四川省乐山沫若中学2019-2020学年高二4月月考数学试题

四川省乐山沫若中学2019-2020学年高二4月月考数学试题

乐山沫若中学高2018级高二下期第一次月考 数学试题（文理合卷） ‎ ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）范围：复数、导数、程序框图、统计 ‎ 一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．复数满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）‎ A. 这10天中有4天空气质量为一级 B. 这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日 C. 从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低 D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是45‎ ‎3.设函数在处存在导数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（　　）‎ A. ‎328 B.623 C. 253 D. 007‎ ‎5.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，问一开始输入的x=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：‎ ‎①－3是函数y＝f(x)的极值点；‎ ‎②－1是函数y＝f(x)的最小值点；‎ ‎③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；‎ ‎④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．‎ 以上正确命题的序号是(　　)‎ A. ①② B. ③④ C.②④ D.①③ ‎ ‎8.一组数平均数是，方差是，则另一组数，平均数和方差分别是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）‎ A. 160 B. 165 C. 166 D. 170‎ ‎10.设曲线上任一点处的切线的斜率为，则函数 的部分图象可以是（ ）‎ ‎11.（文科做）设分别是定义在上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（ ）‎ A.(－6,0)∪(6,+∞) B. (－6,0)∪(0,6) C. (－∞,－6)∪(0,6) D. (－∞,－6)∪(6,+∞) ‎ ‎11.（理科做）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. (－2,0)∪(0,2) B. (－2,0) C. (0,2) D. (－2,0)∪(2,+∞) ‎ ‎12.若函数若成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为的样本，若样本中高中生恰有30人，则的值为___________．‎ ‎14.如图1是某高三学生进入高中的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次．考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是　 　．‎ ‎15.已知函数在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.‎ ‎16.已知为自然对数的底数，若对任意的总存在唯一的使得成立，则实数的取值范围是________________.‎ 三、解答题：（总分70分，解答应写出必要的演算步骤，证明过程或文字说明）。‎ ‎17.(本小题满分10分)已知，，其中，且表示的共轭复数。‎ ‎(1)求；(2)若，求的模．‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知函数在处有极值 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求函数的单调区间．‎ ‎19某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 [70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120).‎ ‎（1）求图中m的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；‎ ‎（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数.‎ 分数段 ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,110)‎ ‎[110,120)‎ ‎1:2‎ ‎2:1‎ ‎6:5‎ ‎1:2‎ ‎1:1‎ ‎20.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.‎ ‎（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；‎ ‎（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为多少？‎ 附：相关系数公式，参考数据：，.‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，‎ ‎21.（文）如图，在多边形ABPCD中（图1），ABCD为长方形，为正三角形，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：PD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥的体积.‎ ‎21.（理）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点.将沿AD折到位置（如图2），连结PC，PB构成一个四棱锥P-ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证；‎ ‎（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．‎ ‎①求二面角的大小；‎ ‎②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为45°，求的值．‎ ‎22．（本题满分14分）设函数.‎ ‎（I）求函数的最小值；‎ ‎（II）设，讨论函数的单调性；‎ ‎（III）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.‎ ‎乐山沫若中学高2018级高二下期第一次月考 数学试题（文理合卷）答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 文科 C D A B D B D B C A C B 理科 C D A B D B D B C A D B 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 50 14、 10 15、 16、 ‎ 三、解答题(17题10分，其他各题12分，共70分)‎ ‎17.（1）设，，‎ 即：‎ 解得：——5分 （2） ‎，‎ ‎ ——10分 ‎18. 解：　(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋.‎ 又函数f(x)在x＝1处有极值，‎ 所以即解得——6分 ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 递减 极小值 递增 所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．——12分 ‎19.解（1）由，解得. ——4分 ‎（2）频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数，即估计平均数为 ‎. ——8分 ‎（3）由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在，，的分别有60人，40人，10人，按照表中给的比例，则英语成绩在，，的分别有50人，80人，10人，所以英语成绩在的有140人．——12分 ‎20.解：（1）由已知数据可得，.——2分 所以，——3分 ‎，——4分 ‎，——5分 所以相关系数.——6分 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.——7分 ‎（2）.——8分 那么.——9分 所以回归方程为.——10分 当时，，——11分 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.——12分 ‎21.（文）解：（Ⅰ）过点作，垂足.‎ 由于点在平面内的射影恰好在上，‎ ‎∴平面.∴.‎ ‎∵四边形为矩形，∴.‎ 又，∴平面，∴——3分 又由，，可得，同理.‎ 又，∴，∴，且，‎ ‎∴平面.——6分 ‎（Ⅱ）设点到底面的距离为，‎ 则.‎ 由，可知，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.——12分 ‎21.（理）证明：Ⅰ在图1中，，，‎ 为平行四边形，，‎ ‎，，‎ 当沿AD折起时，，，即，，‎ 又，平面PAB，‎ 又平面PAB，．——4分 解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD则0，，0，，1，，0，，1，‎ ‎1，，1，，0，，‎ 设平面PBC的法向量为y，，‎ 则，取，得0，，‎ 设平面PCD的法向量b，，‎ 则，取，得1，，‎ 设二面角大小为，可知为钝角，‎ 则，．‎ 二面角的大小为．——9分 设AM与面PBC所成角为，‎ ‎0，，1，，，面PBC法向量0，，‎ 直线AM与平面PBC所成的角为，‎ ‎，解得或．又因为，所以——12分 ‎22．解：‎ ‎ (Ⅱ)‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅲ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎