高考数学一轮复习精品学案：第23讲 三角函数的图象与性质

高考数学一轮复习精品学案：第23讲 三角函数的图象与性质

‎2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第23讲 三角函数的图象与性质 一．课标要求：‎ ‎1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；‎ ‎2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；‎ ‎3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。‎ 二．命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。‎ 预测2013年高考对本讲内容的考察为：‎ ‎1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；‎ ‎2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin（wx+φ）的图象及其变换；‎ 三．要点精讲 ‎1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ‎2．三角函数的单调区间：‎ 的递增区间是，‎ 递减区间是；‎ 的递增区间是，‎ 递减区间是，‎ 的递增区间是，‎ ‎3．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。‎ ‎4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。‎ 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。‎ 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)‎ 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。‎ 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。‎ 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。‎ ‎5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：‎ 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。‎ ‎6．对称轴与对称中心：‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 的对称轴为，对称中心为；‎ 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。‎ ‎7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；‎ ‎8．求三角函数的周期的常用方法：‎ 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。‎ ‎9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：‎ 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。‎ 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）‎ 解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。‎ 例2．函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（ ）‎ 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。‎ 点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。‎ 题型2：三角函数图象的变换 例3．试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。‎ 解析：y=sin（2x+）‎ 另法答案：‎ ‎（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；‎ ‎（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；‎ ‎（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。‎ 例4．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）‎ A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0‎ C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0‎ 解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.‎ 点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。‎ 题型3：三角函数图象的应用 例5．已知电流I与时间t的关系式为。‎ ‎（１）右图是（ω＞0，）‎ 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式；‎ ‎（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？‎ ‎ 解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．‎ ‎（１）由图可知 A＝300。‎ 设t1＝－，t2＝， ‎ 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。‎ ‎∴ ω＝＝150π。‎ 又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，‎ 而， ∴ ＝。‎ 故所求的解析式为。‎ ‎（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）‎ ‎∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，‎ 故最小正整数ω＝943。‎ 点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。‎ 图 例6．（1）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。‎ 解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，‎ ‎∴ω=，∴y=2sin（+），‎ 又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。‎ 根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），‎ ‎∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。‎ ‎∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。‎ 点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。‎ ‎（2）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）‎ A．（，）∪（π，） B．（，π）‎ C．（，） D．（，π）∪（，）‎ 解析：C；‎ 解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。‎ 图1 图2‎ 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2）‎ 题型4：三角函数的定义域、值域 例7．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；‎ ‎（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；‎ 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。‎ 解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。‎ ‎∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。‎ ‎（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。‎ 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。‎ 故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。‎ 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。‎ 例8．已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。‎ 解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，‎ 因为f（x）的定义域关于原点对称，‎ 且f（－x）==f（x）。‎ 所以f（x）是偶函数。‎ 又当x≠（k∈Z）时，‎ f（x）=。‎ 所以f（x）的值域为{y|－1≤y<或

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