2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题 解析版

2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题 解析版

田家炳高中2017—2018学年度下学期3月月考 高二数学理试卷 一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 下列求导运算正确的是(　　)．‎ A. B．‎ C． D．‎ ‎2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)‎ A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)‎ ‎3．(2014～2015·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为(　　)‎ A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1‎ ‎4．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(　　)‎ A．y′＝2cos B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝sin2x＋cos2x D．y′＝2cos ‎5．函数y＝x4－x3的极值点的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．已知函数f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1，1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(0,1) B．(1，) C．(－2，－) D． (－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ ‎8．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是(　　)‎ A．m<2或m>4 B．－46 D．a<－1或a>2‎ ‎10．(2013·华池一中高二期中)若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎11．已知函数y＝xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中f ′(x)是函数f(x ‎)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ ‎12．(2015·吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）‎ ‎13．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.‎ ‎14．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．‎ ‎15．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是____________‎ ‎16若函数f(x)＝x3－3bx＋b在区间(0,1)内有极值，则实数b的取值范围是_____________‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.（12分）设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．‎ ‎ (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．‎ ‎18．（12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8. (1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．‎ ‎19．（12分）已知函数f(x)＝x2＋blnx和g(x)＝的图象在x＝4处的切线互相平行．‎ ‎(1)求b的值；(2)求f(x)的极值．‎ ‎20　（12分）设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎21. （12分）已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．‎ ‎(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；‎ ‎(2)若不等式 2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知函数f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)，g(x)＝.‎ ‎(1)讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围；‎ 田家炳高中2017—2018学年度下学期3月月考 高二数学试卷 一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. 下列求导运算正确的是(　　)．‎ A. B．‎ C． D．‎ ‎1.B ‎ ‎2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)‎ A．(－∞，－1]和[0,1]B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]和[1，＋∞)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝4x3－4x，‎ 令y′<0，即4x3－4x<0，‎ 解得x<－1或00在x∈(－1,1)上恒成立，‎ ‎∴f(x)在(－1,1)上是增函数，又f(x)＝4x＋3sinx，x∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0可化为f(1－a)4 B．－46 D．a<－1或a>2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，‎ ‎∵f(x)有极大值与极小值，‎ ‎∴f ′(x)＝0有两不等实根，‎ ‎∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.‎ ‎10．(2013·华池一中高二期中)若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．[0,2] C．[－2,0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　令f(x)＝x3－3x＋m，则f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，显然当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当－11时xf ′(x)>0，∴f ′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.‎ ‎12．(2015·吉林市实验中学高二期中)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ ‎[答案]　D ‎[分析]　由x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0可确定F(x)＝f(x)g(x)在x<0时的单调性，再由f(x)与g(x)的奇偶性可得出x>0时F(x)的单调性．再结合g(－3)＝0，可得结论．‎ ‎[解析]　设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，‎ ‎∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.‎ ‎∴F(x)当x<0时为增函数．‎ ‎∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．‎ 故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．‎ 已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.‎ 构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．‎ 故选D.‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）[]‎ ‎13．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　f ′(x)＝＋2bx＋1，‎ 由题意得∴a＝－.‎ ‎14． (2014·江西临川十中期中)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．‎ ‎[答案]　ln2‎ ‎[解析]　∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，解之得a＝ln2.‎ ‎15．(2014～2015·郑州网校期中联考)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________________．‎ ‎[答案]　b≤－1‎ ‎[解析]　f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.‎ ‎16．(2014·杭州七校联考)若函数f(x)＝x3－3bx＋b在区间(0,1)内有极值，则实数b的取值范围是________________．‎ ‎[答案]　(0,1)‎ ‎[解析]　f ′(x)＝3x2－3b，∵f(x)在(0,1)内有极值，‎ ‎∴f ′(x)＝0在(0,1)内有解，∴00，可得x<－3或x>；‎ 令f ′(x)<0，可得－3或x＜－时，f′(x)＞0；‎ 当－＜x＜时，f′(x)＜0.‎ 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；‎ 单调递减区间为(－，)．‎ 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；‎ 当x＝时，f(x)有极小值5－4.[]‎ ‎(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．‎ 所以，当5－4＜a＜5＋4时，‎ 直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，‎ 即方程f(x)＝a有三个不同的实根．‎ ‎21.已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．‎ ‎(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；‎ ‎(2)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是，‎ 即3x2＋2ax－1＝0的两根是－和1.‎ 将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0得a＝－1.‎ 所以g(x)＝x3－x2－x＋2.‎ ‎(2)2f(x)≤g′(x)＋2对x∈(0，＋∞)恒成立，‎ 即：2xln x≤3x2＋2ax＋1对x∈(0，＋∞)恒成立，‎ 可得a≥ln x－x－对x∈(0，＋∞)恒成立，‎ 设h(x)＝ln x－－，则h′(x)＝－＋＝－，‎ 令h′(x)＝0，得x＝－(舍)或x＝1，‎ 当0＜x＜1时，h′(x)＞0；当x＞1时，h′(x)＜0，‎ 所以当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为－2，‎ 所以a≥－2.‎ 所以实数a的取值范围是[－2，＋∞)．‎ ‎22．(2015·江西教学质量监测)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)(x≥0，a>0)，g(x)＝.‎ ‎(1)讨论函数y＝f(x)－g(x)的单调性；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎ [解析]　(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，‎ y′＝－＝，‎ 当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；‎ 当00得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；‎ ‎(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．‎ 所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，‎ 即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，‎ 当0

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