高三数学（理数）总复习练习专题三 基本初等函数
(2015·江苏，7，易)不等式2x2－x<4的解集为________．
【解析】 2x2－x<4，即2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，
∴(x－2)(x＋1)<0，
解得－1
1
图象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
当x＝0时，y＝1，即过定点(0，1)
当x>0时，01
当x>0时，y>1；
当x<0时，00，a≠1)的图象可能是( )
(2)(2015·山东聊城模拟，12)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________．
(3)(2012·山东，15)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
【思路导引】 解题(1)的方法是利用分类讨论，即分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐项排除；解题(2)的关键是正确画出y＝|3x－1|的图象，然后数形结合求解；解题(3)的关键是结合a的不同取值情况分类讨论函数的最值．
【解析】 (1)函数y＝ax－由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．
(2)曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1.
(3)当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，∴a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意；
当0f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2
【答案】 D 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图．
∵a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，结合图象知f(a)＜1，a＜0，c＞0，∴0＜2a＜1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a＜1，∴f(c)＜1，∴0＜c＜1.
∴1＜2c＜2，
∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1.
又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，
∴2a＋2c＜2，故选D.
1．(2015·黑龙江哈尔滨模拟，5)函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】 D f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于y轴对称．
2．(2015·山东日照一模，5)若x∈(2，4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【答案】 B ∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2，4)时x2，2x，2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2＞2x＞2x，则a＞c＞b.
3．(2015·河北邯郸质检，6)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是( )
【答案】 B 由函数y＝kx＋a的图象可得k＜0，0＜a＜1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>－1，所以－13b>3”是“loga33b>31，得a＞b>1，
∴log3a＞log3b＞0.
由换底公式得，＞＞0，
即loga3＜logb3.
而由loga3b>1，
例如，当a<1，b>1时，满足loga33b>3”是“loga30，a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 当x≤2时，f(x)＝－x＋6，
此时f(x)∈[4，＋∞)．
∴当x>2时，f(x)＝3＋logax的值域为[4，＋∞)的子集．
①当a<1时，不符合题意；
②当a>1时，需满足3＋loga2≥4，
∴loga2≥logaa，∴a≤2.
综上可得11，0ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)；
若a>1，b>1，则ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2＝ln 2ab，又(a＋b)－2ab＝a(1－b)＋b(1－a)<0，故a＋b<2ab，因此ln＋a＋ln＋b＋ln 2>ln＋(a＋b)＝ln(a＋b)．
综上，ln＋a＋ln＋b＋ln 2≥ln＋(a＋b)，故④正确．
所以命题①③④为真命题．
【答案】 ①③④
考向1 对数的运算
对数的性质、换底公式与运算性质
性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N(a＞0且a≠1)
换底公式
公式：logab＝(a，c均大于零且不等于1，b＞0).
推论：①logab＝；②loganbn＝logab；③loganbm＝logab
运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)
对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等错误．
(1)(2013·四川，11)lg＋lg的值是________．
(2)(2014·安徽，11)＋log3＋log3＝________.
【解析】 (1)lg ＋lg＝lg＝lg 10＝1.
(2)原式＝＋log3＝＋log31＝.
【答案】 (1)1 (2)
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
(2013·陕西，3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】 B 利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，故B正确．
考向2 对数函数的图象与性质
1．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
2．对数函数图象的特点
(1)当a＞1时，对数函数的图象呈上升趋势；
当0＜a＜1时，对数函数的图象呈下降趋势．
(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(3)在直线x＝1的右侧，当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
3．常见的结论
(1)函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
(1)(2013·湖南，5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
【思路导引】 题(1)画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数；题(2)利用对数的运算法则及性质，对函数解析式进行化简，通过换元化归为二次函数求最值．
【解析】 (1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．
∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.
(2)依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
【答案】 (1)B (2)－
1.利用对数函数的图象可求解的两类问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2．与对数函数有关的复合函数问题的求解策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，首先要确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；其次分析底数与1的大小关系，底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同；最后考虑复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的．
(2015·山东威海月考，13)已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由已知可得ax2－x＞0在[3，4]上恒成立，故9a－3＞0，解得a＞.
若0＜a＜1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为减函数，故≥4，解得a≤，这与a＞矛盾，不合题意；
若a＞1，则y＝logat在(0，＋∞)上单调递增，由题意知t＝ax2－x在[3，4]上为增函数，故≤3，解得a≥，因为a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
考向3 指数函数、对数函数的综合应用
(1)(2014·辽宁，3)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
(2)(2012·课标全国，11)当0log＝1，所以c>1.综上，c>a>b.
(2)由题意得，当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
【答案】 (1)C (2)B
1.对数值大小比较的主要方法
(1)化同底数后利用函数的单调性；
(2)化同真数后利用图象比较；
(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．
2．解决不等式有解或恒成立问题的方法
对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：
(1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；
(2)在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象；
(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．
(2013·课标Ⅰ，11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
【答案】 D ∵|f(x)|＝
∴由|f(x)|≥ax，分两种情况：
①恒成立，可得a≥x－2恒成立，则a≥(x－2)max，即a≥－2，排除选项A，B.
②恒成立，根据函数图象可知a≤0.综合①②得－2≤a≤0，故选D.
1．(2015·山东日照质检，3)2lg 2－lg的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B 2lg 2－lg＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
2．(2015·浙江温州三模，5)函数y＝的值域为( )
A．(0，3) B．[0，3]
C．(－∞，3] D．[0，＋∞)
【答案】 D 当x＜1时，0＜3x＜3；当x≥1时，log2x≥log21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．
3．(2015·江西吉安模拟，5)如果logx＜logy＜0，那么( )
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜y D．1＜y＜x
【答案】 D 因为y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，所以x＞y＞1.
4．(2015·辽宁沈阳质检，5)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
【答案】 B 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．
又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，
所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．
5．(2015·河北沧州一模，7)已知关于x的方程＝有正根，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0.1，10)
C．(0.1，1) D．(10，＋∞)
【答案】 C 当x＞0时，0＜＜1，∵关于x的方程＝有正根，∴0＜＜1，∴解得－1＜lg a＜0，∴0.1＜a＜1.故选C.
6．(2014·广东广州一模，6)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0＜a－1＜b＜1
B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1
D．0＜a－1＜b－1＜1
【答案】 A 令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga[g(x)]是单调递增的，所以必有a＞1.
又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.故选A.
方法点拨：已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，以此为突破口．
7．(2015·山西大同二模，13)若f(x)＝ax－，且f(lg a)＝，则a＝________.
【解析】 f(lg a)＝alg a－＝＝，
∴alg a＝(10a)，两边取常用对数，
得(lg a)2＝(1＋lg a)，
∴2(lg a)2－lg a－1＝0，
解得lg a＝1或lg a＝－，
∴a＝10或a＝.
【答案】 10或
8．(2015·湖北十堰联考，14)若函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0，a≠1)在区间(1，3)内单调递增，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵f(x)＝loga(2－ax)，∴令y＝logat，t＝2－ax，∵a>0且a≠1，x∈(1，3)，∴t在(1，3)上单调递减，
∵f(x)＝loga(2－ax)在区间(1，3)内单调递增，
∴函数y＝logat是减函数，
且2－ax＞0在(1，3)上恒成立，
∴x0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
【解析】 设P，则
|PA|2＝(x－a)2＋
＝－2a＋2a2－2，
令t＝x＋≥2(x＞0，当且仅当x＝1时取“＝”)，
则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
①当a≤2时，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，
由题意知，2a2－4a＋2＝8，解得a＝－1或a＝3(舍)．
②当a＞2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍)．
综上知a＝－1或.
【答案】 －1或
3．(2014·辽宁，16，难)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．
【解析】 设2a＋b＝t，则2a＝t－b.由已知得关于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，
即6b2－3tb＋t2－c＝0有解．
故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，
所以|t|max＝，
此时c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，
所以a＝.
故－＋＝－＋
＝8＝8－2≥－2.
【答案】 －2
思路点拨：先换元，利用方程的判别式求出|2a＋b|取最大值的条件，再消去字母，配方处理．
考向1 二次函数的图象、性质及应用
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线顶点坐标．
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
最值
当x＝－时，
当x＝－时，
ymin＝
ymax＝
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略．
(1)(2013·辽宁，12)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q
中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )
A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16
C．－16 D．16
(2)(2012·福建，15)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
【思路导引】 解题(1)的方法是数形结合，在同一坐标系中画出函数的图象，由图象求解；解题(2)时注意数形结合思想方法的应用，同时注意二次函数图象的对称性及基本不等式的应用．
【解析】 (1)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．
由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.
(2)由定义可知，f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示．
设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.
由y＝－x2＋x＝－＋得顶点坐标为.
当y＝时，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.
又∵y＝－x2＋x的对称轴为x＝，
∴x2＋x3＝1，且x2，x3＞0，∴0＜x2x3＜＝.
又∵0＜－x1＜，∴0＜－x1x2x3＜，
∴＜x1x2x3＜0.
【答案】 (1)C (2)
与二次函数图象有关问题的求解策略
(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．
(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．
(2015·河南鹤壁质检，6)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】 B 因为图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
考向2 二次函数在给定区间上的最值
(2015·山西阳泉模拟，17，12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
【思路导引】 解本题的关键是判断二次函数的对称轴与所在区间的关系，然后结合二次函数的图象与性质求解．
【解析】 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.
当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．
∴f(x)min＝f ＝－＝－.
当>1，即00)在区间[m，n]上的最大或最小值的求法如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f ＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若－0时，将f(x)＝log3x的图象关于原点对称后可知，g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图象与x≤0时f(x)＝－x2－4x的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的数量为2，故选C.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．(2015·湖北鄂州统考，13)已知2a＝5b＝，则＋＝________.
【解析】 ∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，∴＋＝＋＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
【答案】 2
12．(2015·湖南株洲模拟，13)已知函数f(x)＝则f(log23)的值为________．
【解析】 ∵log23＜log24＝2，∴f(log23)＝f(1＋log23)＝f(log26)＝log26＝.
【答案】
13．(2015·山东临沂一模，13)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围是________．
【解析】 ∵f(a)＞－1，∴g(b)＞－1，
∴－b2＋4b－3＞－1，∴b2－4b＋2＜0，
∴2－＜b＜2＋.
【答案】 (2－，2＋)
14．(2014·陕西咸阳模拟，14)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)(2015·湖北十校联考，17)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
∴
∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2，∴b＝3.
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]时恒成立．
又∵y＝与y＝均为减函数，∴y＝＋也是减函数，∴当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
16．(12分)(2015·湖南长沙模拟，18)已知奇函数f(x)的定义域为[－1，1]，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－.
(1)求函数f(x)在[0，1]上的值域；
(2)若x∈(0，1]，g(x)＝f2(x)－f(x)＋1的最小值为－2，求实数λ的值．
解：(1)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)，
∴f(－x)＝－＝－2x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴当x∈(0，1]时，f(x)＝－f(－x)＝2x，
∴f(x)∈(1，2]．又f(0)＝0，
∴当x∈[0，1]时，函数f(x)的值域为(1，2]∪{0}．
(2)由(1)知，当x∈(0，1]时，f(x)∈(1，2]，∴f(x)∈.
令t＝f(x)，则＜t≤1，
g(t)＝f2(x)－f(x)＋1＝t2－λt＋1
＝＋1－.
①当≤，即λ≤1时，g(t)＞g，无最小值．
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g(t)min＝g＝1－＝－2，解得λ＝±2(舍去)．
③当＞1，即λ＞ 2时，g(t)min＝g(1)＝2－λ＝－2，解得λ＝4.
综上所述λ＝4.
17．(12分)(2014·安徽阜阳高三联考，18)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？
解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，
依题意得，当00)在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，f(x)＝g(|x|)．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式f(log2k)>f(2)成立，求实数k的取值范围；
(3)定义在[p，q]上的一个函数m(x)，用分法T：
p＝x00，使得和式
|m(xi)－m(xi－1)|≤M恒成立，则称函数m(x)为[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f(x)是否为[1，3]上的有界变差函数．若是，求M的最小值；若不是，请说明理由.
解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故解得
(2)由已知可得f(x)＝g(|x|)＝x2－2|x|＋1为偶函数，所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2，
解得k>4或0
查看更多
