc bc + −⋅ = 2 2 2 12b c a+ − = π ,3B = 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 2a = 2 6 0c c− − = 3c = 2c = − 3c = 3c = 2 4 9 2 3 7,b = + − × = 0b > 7b = 2 2 2 2 77 9 4cos 2 76 7 b c aA bc + − + −= = = (0,π)A∈ 2 21sin 1 cos 7A A= − = 2 4 31cos2 2cos 1 ,sin 2 2sin cos7 7A A A A A= − = = = 2π π3C A B A= − − = − 2πsin( ) sin[ ( )]3A C A A− = − − 2sin(2 π)3A= − 2 2sin 2 cos π cos2 sin π3 3A A= − 4 3 31 1 2 7 2 7 = − × − × 5 3.14 = − 1 1 1ABC A B C− 1 1//BC B C 1 1BC B C= ,P R 1 1,BC B C 1//BP B R 1BP B R= 1BPRB 1//PR BB 1PR BB= 1 1//AA BB 1 1AA BB= 1//PR AA 1PR AA= 1APRA 1//AP A R AP ⊂ APQ 1A R ⊄ APQ 所以 平面 . ……………6 分 (2)因为直三棱柱 ，所以四边形 是平行四边形， 又因 ，所以四边形 是菱形，所以 ， 又点 分别是棱 的中点， 即 ，所以 . ……………9 分 因为 ，点 是棱 的中点，所以 ， 由直三棱柱 ，知 底面 ，即 ， 又 平面 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，又 平面 ，则 ，……………12 分 又 平面 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ……………14 分 17．(本小题满分 14 分) (1)在 中，由余弦定理得， ， 所以线段 的长度为 3 千米． ……………4 分 (2)设 ，因为 ，所以 ， 在 中，由正弦定理得， ． ……………6 分 所以 ， ， 因此 ……………9 分 ， 因为 ，所以 ． 所以当 ，即 时， 取到最大值 6． ……………13 分 答：两条观光线路距离之和的最大值为 6 千米． ……………14 分 18．(本小题满分 16 分) (1)因为点 是椭圆的右项点，所以 . 又 ，所以 ，又 ，所以 所以椭圆的方程为 . ……………4 分 (2)若直线 与 轴垂直，则 ，则 ， 1 //A R APQ 1 1 1ABC A B C− 1 1BCC B 1BB BC= 1 1BCC B 1 1B C BC⊥ ,P Q 1 1,BC C C 1//PQ BC 1B C PQ⊥ AB AC= P BC AP BC⊥ 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC 1BB AP⊥ BC ⊂ 1 1B C CB 1BB ⊂ 1 1B C CB BC  1=BB B AP ⊥ 1 1BCC B 1B C ⊂ 1 1B C CB 1AP B C⊥ AP ⊂ APQ PQ ⊂ APQ AP  =PQ P 1B C ⊥ APQ AMN∆ 2 2 2 2 cos120MN AM AN AM AN= + − ⋅ ° 13 3 2 3 3 9, 32 MN = + − × × × − = =   MN PMN α∠ = 60MPN∠ = ° 120PNM α∠ = °− PMN∆ ( )sin sin 120 sinM MN P P M P N N α α= =∠ ° − 3 2 3sin 60 = =° ( )2 3sin 120PM α= ° − 2 3sinPN α= ( )2 3sin 120 2 3sinPM PN α α+ = ° − + 3 12 3 cos sin 2 3sin2 2 α α α = + +    ( )3 3sin 3cos 6sin 30α α α= + = + ° 0 120α° < < ° 30 30 150α° < + ° < ° 30 90α + ° = ° 60α = ° PM PN+ (2,0)N 2a = 2 2 c a = 2c = 2 2 2b c a+ = 2 2b = 2 2 14 2 x y+ = l x (0, 2), (0, 2)A B − 4 2 2 1, ,2 2 3NA NB N NBk k k k= − = + ≠ − 所以直线 的斜率存在. 设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 ，得 则有 ……………8 分 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 所以 . 又 ， 化简得 . ……………12 分 又 ， 所以 ， 化简得 ，解得 或 ，又 时，过点 ，故舍去， 所以直线 的方程为 . ……………16 分 19．(本小题满分 16 分) (1)由题意知 ，则 . ……………1 分 令 得 ，所以 在 上单调递增. 令 得 ，所以 在 上单调递减. 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. ……………3 分 (2)因为 ，得 ， ……………4 分 由曲线在 处的切线为 ，可知 ，且 ， 所以 ……………6 分 (3)设 ,则 恒成立. 易得 (i)当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增. l l ( ) ( )1 1 2 22, , , ,y kx A x y B x y= + 2 2 2 14 2 y kx x y = + + = y ( )2 22 1 8 4 0k x kx+ + + = 1 2 1 22 2 8 4,2 1 2 1 kx x x xk k −+ = =+ + ( )2 2 2 1(8 ) 4 2 1 4 0 2k k k= − × + × > ⇒ >△ NA 1 1 2 y x − NB 2 2 2 y x − ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 11 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 y x y xy y x x x x − + −+ = = −− − − − 1 1 2 22, 2y kx y kx= + = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 11 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 kx x kx xy y x x x x + − + + −+ =− − − − ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (2 2 ) 8 1 2 4 3 kx x k x x x x x x + − + −= = −− + + ( )1 2 1 2(6 1) (4 6 ) 20 0k x x k x x+ + − + − = 1 2 1 22 2 8 4,2 1 2 1 kx x x xk k −+ = =+ + 2 2 4 8(6 1) (4 6 ) 20 02 1 2 1 kk kk k −+ × + − × − =+ + 2 2 0− − =k k 1 2k = 2 1k = − 2 1k = − N l 2 2y x= + ( ) e 2xF x x b= − − ( ) e 2xF x′ = − ( ) e 2 0,xF x′ = − > ln2x > ( )F x ( )ln2,+∞ ( ) e 2 0,xF x′ = − < ln2x < ( )F x ( ),ln2−∞ ( )F x ( )ln2,+∞ ( ),ln2−∞ ( ) e) ( 1)( = x ay f bx xg x − +− −= ' (=e 1)xy a− + ( )1,0 : 1 0l x y+ - = e ( 1) =0a b− + − e ( 1)= 1a− + − e, 1.a b= = − ( ) ( ) ( ) ( )e 1xh x f x g x a x b= − = − + − ( ) 0h x ≥ ( ) ( )e 1 .xh x a=′ − + 1 0a + ≤ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ),−∞ +∞ ①若 ，则当 时满足条件，此时 ； ……………7 分 ②若 ，取 即 且 ， 此时 ，所以 不恒成 立． 不满足条件； ……………10 分 (ii)当 时，令 ，得 由 ，得 ； 由 ，得 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 要使得“ 恒成立”，必须有 “当 时， ”成立. 所以 .则 ……13 分 令 则 令 ，得 由 ，得 ； 由 ，得 所以 在 上单调递增，在 上单调递减, 所以，当 时， 从而，当 时， 的最大值为 . ……………16 分 20．(本小题满分 16 分) (1)由题知数列 的通项公式为 ， 可知 ， ， ， 且当 时是单调递增数列， 所以 ， ， , 所以 ， ， 分别为 1，－2，－7. ……………3 分 (2)由题知数列 的通项公式为 ， 所以数列 是单调递减的数列，且 ， 由题知 ， ， 因为 ， 故数列 是单调递增数列， 所以当 时， ， ， ……………6 分 故 ， 所以数列 的通项公式是 ， 即数列 是等差数列，公差 . ……………8 分 1 0a + = 0b ≤ 1a b+ ≤ − 1 0a + < 0 1 ( ) 0h x′ = ( )ln 1 .x a= + ( ) 0h x′ > ( )ln 1x a> + ( ) 0h x′ < ( )ln 1 .x a< + ( )h x ( )( ),ln 1a−∞ + ( )( )ln 1 ,a + +∞ ( ) ( )e 1 0xh x a x b= − + − ≥ ( )ln 1x a= + ( ) ( ) ( ) ( )min 1 1 ln 1 0h x a a a b= + − + + − ≥ ( ) ( ) ( )1 1 ln 1b a a a≤ + − + + ( ) ( ) ( )2 1 1 ln 1 1.a b a a a+ ≤ + − + + − ( ) 2 ln 1, 0,G x x x x x= − − > ( ) 1 ln .G x x= −′ ( ) 0G x′ = e.x = ( ) 0G x′ > 0 ex< < ( ) 0G x′ < e.x > ( )G x ( )0,e ( )e,+∞ ex = ( )max e 1.G x = − e 1, 0a b= − = a b+ e 1− { }na 22 7 6na n n= − + 1 1a = 2 0a = 3 3a = 4 10a = 2n ≥ 1 1 1 1 0 1b A B= − = − = 2 2 2 1 3 2b A B= − = − = − 3 3 3 3 10 7b A B= − = − = − 1b 2b 3b { }nb 1 2nb n= − { }nb 0nb < nnA a≥ 1nnB a +≤ 1 1 10n n n n n n n n nb A B a a a a a a+ + += − ≥ − ⇒ − < ⇒ < { }na 1n ≥ n nA a= 1n nB a += 1 1( ) 1 2n n n n n n nb A B a a a a n+ += − = − = − − = − { }1n na a+ − 1 2 1n na a n+ − = − { }1n na a+ − 2d = (3)由题知数列 为公差大于零的等差数列， 故设 且公差 ， 当 时，有 ， 整理得 ， 若 ，则有 ， 故 ， ……………10 分 因为 ，所以当 时 ， 当 时 ， 类似的可以证明 ， ……………12 分 因为 ， 故有 ， 故数列 是单调递增数列， ……………14 分 所以当 时， ， ， 故 ， 所以数列 的通项公式是 ， 即数列 是等差数列，公差为 . ……………16 分 { }nb 1 ( 1)nb b n d= + − 0d > 1n ≥ 1 1 1n n n n n nb b d A B A B d+ + += + ⇒ − = − + 1 1n n n nA A B B d+ +− = − + 1nB m+ = nB m≤ 1 10n n n nB B d A A+ +− + > ⇒ > 1 1A a= 1n= 2 1 2 2A A A a> ⇒ = 2n = 3 2 3 3A A A a> ⇒ = n nA a= 1n nA A+ > 1 2 3 1n na a a a a +< < < < < <  { }na 1n ≥ n nA a= 1n nB a += 1 1 1( ) ( 1)n n n n n n nb A B a a a a b n d+ += − = − = − − = + − { }1n na a+ − 1 1 ( 1)( )n na a b n d+ − = − + − − { }1n na a+ − d−