2021高考数学大一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用理新人教A版

2021高考数学大一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用理新人教A版

考点规范练34　基本不等式及其应用 ‎　考点规范练B册第21页　 ‎ 基础巩固 ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎>lg x(x>0) B.sin x+‎1‎sinx‎≥‎2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R) D‎.‎‎1‎x‎2‎‎+1‎>1(x∈R)‎ 答案:C 解析:因为x>0,所以x2+‎1‎‎4‎‎≥‎2·x‎·‎‎1‎‎2‎=x,‎ 所以lgx‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎‎≥‎lgx(x>0),故选项A不正确;‎ 当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;‎ 由基本不等式可知选项C正确;‎ 当x=0时,‎1‎x‎2‎‎+1‎=1,故选项D不正确.‎ ‎2.若正数x,y满足‎1‎y‎+‎‎3‎x=1,则3x+4y的最小值是(　　)‎ A.24 B.28 C.25 D.26‎ 答案:C 解析:∵正数x,y满足‎1‎y‎+‎‎3‎x=1,‎ ‎∴3x+4y=(3x+4y)‎1‎y‎+‎‎3‎x=13+‎3xy‎+‎12yx≥‎13+3×2xy‎·‎‎4yx=25,‎ 当且仅当x=2y=5时等号成立.‎ ‎∴3x+4y的最小值是25.故选C.‎ ‎3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+‎1‎a,n=a+‎1‎b,则m+n的最小值是(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案:B 5‎ 解析:由题意知ab=1,则m=b+‎1‎a=2b,n=a+‎1‎b=2a,‎ 故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).‎ ‎4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a‎‎2ab‎2b=a,‎ ‎∴‎2‎a+b<‎‎1‎ab‎,即‎2aba+b‎<‎ab,∴a0,b>0)对称,则‎1‎a‎+‎‎4‎b的最小值为(　　)‎ A.8 B.9 C.16 D.18‎ 答案:B 解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.‎ 所以‎1‎a‎+‎4‎b=‎‎1‎a‎+‎‎4‎b(a+b)=5+ba‎+‎4ab≥‎5+4=9,当且仅当ba‎=‎‎4ab,即2a=b=‎2‎‎3‎时等号成立,故选B.‎ ‎6.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2‎3‎,则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最大值为(　　)‎ A.2 B‎.‎‎3‎‎2‎ C.1 D‎.‎‎1‎‎2‎ 答案:C 解析:由ax=by=3,‎1‎x‎+‎1‎y=‎1‎loga3‎+‎1‎logb3‎=lga+lgblg3‎=lg(ab)‎lg3‎.‎又a>1,b>1,所以ab‎≤‎a+b‎2‎‎2‎=3,‎ 所以lg(ab)≤lg3,从而‎1‎x‎+‎1‎y≤‎lg3‎lg3‎=1,当且仅当a=b=‎3‎时等号成立.‎ 5‎ ‎7.(2019河北涞水波峰中学高三模拟)已知x>0,y>0,且‎4‎x‎+‎‎1‎y=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　. ‎ 答案:[-3,2]‎ 解析:x+y=(x+y)‎·‎‎4‎x‎+‎‎1‎y=5+xy‎+‎4yx≥‎5+2xy‎×‎‎4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].‎ ‎8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎6‎‎3‎ 解析:∵x>1,∴logx9+log27x=‎2lg3‎lgx‎+lgx‎3lg3‎≥‎2‎2‎‎3‎‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎,当且仅当x=‎3‎‎6‎时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为‎2‎‎6‎‎3‎‎.‎ ‎9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转 ‎　　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　　万元. ‎ 答案:5　8‎ 解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+‎‎25‎x,而x>0,所以yx‎≤‎18-2‎25‎=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.‎ ‎10.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则ab‎2‎‎+1‎的最大值为　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎ 解析:ab‎2‎‎+1‎‎=‎2‎‎2‎×‎2‎ab‎2‎‎+1‎≤‎2‎‎2‎×‎‎1‎‎2‎(2a2+b2+1)=‎2‎‎4‎‎×‎(3+1)=‎2‎,当且仅当‎2‎a=b‎2‎‎+1‎,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故ab‎2‎‎+1‎的最大值为‎2‎‎.‎ ‎11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+‎1‎‎8‎b的最小值为　　　　　. ‎ 答案:‎‎1‎‎4‎ 解析:因为2a>0,‎1‎‎8‎b>0,‎ 5‎ 所以2a+‎1‎‎8‎b=2a+2-3b≥2‎2‎a‎·‎‎2‎‎-3b=2‎2‎a-3b,‎ 当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.‎ 因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.‎ 所以2a+‎1‎‎8‎b‎≥‎2‎2‎‎-6‎‎=‎‎1‎‎4‎,即2a+‎1‎‎8‎b的最小值为‎1‎‎4‎‎.‎ 能力提升 ‎12.若不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.a≤2‎2‎ B.a≥2‎2‎ C.a‎≤‎‎11‎‎3‎ D.a‎≤‎‎9‎‎2‎ 答案:A 解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy‎2‎-axy+1≥0.令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0.‎ 由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t‎∈‎‎1‎‎3‎‎,2‎,即2t2-at+1≥0在t‎∈‎‎1‎‎3‎‎,2‎时恒成立.‎ 由2t2-at+1≥0可得a‎≤‎‎2t‎2‎+1‎t,即a≤2t+‎‎1‎t‎.‎ 又2t+‎1‎t‎≥‎2‎2t·‎‎1‎t=2‎2‎,‎ 当且仅当2t=‎1‎t,即t=‎2‎‎2‎时等号成立,所以2t+‎1‎t取得最小值2‎2‎,所以有a≤2‎2‎,故选A.‎ ‎13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a‎2‎x对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案:D 解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.‎ ‎∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a‎2‎x对任意实数x,y都成立,‎ ‎∴2x+a‎2‎x‎≥‎f(y)max=4,‎ ‎∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;‎ 令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,‎ ‎∴实数a的最小值为4.‎ 5‎ ‎14.已知x>0,a为大于2x的常数.‎ ‎(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;‎ ‎(2)求y=‎1‎a-2x-x的最小值.‎ 解:(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=‎1‎‎2‎‎×‎2x(a-2x)‎≤‎1‎‎2‎×‎2x+(a-2x)‎‎2‎‎2‎=‎a‎2‎‎8‎,当且仅当x=a‎4‎时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为a‎2‎‎8‎‎.‎ ‎(2)y=‎1‎a-2x-x=‎1‎a-2x‎+a-2x‎2‎-a‎2‎≥‎2‎1‎‎2‎‎-a‎2‎=‎2‎-‎a‎2‎,当且仅当x=a-‎‎2‎‎2‎时取等号.‎ 故y=‎1‎a-2x-x的最小值为‎2‎‎-a‎2‎.‎ 高考预测 ‎15.若a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 　　　　　　　　. ‎ 答案:(-∞,1]∪[9,+∞)‎ 解析:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,‎ ‎∴(a+b)2=(ab-3)2,‎ ‎∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,‎ 即(ab)2-10ab+9≥0,‎ 故ab≤1或ab≥9.‎ 因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).‎ 5‎