2019-2020学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次段考数学试题 Word版

2019-2020学年广东省中山市第一中学高二上学期第一次段考数学试题 Word版

中山市第一中学2019-2020学年度第一学期 高二级 第一次段考数学试题 ‎（满分150分，考试用时120分钟）‎ 命题人： 审题人：‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。1-11题是单选题，第12题是多选题)‎ ‎1．已知在△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于 (　　).‎ A. 76 B.‎ ‎2．下列结论正确的是 (　　)‎ A. 若ac>bc,则a>b B. 若a8>b8,则a>b C. 若a>b,c<0,则acb ‎3．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a7+a12=30,则S13的值是 (　　)‎ A. 130 B. ‎65 C. 70 D. 75‎ ‎4．若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于 (　　).‎ A. 11 B. ‎15 ‎C. 17 D. 20‎ ‎5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC (　　).‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎6．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=‎2a,则cos B等于(　　)‎ A ‎7．若在△ABC中,a=4,b=A=30°,则角B的度数等于 (　　)‎ A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°‎ ‎8．设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数 A ‎9．已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos‎2A+cos ‎2A=0,a=7,c=6,则b等于（）‎ A.10 B.9 C.8 D.5‎ ‎10．已知数列{an}前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，‎ 则S15＋S22－S31的值是 (　　)‎ A．13 B．－‎76 C．46 D．76‎ ‎11．已知△ABC的重心为G，角A、B、C所对的边分别为，若，则sinA：sinB：sinC= （ ）‎ ‎ A.1：1：1 B.3：2：‎2 C.：2：1 D.：1：2‎ ‎12．（多选题）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）：‎ A．若是等差数列，则是等方差数列； B．是等方差数列；‎ C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；‎ D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)‎ ‎13．某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于　　　　. ‎ ‎14．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=　　　　　. ‎ ‎15．已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是　　　　　. ‎ ‎16．如果a>b，给出下列不等式：‎ ‎①<；②a3>b3；③>；④‎2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．‎ 其中一定成立的不等式的序号是________．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比a+b的大小.‎ ‎18．（满分12分）设等差数列{an}满足a3=3,a7= -13.‎ ‎(1)求{an}的通项公式 ;‎ ‎(2)求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值.‎ ‎19．(满分12分) 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ ‎ ‎20．(满分12分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且满足cos ‎2C－cos ‎2A＝2sin·sin.‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若且，求2b－c的取值范围．‎ ‎21．(满分12分) 已知数列的前项和为，，，设． ‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）数列满足，设， 求．‎ ‎22． (满分12分)已知数列{an}满足 ‎(1)证明数列{an}是等差数列;‎ ‎(2)若，求数n项和.‎ 中山市第一中学2019-2020学年度第一学期 高二级第一次段考数学科参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A A C B D B D B B BCD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎ 13．6 14．350 15． 16． ②⑥‎ ‎10．解析　∵Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，‎ ‎∴S14＝7×(1－5)＝－28，a15＝60－3＝57，‎ S22＝11×(1－5)＝－44，S30＝15×(1－5)＝－60，‎ a31＝124－3＝121， ∴S15＝S14＋a15＝29，S31＝S30＋a31＝61．‎ ‎∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76．故选B．‎ ‎11.解析：因为G是△ABC的重心，则，又，则，也就是，可得，所以，由正弦定理，得。‎ ‎15．解析：由题意可设三角形的三边分别a,aq,因为三角形两边之和大于第三边,‎ 所以又a>0,q>0,解 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比a+b的大小.‎ 解a+b a2-b2=(a2-b2‎ 又a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a-b>0,ab>0,‎ a+b)>0,‎ ‎18．（满分12分）设等差数列{an}满足a3=3,a7= -13.‎ ‎(1)求{an}的通项公式 ; (2)求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值.‎ 解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=3,a7= -13,‎ ‎ 所以数列{an}的通项公式为an=15-4n.‎ ‎(2)由(1)知,Sn=nn-2n2.‎ 因为Sn=, 所以当n=3时,Sn取得最大值21.‎ ‎19．（满分12分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ 解：设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝．‎ 在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝，‎ ‎∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．‎ ‎∴∠CBD＝120°．在△BCD中，由正弦定理，得 ＝，‎ ‎∴＝， ∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30°．‎ 故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．‎ ‎20．（满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ‎2C－cos ‎2A＝2sin·sin.‎ ‎(1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．‎ 解　(1)由已知得2sin‎2A－2sin‎2C＝2，又A∈(0，π)，‎ 化简得sin A＝，故A＝或.‎ ‎(2)由题意知，若b≥a，则A＝，又a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，‎ 得b＝2sin B，c＝2sin C，故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin ‎＝3sin B－cos B＝2sin.‎ 因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，所以2sin∈[，2)．‎ 即2b－c的取值范围为[，2)．‎ ‎21．(满分12分) 已知数列的前项和为，，，设． ‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）数列满足，设， 求T20．‎ 解及证：（Ⅰ）由于， ① 当时，． ②‎ ‎①②得 ．所以 ‎ 又，所以．‎ 因为，且，所以．‎ 所以．‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则（）．‎ ‎ ‎ ‎ ． T20 =‎ ‎22．(满分12分)已知数列{an}满足 ‎(1)证明数列{an}的是等差数列;‎ ‎(2)若，求数n项和.‎ ‎（1）证明：∵因为 ‎ ∴当时，有 两式相减得：‎ ‎，‎ ‎∴数列{an}是等差数列.‎ ‎(2)解：由 得，又，得，‎ 设数n项和为Sn, 即Sn=a1 ‎ 则S1=a1=1, ‎ ‎∵当n>1‎ ‎==‎ ‎∴Sn 当n=1时,S1=1也符合该公式.‎ 综上可知,数n项和Sn