【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第3讲等比数列及其前n项和学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第3讲等比数列及其前n项和学案

第3讲　等比数列及其前n项和 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P101])‎ ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．‎ ‎(2)等比中项 如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1．‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝ ‎3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；‎ ‎(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；‎ ‎(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．‎ ‎(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎2．等比数列的三种判定方法 ‎(1)定义法：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．‎ ‎3．求解等比数列的基本量常用的思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．‎ ‎(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．‎ ‎1. 等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于(　　)‎ A．27　　　　　　　　　　　　 B．36‎ C． D．54‎ ‎　C　[解析] 法一：由a3＝12，a4＝18，得 解得a1＝，q＝，‎ 所以a6＝a1q5＝×＝.故选C.‎ 法二：由等比数列性质知，a＝a2a4，‎ 所以a2＝＝＝8，‎ 又a＝a2a6，所以a6＝＝＝.故选C.‎ ‎2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)‎ A．31 B．32‎ C．63 D．64‎ ‎　C　[解析] 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.‎ ‎3. 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．‎ ‎[解析] 设该数列的公比为q，由题意知，‎ ‎243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.‎ 所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.‎ ‎[答案] 27，81‎ ‎4. 由正数组成的等比数列{an}满足a3a8＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝________．‎ ‎[解析] log2a1＋log2a2＋…＋log2a10‎ ‎＝log2[(a1a10)·(a2a9)·…·(a5a6)]‎ ‎＝log2(a3a8)5＝log2225＝25.‎ ‎[答案] 25‎ ‎5. 在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．‎ ‎[解析] 因为a5－a1＝15，a4－a2＝6.‎ 所以a1q4－a1＝15，①　a1q3－a1q＝6，②且q≠1.‎ 得＝，即2q2－5q＋2＝0，‎ 所以q＝2或q＝，‎ 当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16(舍去)．‎ 所以a3＝1×22＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎　等比数列的基本运算(高频考点)[学生用书P102]‎ 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．‎ 高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求首项a1、公比q或项数n；‎ ‎(2)求通项或特定项；‎ ‎(3)求前n项和．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2017·兰州模拟)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝.‎ 当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，‎ 两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，‎ 即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1.‎ 所以数列{an}是首项为，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝×3n－1＝3n－2.‎ ‎(2)因为bn＝＝，‎ 所以{bn}是首项为3，公比为 的等比数列，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ‎＝.‎ 等比数列基本运算的解题技巧 ‎(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：①由已知条件列出以首项和公比为未知数的方程(组)；②求出首项和公比；③求出项数或前n项和等其余量．‎ ‎(2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为，a，aq(公比为q)；四个数成等比数列且q>0时，设为，，aq，aq3.　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求首项a1、公比q或项数n ‎1．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．‎ ‎[解析] 因为a1＝2，an＋1＝2an，‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.‎ ‎[答案] 6‎ ‎ 角度二　求通项或特定项 ‎2．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．‎ ‎[解析] 因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.‎ ‎[答案] 3n－1‎ ‎ 角度三　求前n项和 ‎3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)‎ A．－6(1－310) B．(1－3－10)‎ C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)‎ ‎　C　[解析] 由题意知数列{an}为等比数列，设其公比为q，则q＝＝－，a1＝＝4，因此其前10项和等于＝3(1－3－10)．‎ ‎　等比数列的判定与证明[学生用书P102]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2016·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎【解】　(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，‎ 所以＝.‎ 因此{an}是首项为，‎ 公比为的等比数列，‎ 于是an＝()n－1.‎ ‎(2)由(1)得，Sn＝1－()n.‎ 由S5＝得，1－()5＝，‎ 即()5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ 证明数列{an}是等比数列常用的方法 一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．　 ‎ ‎　已知数列{an}是等差数列，a3＝10，a6＝22，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{bn}是等比数列．‎ ‎[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得解得a1＝2，d＝4.‎ 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2.‎ ‎(2)证明：由Tn＝1－bn，①‎ 令n＝1，得T1＝b1＝1－b1.解得b1＝，‎ 当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，②‎ ‎①－②得bn＝bn－1－bn，所以bn＝bn－1，‎ 所以＝.又因为b1＝≠0，‎ 所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎　等比数列的性质[学生用书P103]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　　 B．1‎ C． D． ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)‎ A．31 B．36‎ C．42 D．48‎ ‎(3)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________．‎ ‎【解析】　(1)法一：因为a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，‎ 所以a＝4(a4－1)，‎ 所以a－4a4＋4＝0，‎ 所以a4＝2.又因为q3＝＝＝8，‎ 所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝，故选C.‎ 法二：因为a3a5＝4(a4－1)，‎ 所以a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)．‎ 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，‎ 解得q＝2，所以a2＝a1q＝，故选C.‎ ‎(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A.‎ ‎(3)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.‎ 由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A　(3)－ 等比数列常见性质的应用 ‎(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎(2)等比数列性质的应用可以分为三类：①通项公式的变形；②等比中项的变形；③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ ‎(3)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A． B．－ C． D． ‎　A　[解析] 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.‎ ‎2．(2017·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________．‎ ‎[解析] 设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q＝，所以a1＝4.a2a3＝＝a1a2，anan＋1＝＝an－1an(n≥2)．设bn＝anan＋1，可以得出数列{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1为数列{bn}的前n项和，由等比数列前n项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．‎ ‎[答案] (1－4－n)‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P103])‎ ‎——分类讨论思想在等比数列中的应用 ‎　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为________．‎ ‎【解析】　设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8.所以＝＝qm＝8＝，所以m＝3，所以q3＝8，‎ 所以q＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎　(1)本题在利用等比数列的前n项和公式表示S2m和Sm时，对公比q＝1和q≠1进行了分类讨论．‎ ‎(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：‎ ‎①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．‎ ‎②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．‎ ‎③项数的奇、偶数讨论．‎ ‎④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．‎ ‎　在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.‎ ‎[解] (1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，‎ 解得a1＝2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)，‎ 所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1)．‎ 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，‎ 可得当n为偶数时，‎ Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)‎ ‎＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，‎ 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.‎ 所以Tn＝ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P265(独立成册)])‎ ‎1．(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　　 B．4‎ C． D．2 ‎　B　[解析] 在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，‎ 所以q＝，a1＝＝4.‎ ‎2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)‎ A．－ B． C．－ D． ‎　A　[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.‎ ‎3．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．n(n＋1) B．n(n－1)‎ C． D． ‎　A　[解析] 因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋×2＝n(n＋1)．故选A.‎ ‎4．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎　C　[解析] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，解得 所以an＝a1qn－1＝×＝2×，所以lg an＝lg 2＋(n－4)lg ，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg ＝8lg 2＋4lg ＝4lg＝4.‎ ‎5．(2017·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 017＝(　　)‎ A．92 016 B．272 016‎ C．92 017 D．272 017‎ ‎　D　[解析] 由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，‎ 所以an＝3n，bn＝3n.‎ 又cn＝ban＝33n，‎ 所以c2 017＝33×2 017＝272 017.‎ ‎6．(2017·唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ ‎　D　[解析] 设{an}的公比为q，因为 所以 由①②可得＝2，‎ 所以q＝，代入①得a1＝2，‎ 所以an＝2×＝，‎ 所以Sn＝＝4，‎ 所以＝＝2n－1，选D.‎ ‎7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．‎ ‎[解析] 设等比数列的公比为q，则有 解得或 又{an}为递增数列，所以 所以Sn＝＝2n－1.‎ ‎[答案] 2n－1‎ ‎8．(2017·郑州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________．‎ ‎[解析] 由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，‎ 所以q＝3，由Sn＝，‎ 得S6＝，S3＝，‎ 所以＝·＝28.‎ ‎[答案] 28‎ ‎9．若{an}是正项递增等比数列，Tn表示其前n项之积，且T10＝T20，则当Tn取最小值时，n的值为________．‎ ‎[解析] T10＝T20⇒a11…a20＝1⇒(a15a16)5＝1⇒a15a16＝1，又{an}是正项递增等比数列，所以0＜a1＜a2＜…＜a14＜a15＜1＜a16＜a17＜…，因此当Tn取最小值时，n的值为15.‎ ‎[答案] 15‎ ‎10．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为________．‎ ‎[解析] 设数列{an}的公比为q，由a＝a2a4＝16得，a3＝4，即a1q2＝4，又a6＝a1q5＝32，解得a1＝1，q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1，bn＝an＋an＋1＝2n－1＋2n＝3·2n－1，所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，所以S5＝＝93.‎ ‎[答案] 93‎ ‎11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解] (1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，‎ 当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.‎ 因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，‎ 公比为的等比数列．‎ ‎(2)因为an＝，‎ 由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，‎ 得bn＋1－bn＝.‎ 可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝2＋＝3·－1(n≥2)，‎ 当n＝1时也满足，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·－1.‎ ‎12．(2017·衡阳模拟)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ ‎　C　[解析] 因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)⇒a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2⇒an＋an＋2＝2an＋1⇒an(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n，故选C.‎ ‎13．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：为等比数列．‎ ‎[解] (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，‎ 即4＋5＝8＋1，解得a4＝.‎ ‎(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，‎ ‎4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，‎ 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．‎ 因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，‎ 所以4an＋2＋an＝4an＋1，所以 ‎＝＝＝＝，所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．‎ ‎14．(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对n∈N*，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解] (1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，‎ 所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，‎ 即2a6－3a5＋a4＝0，‎ 所以2q2－3q＋1＝0，‎ 因为q≠1，‎ 所以q＝，‎ 所以等比数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)bn＝·3n ‎＝，‎ Tn＝× ‎＝.‎