2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高二上学期开学考试数学试题-解析版
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安徽省蚌埠市第二中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式不等式的解法得到集合M的元素，再由对数的真数大于0以及对数不等式的解法得到集合N，再由集合交集的概念得到结果.
【详解】
，故集合, ,集合N，.
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了集合的交集的运算，与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集；（2）看这些元素满足什么限制条件；（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
2．若，且，则（ ）
A． 3 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设t=g(x),反解出x，再代入表达式得到，将t换为x即可.
【详解】
若=，设t=2x+1,
故.
故答案为：B.
【点睛】
这个题目考查了复合函数解析式的求法，一般常用的方法有：换元法，即设整体为t,反解x，再代入表达式，得到f(t)的表达式，将t换为x即可；还有配凑法，即将函数表达式配凑出括号内的整体.
3．已知a=2log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． c＞b＞a B． c＞a＞b C． a＞b＞c D． b＞c＞a
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：比较大小
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：单调递增，仅有一个零点．又，, 故函数的零点位于区间．
考点：函数的零点问题.
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由等差数列的性质，可知，
又因为，故选C．
考点：等差数列的性质．
6．运行如下图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数， 是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，
其中基本事件的总数为5，
设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，
当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0
事件E包含基本事件为3，
则．
故选：A．
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2)
注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
7．设数列满足，通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，，
…………...(1) ， ……....(2),
(1)-(2)得： ，，符合，则通项公式是，选C.
8．已知函数的一部分图像，如下图所示，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图，分别求出A=2，B=2, 又T=﹣=得到ω=2，代入最值点得到φ的值即可．
【详解】
根据函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象知，
A=2，B=2，∴A、C错误；
又T=﹣=，
∴T==π，解得ω=2，B错误；
由五点法画图知x=时，ωx+φ=2×+φ=，
解得φ=，∴D正确；
故选：D．
【点睛】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
9．用指数模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝㏑y，变换后得到线性回归直线方程，则常数的值为（ ）
A． B． C． 0.3 D． 4
【答案】A
【解析】
【分析】
我们根据对数的运算性质：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，对应常数为4= lnc，c=e4.
【详解】
∵y=cekx，
∴两边取对数，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴l n c=4，
∴c=e4．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
10．半径为的扇形的圆心角为，点在弧AB上，且，若，则（ ）
A． B． C． 3 D．
【答案】B
【解析】
试题分析：以为坐标原点,,所在直线分别为建立直角坐标系,则,,
即,,
,
,.故B正确.
考点：坐标法解决向量问题.
11．如果已知的三个内角所对的三条边分别是，且满足
， ，则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到边的程，再由不等式得到，解出a+b的最大值，，根据三角形两边之和大于第三边得到a+b>c=2，从而得到周长的最小值.
【详解】
根据已知条件和余弦定理得到
消去c得到
解得0
c,周长l的取值范围为
故答案为：D.
【点睛】
解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用余弦定理，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
12．下列命题中错误的个数为：（ ）
①的图像关于点对称；②的图像关于点对称；
③的图像关于直线对称；④的图像关于直线对称。
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义：设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立判断②，根据三角函数的图象 的性质判断④.
【详解】
，f（﹣x）==+=﹣ =﹣f（x），
∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确;
y=x3-x-1的图象关于（0，-1）对称；
由题意设对称中心的坐标为（a，b），
则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，
2b=（a+x）3-（a+x）-1+（a﹣x）3-（a﹣x）-1对任意x均成立，
∴a=0，b=-1
即对称中心（0，-1），故不正确;
③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，
④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性的判断和应用，以及函数的对称性的应用，常见的结论有：一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
13．已知，则______________。
【答案】或
【解析】
试题分析：，当为第二象限角时，，
当为第三象限角时，.所以.
考点：三角函数值.
14．若x，y满足：,则2y−x的最小值是__________。
【答案】3
【解析】
【分析】
根据不等式组画出可行域，将目标函数化为z=2y﹣x，则y=x+z，结合图像得到最值.
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y=x+z，
平移y=x+z，
由图象知当直线y=x+z经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
【点睛】
利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
15．若正数满足，则的最大值为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
令t=，则由基本不等式可得，，再根据不等式将表达式化简得到 ，最终根据二次函数的性质得到最值.
【详解】
∵3a+b=1，a＞0，b＞0
令t=，则由基本不等式可得，
则
=1﹣2t2+结合二次函数的性质可得，当t= 取得最大值，结果为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．已知数列满足,记数列的前项和为,则数列的前项和为_________。
【答案】
【解析】
试题分析：由，得，两式相减得世，所以，所以数列是等差数列，在中令得，即，又，所以，，，
．
考点：等差数列的判断，等差数列的前项和，裂项相消法．
【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
评卷人
得分
三、解答题
17．解关于的不等式．
【答案】当时；当时；当时；当时或; a=0时，不等式的解集为∅.
【解析】
【分析】
根据题意，分3种情况讨论：①，a=0时，不等式变形为：0＞1，②，当a=1时，不等式为＞1，③，a≠0且a≠1时，不等式变形为[（a﹣1）x+2]（x﹣2）＞0，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，分3种情况讨论：
①，a=0时，不等式变形为：0＞1，解集为∅，
②，当a=1时，不等式为＞1，解可得x＞2，解集为（2，+∞）；
③，a≠0且a≠1时，不等式变形为[（a﹣1）x+2]（x﹣2）＞0，
方程[（a﹣1）x+2]（x﹣2）=0有2个根，2和，
当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）；
当0＜a＜1时，不等式的解集为（2，）；
当a＜0时，不等式的解集为（，2）；
综合可得：当a＜0时，不等式的解集为（，2）；
a=0时，不等式的解集为∅，
当0＜a＜1时，不等式的解集为（2，）；
当a=1时，不等式的解集为（2，+∞）；
当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞）．
【点睛】
本题考查分式不等式的解法，注意对a进行讨论，做到不重不漏．一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的一边化为0，再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集.
18．计算（1）；（2）
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1) 把分子中的cos10°化为cos（30°﹣20°），根据诱导公式将分母化为cos20°，再利用两角差的余弦公式进行计算即可；（2）根据对数的运算公式，将两个相加的对数化为同底的对数，再根据运算得到计算结果，分别分子分母的结果即可.
【详解】
(1) =
=
=
==．
（2）分子：（log32+log92）•（log43+log83）
=（log32+log32）•（log23+log23）
==．
分母：=
两式作比得到结果为：.
故答案为：（1） （2）.
【点睛】
1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
19．某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图．
⑴求图中a的值，并估计日需求量的众数；
⑵某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元。设当天需求量为件（），纯利润为S元．
①将S表示为的函数；②据频率分布直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率。
【答案】（1）a=0．025 ；众数为125件；（2）①，②0．7
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布直方图中所有的小长方形的面积之和为一求出的值，利用直方图中最高的小长方形底边的中点的横坐标求出众数；
（2）（ⅰ）设当天的需求量为件，当时，全部售出，获利元；若，剩余件，可得纯利润为元，由此可将表示为的函数（分段函数）；
（ⅱ）由（ⅰ）中所得函数解出纯利润不少于元时的范围，再利用直方图中频率估计相应的概率值.
试题解析：解：(1)由直方图可知：
（0.013+0.015+0.017++0.030）×10=1，
∴. 2分
∵
∴估计日需求量的众数为125件. 4分
（2）（ⅰ）当时，6分
当时，8分
∴. 9分
（ⅱ）若由 得,
∵，
∴. 11分
∴由直方图可知当时的频率是，
∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7. 14分
考点：1、频率分布直方图的应用；2、分段函数.
20．已知数列中， ，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列。
（2）试确定数列中的最大项和最小项，并求出相应项的值。
【答案】（1）见解析；（2）最小项为且，最大项为且.
【解析】
【分析】
（1）把给出的变形得anan﹣1=2an﹣1﹣1，然后直接求bn+1﹣bn，把bn+1和bn用an+1和an表示后整理即可得到结论；（2）求出数列{bn}的通项公式，则数列{an}的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项．
【详解】
（1）证明：由，得：anan﹣1=2an﹣1﹣1，则an+1an=2an﹣1．
又，
∴bn+1﹣bn=
====1．
∴数列{bn}是等差数列；
（2）解：∵，，
又数列{bn}是公差为1的等差数列，
∴，
则=，
当n=4时，取最大值3，当n=3时，取最小值﹣1．
故数列{an}中的最大项是a4=3，最小项是a3=﹣1．
【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查了数列的函数特性，正确确定数列的通项，利用数列的函数特性求出数列的最大值和最小值是该题的难点所在，是中档题．数列最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．
21．已知函数的最大值为2。
（1）求函数在上的单调递减区间。
（2）中，若角所对的边分别是且满足， 边，及,求的面积。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【详解】
（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），
∴f（x）的最大值为，
∴=2，
又m＞0，∴m=，
∴f（x）=2sin（x+），
令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，
化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，
由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，
由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，
将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，
解得：ab=3或ab=﹣（舍去），
则S△ABC=absinC=．
【点睛】
此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
22．（12分）对于函数，如果存在实数、使得，那么称为的生成函数．
（1）下面给出两组函数，是否为的生成函数？并说明理由。
第一组：；
第二组：。
（2）设，，，生成函数，若不等式在上有解，求实数t的取值范围。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）分别在两组先假设是
的生成函数，然后根据生成函数的定义列出方程组，解出即可；（2）根据生成函数的定义写出的解析式，则在上有解，假设，则，
，求得的最小值即可得到实数的取值范围.
试题解析：（1）① 设，即，取，所以是的生成函数．
② 设，即，
则，该方程组无解，所以不是的生成函数．
（2）因为，所以， 不等式在上有解，
等价于在上有解，令，则，由，知取得最小值，所以．
考点：1.辅助角公式；2.对数的运算性质；3.二次函数在某个区间上的最值问题；
