人教版七年级下册数学各章知识点及练习题+数学下册全册知识点大全
人教版七年级下册数学
各章知识点及练习题+数学下册全册知识点大全
七年级下册数学各章知识点及练习题
第一讲 相交线与平行线
1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种
关系的两个角，互为_____________.
2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边
的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为------________对顶角的性质：______ ______
3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.
垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.
⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.
5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角
分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做
___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这
种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条
直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.
6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系
只有________与_________两种.
7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.
8. 平行线的判定：⑴_____________________________________.
⑵___________________________ ⑶__________________________________.
9. 平行线的性质：⑴ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
（2）_______________________________.⑶__________________________________ .
10. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做_______.
平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.
⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连
1
21
2
1
2
21
接各组对应点的线段_________________.
11.判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成。命题常可
以 写 成 “ 如
果……那么……”的形式。
一、对顶角与邻补角的概念及性质
1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )
2、下列说法正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对
顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。
3、如图 1，AB 与 CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1 的对顶角
若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______
4、如图 2，直线 AB,CD,EF 相交于点 O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补
角是_______;
若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______
5、如图 3，AB,CD,EF 交于点 O,∠1=20°,∠BOC=80°,则∠2的度数
6、如图 4，直线 AB 和 CD 相交于点 O,若∠AOD 与∠BOC 的和为 236°,则∠AOC
的度数为( )
①若∠AOD-∠DOB=70,则∠BOC=_____,∠DOB=____
②若∠AOC:∠AOD=2:3,则∠BOD 的度数
7、如图 5,直线 AB,CD 相交于点 O,已知∠AOC=70°,且∠BOE:∠EOD=2:3,
则∠EOD=________
二、会识别同位角、内错角、同旁内角
1、如图 1，∠1和∠4是 AB和 被 所截得的 角，∠3和∠5是 、
被 所截得的 角，∠2和∠5是 、 所截得的 角，
AC、BC 被 AB 所截得的同旁内角是
2、如图 2，AB、DC 被 BD 所截得的内错角是 ，AB、CD 被 AC 所截是的
内错角是 ，AD、BC 被 BD 所截得的内错角是 ，AD、BC
被 AC 所截得的内错角是
3、如图 3，直线 AB、CD 被 DE 所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是
内错角，∠1和 是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1 ∠3.
34
DC
B
A
1 2
图 1
O
F
E
D
C
BA
图 2
O
F
E D
C
BA
1
2
图 3
O
DC
B
A
图 4
O
E
D
C B
A
图 5
图 1 图 2 图 3
32
1
DC
BA
4、下列所示的四个图形中， 和 是同位角的是……………（ ）
A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④
三、垂
直
1、如
图 ，
, 8 , 6 , 10 ,BC AC CB cm AC cm AB cm 那么点 A到 BC 的距离是_____，点 B到
AC 的距离是_______，点 A、B两点的距离是_____，点 C到 AB 的距离是________．
2、如图，已知 AB、CD、EF 相交于点 O，AB⊥CD，OG 平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、
∠AOE、∠AOG 的度数。
3、如图， AOC 与 BOC 是邻补角，OD、OE 分别是 AOC 与 BOC 的平分线，试判
断 OD 与 OE的位置关系，并说明理由。
四、平行线的判定
1、下列图形中，直线 a与直线 b平行的是（ ）
2、如图，已知 AB∥CD, ∠1=∠3, 试说明 AC∥BD.
3、如图，已知 AB∥CD，∠1＝∠2，试说明 EP∥FQ．
证明：∵AB∥CD，
B
ED
A
C
F
∴∠MEB＝∠MFD（ ）
又∵∠1＝∠2，
∴∠MEB－∠1＝∠MFD－∠2，
即 ∠MEP＝∠______
∴EP∥_____．（ ）
4、如图，已知∠BAF＝50°，∠ACE＝140°，CD⊥CE，能判断 DC∥AB 吗？为什么？
5、已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：AB∥EF。
五、平行线的性质
1、已知 AB∥CD，∠A＝70°，则∠1 的度数是（ ）
A．70° B．100° C．110° D．130°
2、如图 2， AB DE∥ ， 65E
，则 B C （ ）
A．135 B．115 C．36 D．65
3、如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______
4、如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE 的度数。
5、如图，AB∥CD,AD∥BC,∠A=3∠B.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.
F
E
D C
BA
A D
CB
D
BA
C
1
A B
C
D
E
6、如图，已知 AB CD/ / ， =____________
六、平行线性质与判定的综合应用
1、如图 1，∠B=∠C，AB∥EF 求证：∠BGF=∠C
2、如图 2，已知∠1=∠3，∠P=∠T。求证：∠M=∠R．
3、如图 3，AB∥DE，∠1＝∠ACB，AC 平分∠BAD，
(1) 试说明: AD∥BC．
(2) 若∠B=80°，求：∠ADE 的度数。
4、已知：如图,DE⊥AO 于 E,BO⊥AO,FC⊥AB 于 C，∠1=∠2,
求证：DO⊥AB.
5、如图，已知 ABC ，AD BC 于 D，E为 AB上一点，EF BC 于 F， //DG BA
交 CA 于 G.求证 1 2
G
F
E
D
C
B
A
第二讲 实数
1、如果一个 x的 等于 a，那么这个 x 叫做 a的算术平方根。
正数 a的算术平方根，记作
2、如果一个 的 等于 a，那么这个 就叫做 a 的平方根（或二次
方根）。 数 a(a≥0)的平方根，记作
3、如果一个 的 等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次
方根）。 一个数 a的立方根，记作
4、平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有 个，而它的算术平方根只有 个。
联系：（1）被开方数必须都为 ；（2）0的算术平方根与平方根都为
（3） 既没有．．算术平方根，又没有．．平方根
说明：求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
5、平方表和立方表（独立完成）
1
2
= 6
2
= 11
2
= 16
2
= 21
2
=
2
2
= 7
2
= 12
2
= 17
2
= 22
2
=
3
2
= 8
2
= 13
2
= 18
2
= 23
2
=
4
2
= 9
2
= 14
2
= 19
2
= 24
2
=
52= 102= 152= 202= 252=
13= 23= 33= 43= 53=
6
3
= 7
3
= 8
3
= 9
3
= 10
3
=
6、公式：⑴( a )2=a（a≥0）；⑵ 3 a = 3 a （a取任何数）；
（3）
0
02
aa
aa
aa
7、题型规律总结：
①平方根是其本身的数是 ；算术平方根是其本身的数是 ；立
方根是其本身的数是 。
②若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0。
8、无理数： 叫无理数。
（1）开方开不尽的数，如 3 2,7 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
3
π +8 等；
（3）有特定结构的数，如 0.1010010001…等。
9、实数的大小比较：对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方
或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围。
10、实数的加减运算——与合并同类项类似
典型习题
1、下列语句中，正确的是（ ）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数 D．立方根是这个数本身的数共有三个
2、下列说法正确的是（ ）
A．-2 是（-2）
2
的算术平方根 B．3是-9 的算术平方根
C．16 的平方根是±4 D．27 的立方根是±3
3、求下列各式的值 （1） 81 ；（2） 16 ；（3）
25
9
；（4）
2)4(
4、下列说法中：① 3 都是 27 的立方根，② yy 3 3
，③ 64 的立方根是 2，
④ 483 2 。其中正确的有 （ ） A、1个 B、2 个 C、3个 D、4 个
5、（-0.7）2的平方根是 6、若 2a =25, b =3,则 a+b=
7、若 m、n 互为相反数，则 nm 5 ＝_________ 8、 43 ＝ ____________
9、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a= ，x=
10、在数轴上表示 3 的点离原点的距离是 ，到原点距离等于 33 的点是
11、若 a< 440
0 D. a 的值不能确定
4. 点 P 的横坐标是-3，且到 x轴的距离为 5，则 P点的坐标是（ ）
A.（5，-3）或（-5，-3） B.（-3，5）或（-3，-5）C.（-3，5） D.（-3，-5）
5. 若点 P（a，b）在第四象限，则点 M（b-a，a-b）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 点 P 在 x轴上对应的实数是 3 ，则点 P 的坐标是 ，若点 Q 在 y 轴上
对应的实数是
3
1
，则点 Q 的坐标是
7、在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减 3，那么
图形与原图形相比（ ）
A. 向右平移了 3个单位长度 B. 向左平移了 3个单位长度
C. 向上平移了 3个单位长度 D. 向下平移了 3个单位长度
8、已知点 M1（-1，0）、M2（0，-1）、M3（-2，-1）、M4（5，0）、 M5（0，5）、
M6（-3，2），其中在 x轴上的点的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 个 D. 4 个
9． 点 P（ 22 a ，-5）位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D.四
10． 已知点 P（2x-4，x+2）位于 y轴上，则 x的值等于（ ）
A. 2 B. -2 C. 2 或-2 D. 上述答案都不对
11． 在下列各点中，与点 A（-3，-2）的连线平行于 y轴的是（ ）
A. （-3，2） B. （3，-2） C. （-2，3） D. （-2，-3）
12、已知点 A的坐标是（a，b）,若 a+b<0,ab>0 则它在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
13、已知三角形 AOB 的顶点坐标为 A（4，0）、B（6，4），O为坐标原点，则它的
面积为（ ）A. 12 B.8 C.24 D.16
14、点 M (x，y )在第二象限，且| x | – 2 = 0，y 2 – 4 = 0，则点 M的坐
标是( ) A（– 2 ，2) B．( 2 ，– 2 ) C．(—2， 2 ) D、（2，– 2 ）
15、已知点 P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到 x轴的距离为 3，则
点 P的坐标为_______
16、M 的坐标为（3k-2，2k-3）在第四象限，那么 k的取值范围是
17、已知点 A（－３，２）AB∥ox．AB＝7，那么 B点的坐标为
18、已知长方形 ABCD 中，AB=5，BC=8，并且 AB∥x 轴，若点 A的坐标为（-2,4），
则点 C的坐标为__
19、三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A（-３，-1），B（1，２），C（-1，－２），
三角形 ABC 的面积为
20、直角坐标系中，将点 M（1，0）向右平移 3个单位，向上平移 2个单位，得
到点 N，则点 N的坐标为________
21、将点 P（-3，y）向下平移 3个单位，左平移 2个单位后得到点 Q（x，-1），
则 xy = __
22、、已知点 M(2m+1,3m-5)到 x 轴的距离是它到 y轴距离的 2倍,则 m=
23、如果点 M（3a-9,1-a）是第三象限的整数点，则 M的坐标为
24、课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图左，小华对小刚说，如
果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么你的位置可以表示成( ) A(5，
4) B(4，5) C(3，4) D(4，3）
第四讲 二元一次方程组
1、二元一次方程：含有 未知数，并且未知数的次数是 的 方程。
2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。
3、把 二元一次方程联立在一起，那么就组成了一个二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个 。二元一次方程组的
解是成对出现的。
5、二元一次方程组的解法——思想： 方法主要有两种： 和
（1）代入消元法的一般步骤：
①将其中一个方程变形为
②将变形后结果代入 ，从而达到消元，得到一元一次方程。
③解一元一次方程，求出其中一个解。
④将求出的解 变形．．后的方程中，求出另一个解。
⑤下结论，写出二元一次方程组的解。
（2）加减消元法的一般步骤：
①倘若同一个．．．未知数的系数相同．．时，将两个方程组 ；倘若同一个．．．未知
数的系数互为相反数．．．时，将两个方程组 。
②倘若同一个未知数的系数即不相同又不互为相反数时
I 找出同一个未知数系数的 ，并从中确定最小的公倍数。
II 将两个方程进行变形，使同一个未知数系数相同或者相反，再进行相加或相
减。
6、 列方程（组）解应用题
⑴审题。理解题意。找出题目中表示关系的语句。关键词“多”、“少”，“倍
数”，“共”。
⑵设未知数。①直接未知数②间接未知数。一般来说．．．．，．未知数越多．．．．．，．方程越易列．．．．．，．
但越难解。．．．．．
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。 ⑹答案。
典型例题
1、在方程① 1
32
yx
② )0(2 ayax ③ 03 xy ④ zzy 38
⑤ 62
y
x
中,二元一次方程有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 个
2、下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．
6
5
xy
yx B．
1
1
z
yx C．
xy
yx
5
0 D．
2
11
yx
y
x
4、若
1
2
y
x
是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A、
52
53
yx
yx
B、
52
3
xy
xy
C、
1
52
yx
yx
D、
13
2
yx
yx
5、方程 93 yx 有（ ）个正整数解。 A 1 B 2 C 3 D 无数
6、已知方程组
�yx
�xy
523
87
把①代入②得（ ）
A. 58143 xx B. 516143 xx C. 58143 xx D. 516143 yxx
7、已知二元一次方程组
�yx
�yx
1754
1974
方程①减去②得( )
A． 22 y B． 362 y C． 212 y D． 3612 y
8、在方程 3)(3)(2 xyyx 中，用含 x的代数式表示 y，则（ ）
A、 35 xy B、 3 xy C、 35 xy D、 35 xy
9、在 4
3
4
xy 中，若 3x ，则 ______y ，若 0y ，则 ______x
10、已知
6
2
yx
yx
则 yx 的值为
11、已知 ba yx2 与 yxba 5
3
1
是同类项，则 ______x ， _______y
12、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则 x+y=
13、方程组
bxy
ayx
的一个解为
3
2
y
x
，那么这个方程组的另一个解是
14、如果 63)2( 1|| axa 是关于 x的一元一次方程，那么
a
a 12 = 15、
解下列方程组
（1）
52
3
xy
xy
（2）
1
52
yx
yx
(3)
52
53
yx
yx
(4)
534
12911
yx
yx
(5)
524
753
yx
yx
（6）
145)1(2
)2(3)1(2
yx
yx
16、若方程组
16156
653
yx
yx
的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，求ｋ的值。
17、已知方程组
20314
042
yx
myx
中的 y值是 x值的 3倍，求 m的值。
18 、 关 于 关 于 yx、 的 方 程 组
5m212y3x
4m113y2x
的 解 也 是 二 元 一 次 方 程
2073 myx 的解，求 m的值。
19 、 关 于 关 于 yx、 的 方 程 组
5m212y3x
4m113y2x
的 解 也 是 二 元 一 次 方 程
2075 myx 的解，求m的值。
20、代数式 byax ,当 2,5 yx 时，它的值是 7；当 5,8 yx 时，它的值是 4，试
求 5,7 yx 时代数式 byax 的值。
21、姐姐 4年前的年龄是妹妹年龄的 2倍，今年年龄是妹妹的 1.5 倍，求姐姐和
妹妹今年各多少岁？
22、养猴场里的饲养员提了一筐桃来喂喉,如果他给每个猴子 14 个桃,还剩 48
个;如果每个猴子 18 个桃,就还差 64 个,请问:这个候场养了多少只候?饲养员提
了多少个桃?
23、初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐 45 人，那么有 15 个学生没有座位；
如果每辆汽车坐 60 人，那么空出１辆汽车。问一工多少名学生、多少辆汽车。
24、一张方桌由 1个桌面，4条桌腿组成，如果 1立方米木料可以做方桌的桌面
50 个或桌腿 300 条，现有 5 立方米木料，那么用多少立方米木料做桌面，多少
立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
25、已知甲、乙两种商品的原价和为 200 元。因市场变化，甲商品降价 10%，乙
商品提高 10%，调价后甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了 5%。求甲、乙
两种商品的原单价各是多少元。
26、2 辆大卡车和 5辆小卡车工作 2小时可运送垃圾 36 吨，3辆大卡车和 2辆小
卡车工作 5小时可运输垃圾 80 吨，那么 1 辆大卡车和 1辆小卡车各运多少吨垃
圾。
27、有一个两位数，其数字和为 14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大
18，则这个两位数是多少。
28、12 支球队进行单循环比赛，规定胜一场得 3分，平一场得 1分，负一场得 0
分。若有一支球队最终的积分为 18 分，那么这个球队平几场？
29、某学校现有甲种材料 35 ㎏,乙种材料 29 ㎏,制作 A.B 两种型号的工艺品,用
料情况如下表:
需甲种材料 需乙种材料
一件 A型工艺品 0.9kg 0.3kg
一件 B型工艺品 0.4kg 1kg
(1)利用这些材料能制作 A.B 两种工艺品各多少件?
(2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制作A.B两种型号的工艺品各需
材料多少钱?
第五讲 不等式及不等式组
1、不等式的概念：凡是用 连接的式子都叫做不等式，常用的不等号有
另外，不等式中可含有未知数，也可不含有未知数。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2、不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去） 或 ，不等号的方
向 ，
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 ，不等号的方向 ，
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 ，不等号的方向 。
3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值。一般的，不等式的解有 个
4、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围。不等式的解集是所有
解的集合。
5、一元一次不等式的定义
含有 未知数，未知数的次数是 的不等式。
6、解一元一次不等式
步骤：① ；② ；③ ；④ ；⑤系数化为．．．．1．．
7、一元一次不等式组
几个含有同一个未知数．．．．．．的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不
等式组。
8、一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出
的解集，再求出这些解集的 ，利用 或 可以直观地表
示不等式组的解集．
数轴：同左取最左，同右取最后，左右相交取中间，左右不交没有解
口诀：同大取 ，同小取 ，大小小大取 ，大大小小
9、由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式(组)时，首先审清题目，在此基础上找准题干
中体现不等关系的语句，往往不等关系出现在“．不足．．”．，．“．不少于．．．”．，．“．不大．．
于．”．，．“．不超过．．．”．，．“．至少．．”“．．不低于．．．”．，．“．最多．．”．等这些词语出现的地方，所
以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目。
典型例题
1.下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A. x2－9x≥x2＋7x－6 B. x＋ ＜0 C. x＋y＞0 D. x2＋x＋9≥0
2、x 的 2 倍减 3 的差不大于 1，列出不等式是（ ）
A. 2x－3≤1 B. 2x－3≥1 C. 2x－3＜1 D. 2x－3＞1
3、根据下列数量关系，列出相应的不等式，其中错误的是（ ）
A. a 的 与 2 的和大于 1： a＋2＞1 B. a 与 3 的差不小于 2：a－3＞2
C. b 与 1 的和的 5 倍是一个负数：5（b＋1）＜0
D. b的 2 倍与 3 的差是非负数：2b－3≥0
4、如图，在数轴上表示－1≤x＜3正确的是（ ）
5、下列四个命题中，正确的有（ ）A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
①若 a＜b，则 a＋1＜b＋1；②若 a＜b，则 a－1＜b－1；
③若 a＜b，则－2a＞－2b；④若 a＜b，则 2a＞2b.
6、若 a＞b，且 c是有理数，则下列各式正确的是（ ）
A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
①ac＞bc ②ac＜bc ③ac2＞bc2 ④ac2≥bc2 ⑤ ＞
7、在平面直角坐标系中，若点P(m－3，m＋1)在第二象限，则m的取值范围为( )
A．－1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜－１ D．m＞－１
8、不等号填空：若 a１，的正整数解是
10、 03 x 不等式的最大整数解是 ．
11、若不等式组
3
x
ax 的解集为 x >3，则 a的取值范围是 ．
12、不等式组
1
,159
mx
xx
的解集是 x＞2，则 m的取值范围是 ．
13、已知 3x+4≤6+2(x-2),则 的最小值等于________
14、若不等式组
32
12
bx
ax 的解集是－１< x <１，则 )1)(1( ba 的值为
15、k 满足______时，方程组
4
,2
yx
kyx
中的 x大于 1，y小于 1
16、关于 x的不等式组
123
0
x
ax
的整数解共有 5个，则 a的取值范围是_____
17、求不等式的解集
（1） 134155 xx （2）
6
43
3
12
xx
（3） .
15
)2(22
5
37
3
13
xxx
18、求不等式组的解集
（1）
xx
xx
423
215
（2）
)12(231
3
41
2
2
xx
xxx
（3）
19、解不等式组 ，并写出不等式组的整数解。
20、代数式
2
131
x
的值不大于
3
21 x
的值，求 x的范围
21、方程组
32
3
ayx
yx
的解为负数，求 a的范围.
22、已知关于 x，y 的方程组 的解满足 ，求 k 的取值范围.
23、有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小 2，已知这个两位数大于 20 且小于 40，
求这个两位数。
24、某次数学测验，共 16 个选择题，评分标准为：；对一题给 6分，错一题扣 2分，不答不
给分．某个学生有 1题未答，他想自己的分数不低于 70 分，他至少要对多少题？
25、某班级组织有奖知识竞赛，小明用 100 元班费购买笔记本和钢笔共 30 件，已知笔记本
每本 2元，钢笔每枝 5 元，那么小明最多能买钢笔多少支？
26、七(5)班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把 43
本书分给各个小组,若每组 8 本,还有剩余;若每组 9 本,却又不够.你知道该分几个小组吗？
27、一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了 3 个，那么还剩 59 个；
如果每一个猴子分 5个，就都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够 5个，你能求出
有几只猴子，几个桃子吗？
28、水果店进了某中水果 1t，进价是 7 元/kg。售价定为 10 元/kg，销售一半以后，为了尽
快售完，准备打折出售。如果要使总利润不低于 2000 元，那么余下的水果至少多少钱？
29、“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克 1.5 元，销售中有
6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每 kg 多少元，才能避免亏本？
30、某公司需刻录一批光盘（总数不超过 100 张），若请专业公司刻录，每张需 10 元（包
括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费 200 元以外，每张还需成本 5 元（空白光盘费）。
问刻录这批光盘，是请专家公司刻录费用省，还是自刻费用省？
31、国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决
定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
计划购进电视机和洗衣机共 100 台，商店最
多可筹集资金 161 800 元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方
案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视
机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
32、2010 年我市某县筹备 20 周年县庆，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950
盆乙种花卉搭配 A B， 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A种造型
需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题
意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个 A种造型的成本是 800 元，搭配一个 B种造型的成本是 960 元，试说
类 别 电视机 洗衣机
为进价（元/
台）
1800 1500
售价（元/台） 2000 1600
明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
最新版人教版七年级数学下册知识点
第五章 相交线与平行线
一、知识网络结构
二、知识要点
1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是
相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。
如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；
平移
命题、定理
的两直线平行：平行于同一条直线性质
角互补：两直线平行，同旁内性质
相等：两直线平行，内错角性质
相等：两直线平行，同位角性质
平行线的性质
的两直线平行 ：平行于同一条直线判定
直线平行 ：同旁内角互补，两判定
线平行 ：内错角相等，两直判定
线平行 ：同位角相等，两直判定
定义
平行线的判定
平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内
平行线及其判定
内角同位角、内错角、同旁
垂线
相交线
相交线
相交线与平行线
4
3
2
1
4
3
2
1
____________________________:
图 1
1
3
4
2
如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角
是邻补角。
邻补角的性质： 邻补角互补 。如图 1所示， 与 互为邻补角，
与 互为邻补角。 + = 180°； + = 180°； + = 180°；
+ = 180°。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反
向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图 1
所示， 与 互为对顶角。 = ；
= 。
5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或 90°时，称这两条直线互
相垂直，
其中一条叫做另一条的垂线。如图 2所示，当 = 90°时， ⊥ 。
垂线的性质：
性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质 3：如图 2所示，当 a ⊥ b 时， = = = = 90°。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：
①在两条直线(被截线)的 同一方 ，
都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样
的两个角叫 同位角 。图 3中，共有 对同位角： 与 是同位角；
与 是同位角； 与 是同位角； 与 是同位角。
②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个
角叫 内错角 。图 3中，共有 对内错角： 与 是内错角； 与 是
内错角。
③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两
个角叫 同旁内角 。图 3中，共有 对同旁内角： 与 是同旁内角；
与 是同旁内角。
图 2
1
3 4
2
a
b
图 3
a 57 8
6
13 4
2
b
c
7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。
平行线的性质：
性质 1：两直线平行，同位角相等。如图 4所示，如果 a∥b，
则 = ； = ； = ； = 。
性质 2：两直线平行，内错角相等。如图 4所示，如果 a∥b，则 = ；
= 。
性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如图 4所示，如果 a∥b，则 + =
180°；
+ = 180°。
性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则
∥ 。
8、平行线的判定：
判定 1：同位角相等，两直线平行。如图 5所示，如果 =
或 = 或 = 或 = ，则 a∥b。
判定 2：内错角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 = 或
= ，则 a∥b 。
判定 3：同旁内角互补，两直线平行。如图 5所示，如果 + = 180°；
+ = 180°，则 a∥b。
判定 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则
∥ 。
9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题
和 假命题 之分。如果题设成立，那么结论 一定 成立，这样的命题叫 真命题 ；
如果题设成立，那么结论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性
是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动
叫做平移变换，简称平移。
图 4
a 57 8
6
13 4
2
b
c
图 5
a 57 8
6
13 4
2
b
c
平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每
一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；
③对应角相等。
第六章 实数
【知识点一】实数的分类
1、按定义分类： 2.按性质符号分类：
注：0既不是正数也不是负数.
【知识点二】实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0
的相反数是 0.
(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互
为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(3)互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数 a+b=0.
2.绝对值 |a|≥0．
3.倒数 （1）0没有倒数 (2)乘积是 1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .
4.平方根
(1)如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根．一个正数有两个平方
根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根．a(a≥0)
的平方根记作．
(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．
5.立方根
如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负
数有一个负的立方根；零的立方根是零．
【知识点三】实数与数轴
数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺
一不可．
【知识点四】实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于 0，负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两
个负数；绝对值大的反而小.
3.无理数的比较大小：
【知识点五】实数的运算
1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数
相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为
相反数的两个数相加得 0；一个数同 0相加，仍得这个数．
2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，
积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为 0，积就为
0．
4.除法
除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除．0除以任何一个不等于 0的数都得 0．
5.乘方与开方
(1)an 所表示的意义是 n个 a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂
是正数，负数的奇次幂是负数．
(2)正数和 0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和 0都可以开立方．
(3)零指数与负指数
【知识点六】有效数字和科学记数法
1.有效数字：
一个近似数，从左边第一个不是 0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，
都叫做这个近似数的有效数字．
2.科学记数法：
把一个数用 (1≤ ＜10，n 为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．
第七章 平面直角坐标系
一、知识网络结构
用坐标表示平移
用坐标表示地理位置
坐标方法的简单应用
平面直角坐标系
有序数对
平面直角坐标系
二、知识要点
1、有序数对：有顺序的两个数 a与 b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 。
2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直
角坐标系。
3、横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为 x轴或横轴；竖直的数轴称为 y轴或纵
轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4、坐标：对于平面内任一点 P，过 P 分别向 x 轴，y 轴作垂线，垂足分别在 x
轴，y轴上，对应的数 a,b 分别叫点 P的横坐标和纵坐标，记作 P(a，b)。
5、象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方
向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6、各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标 0，纵坐标 0；②第二
象限的点：横坐标 0，纵坐标 0；③第三象限的点：横坐标 0，纵坐
标 0；④第四象限的点：横坐标 0，纵坐标 0。
7、坐标轴上点的坐标特点①x 轴正半轴上的点：横坐标 0，纵坐标 0；
②x轴负半轴上的点：横坐标 0，纵坐标 0；③y轴正半轴上的点：横坐
标 0，纵坐标 0；④y轴负半轴上的点：横坐
标 0，纵坐标 0；⑤坐标原点：横坐标 0，纵坐标 0。(填“>”、
“<”或“=”)
8、点 P(a，b)到 x 轴的距离是 |b| ，到 y轴的距离是 |a| 。
9、对称点的坐标特点①关于 x轴对称的两个点，横坐标 相等，纵坐标 互为相
反数；②关于 y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点
对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
10、点 P(2，3) 到 x 轴的距离是 ； 到 y轴的距离是 ； 点 P(2，3) 关
于 x 轴对称的点坐标为( ， )；点 P(2，3) 关于 y 轴对称的点坐标为
( ， )。
11、如果两个点的 横坐标 相同，则过这两点的直线与 y 轴平行、与 x 轴垂直 ；
如果两点的 纵坐标相同，则过这两点的直线与 x 轴平行、与 y轴垂直 。如果点
P(2，3)、Q(2，6)，这两点横坐标相同，则 PQ∥y 轴，PQ⊥x 轴；如果点 P(-1，
2)、Q(4，2)，这两点纵坐标相同，则 PQ∥x 轴，PQ⊥y 轴。
12、平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于 y轴的直线上的点的横坐标
相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平
分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点 P(a，b) 在一、三象限角平
分线上，则 P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点 P(a，b) 在二、四
象限角平分线上，则 P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即 a = －b 。
13、表示一个点(或物体)的位置的方法：一是准确恰当地建立平面直角坐标系；
二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。选择的坐标原点不同，建立的平面直
角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。
14、图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律：①左右平移时，横坐标进
行加减，纵坐标不变；②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进
行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。如将点 P(2，3)向左平移 2
个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点 P(2，3)向右平移 2 个单位后
得到的点的坐标为( ， )；将点 P(2，3)向上平移 2 个单位后得到的点
的坐标为( ， )；将点 P(2，3)向下平移 2 个单位后得到的点的坐标为
( ， )；将点 P(2，3)先向左平移 3 个单位后再向上平移 5 个单位后得
到的点的坐标为( ， )；将点 P(2，3)先向左平移 3 个单位后再向下平
移 5 个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点 P(2，3)先向右平移 3 个
单位后再向上平移 5 个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点 P(2，3)
先向右平移 3个单位后再向下平移 5个单位后得到的点的坐标为( ， )。
第八章 二元一次方程组
一、知识网络结构
三元一次方程组解法
问题二元一次方程组与实际
加减法
代入法
二元一次方程组的解法
方程组的解
定义
二元一次方程组
方程的解
定义
二元一次方程
二元一次方程组
二、知识要点
1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的
解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫二
元一次方程，二元一次方程的一般形式为 cbyax ( cba 、、 为常数，并且
00 ba ， )。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程
的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，这样的方程组
叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的
值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未
知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没
有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表
示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，
将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的
值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同
一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使
同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，
消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出
的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而
得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先
消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个
方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一
次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数
的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原
三元一次方程组的解。
第九章 不等式与不等式组
一、知识网络结构
与实际问题组一元一次不等式
法一元一次不等式组的解
不等式组
一元一次不等式组
性质
性质
性质
不等式的性质
一元一次不等式
不等式的解集
不等式的解
不等式
不等式相关概念
不等式与不等式组
)(
3
2
1
二、知识要点
1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：＞ 、＜ 、≥ 、
≤ 、 ≠ 。
2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个
含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解
集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数，
并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的不等式叫一元一次不等式。
3、不等式的性质：
①性质 1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向
不变 。
用字母表示为： 如果 ba ，那么 cbca ； 如果 ba ，那么 cbca ；
如果 ba ，那么 cbca ； 如果 ba ，那么 cbca 。
②性质 2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不
变 。
用字母表示为： 如果 0, cba ，那么 bcac (或
c
b
c
a
)；如果 0, cba ，那么
bcac (或
c
b
c
a
)；
如果 0, cba ，那么 bcac (或
c
b
c
a
)；如果 0, cba ，那么
bcac (或
c
b
c
a
)；
③性质 3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改
变 。
用字母表示为： 如果 0, cba ，那么 bcac (或
c
b
c
a
)；如果 0, cba ，那么
bcac (或
c
b
c
a
)；
如果 0, cba ，那么 bcac (或
c
b
c
a
)；如果 0, cba ，那么
bcac (或
c
b
c
a
)；
4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类
项； ⑤系数化为 1 。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式
的具体情况灵活选择步骤。
5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的不
等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫
不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解
(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解
集的过程叫解不等式组。
6、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果
这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等
式组的解集为空集 )。
7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，
大小小大取中间，大大小小无处找。
第十章 数据的收集、整理与描述
知识要点
1、对数据进行处理的一般过程：收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结
论。
2、数据收集过程中，调查的方法通常有两种：全面调查和抽样调查。
3、除了文字叙述、列表、划记法外，还可以用条形图、折线图、扇形图、直方
图来描述数据。
4、抽样调查简称抽查，它只抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体
对象的情况。要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被
抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本的容量 。
5、画频数直方图的步骤：①计算数差(最大值与最小值的差)；②确定组距和组
数；③列频数分布表；④画频数直方图 。
