2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（实验班）上学期期中考试数学（理）试题 解析版

育才学校2018-2019学年度第一学期期中考试卷 高二实验班理科数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟； 命题人：‎ 第I卷 选择题 60分 一、选择题（12小题，共60分）‎ ‎1.设表示平面， 表示直线，则下列命题中，错误的是( )‎ A. 如果，那么内一定存在直线平行于 B. 如果， ， ，那么 C. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于 D. 如果，那么内所有直线都垂直于 ‎2.在正方体中， 和分别为、的中点，那么异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.在三菱柱中， 是等边三角形， 平面， ， ，则异面直线和所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4.点在平面外，若，则点在平面上的射影是的（ ）‎ A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 ‎5.已知两点， ，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎6.若， 的图象是两条平行直线，则的值是（ ）‎ A. 或 B. C. D. 的值不存在 ‎7.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）‎ A. 2 B. ‎1 C. D. ‎ ‎8.直线恒过定点，则以为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示（单位： ）则该几何体的体积（单位： ）是（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）‎ ‎（注：1丈=10尺=100寸， ， ）‎ A. 633立方寸 B. 620立方寸 C. 610立方寸 D. 600立方寸 ‎11.在正方体中， 为棱上一动点， 为底面上一动点， 是的中点，若点都运动时，点构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ）‎ A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分 ‎12.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B. 3π C. D. 2π 第II卷 非选择题 90分 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.半径为10的球面上有A、B、C三点，且，则球心O到平面ABC的距离为_______.‎ ‎14.已知矩形 ,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为   .‎ ‎15.如图，正方体的棱长为 1， 为的中点， 为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①当时， 为四边形；②当时， 为等腰梯形；③当 时， 为六边形；④当时， 的面积为.‎ ‎16.已知经过点作圆： 的两条切线，切点分别为， 两点，则直线的方程为__________.‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17. （10分）已知直线，直线 ‎（1）求直线与直线的交点的坐标；‎ ‎（2）过点的直线与轴的非负半轴交于点，与轴交于点，且（为坐标原点），求直线的斜率.‎ ‎18. （12分）如图，正方体棱长为，连接， ， ， ， ， ，得到一个三棱锥，求：‎ ‎（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；‎ ‎（2）三棱锥的体积.‎ ‎19. （12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎20. （12分）已知圆与圆 ‎（1）若直线与圆相交于两个不同点，求的最小值；‎ ‎（2）直线上是否存在点，满足经过点有无数对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. （12分）在正方体ABCD-A1B‎1C1D中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．‎ ‎（I）求证：BD1∥平面ACM； ‎ ‎（Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM； ‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥O-AB‎1M的体积． ‎ ‎22. （12分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． （1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME； （2）证明：平面BDE⊥平面BCD． （3）求三棱锥D﹣BCE的体积． ‎ 高二实验班理科数学试题 参考答案与解析 ‎1.D【解析】由上图可得选项A中： 内存在直线 ,故A正确；选项B中：直线 即为直线 ,故B正确；选项C中：可用反证法假设存在直线 ‎，与已知矛盾，故C正确；选项D中: ,故D错误.综上应选D.‎ ‎2.C【解析】连接， 为异面直线与所成的角，而为正三角形， 故选C．‎ ‎3.A【解析】如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知， ，由，知异面直线和所成的角为直角，正弦值为，故选A.‎ ‎4.A【解析】设点作平面的射影，由题意， 底面 都为直角三角形， ，即为三角形的外心，故选A.‎ ‎5.B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时， ，即；当斜率为负时， ，即，直线的斜率的取值范围是或，故选B.‎ ‎6.B【解析】显然 或 ‎ 时两条直线不培训，则由题意可得 ，解得 故选：B．‎ ‎7.A【解析】因为点P(2,2)满足圆的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P(2,2)的直线与圆相切，且与直线ax−y+1=0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax−y+1=0平行，‎ 所以直线ax−y+1=0的斜率为： .故选A.‎ ‎8.B【解析】直线，化为， 时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.‎ ‎9.B【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥. 该几何体的体积 .故答案为:B ‎ ‎10.A【解析】如图： (寸)，则 (寸)， (寸)‎ 设圆的半径为 (寸)，则 (寸)‎ 在中，由勾股定理可得：‎ ‎，解得 (寸)，‎ ‎，即，则 平方寸 故该木材镶嵌在墙中的体积立方寸 。故答案选 ‎11.A【解析】由题意知：当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， ‎ 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），当在处， 在上运动时， 的轨迹为过的中点，在平面内平行于线段（靠近），同理得到： 在处， 在上运动， 在处， 在上运动； 在处， 在处， 在上运动， 都在上运动的轨迹，进一步分析其它情形即可得到的轨迹为棱柱体，故选A.‎ ‎12.A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝ ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC= ，球的半径为： ；所以球的体积为: ．‎ ‎13.6【解析】由题意在中， ，由正弦定理可求得其外接圆的直径为，即半径为，又球心在面上的射影是外心，故球心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形，设球面距为，球半径为，故有，解得，故答案为.‎ ‎14.【解析】因为在矩形 中， 和 均为以 为斜边的直角三角形，则 的中点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球的直径，设外接球的半径为 ，则 ，解得 ，即 ，则该矩形的面积 (当且仅当 时取等号)，即该矩形的面积最大值为8.故答案为：8.‎ ‎15.①②④‎ ‎【解析】‎ 连接并延长交于，再连接，对于①，当时， 的延长线交线线段与点，且在与之间，连接则截面为四边形，①正确；‎ 当时，即为中点，此时可得，故可得截面为等腰梯形，故②正确；由上图当点向移动时，满足，只需上取点满足，即可得截面为四边形，故①正确；③当时，只需点上移即可，此时的截面形状是下图所示的，显然为五边形，故③不正确；‎ ‎④当时， 与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，故正确，故答案为①②④.‎ ‎16.‎ ‎【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线与圆相切，切点为，‎ 且直线与直线垂直，其中： ，故，‎ 直线AB的点斜式方程为： ，整理为一般式即： .‎ ‎17.（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）联立两条直线方程： ，解得，‎ 所以直线与直线的交点的坐标为． ‎ ‎（2）设直线方程为： .‎ 令 得，因此；‎ 令得，因此． ‎ ‎， 解得或． ‎ ‎18.（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，∴三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为 ‎（2）三棱锥的体积为 ‎19.（Ⅰ）证明：在三棱柱中，‎ 底面，所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面， ‎ 又平面，‎ 所以平面平面 ‎（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.‎ 因为，，分别是，，的中点，‎ 所以，且，.‎ 因为，且，所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以. ‎ 又因为平面，平面，所以平面. ‎ ‎（Ⅲ）因为，，，所以.‎ 所以三棱锥的体积 ‎. ‎ ‎20.（1）；（2）存在点满足题意 ‎【解析】（1）直线过定点， 取最小值时， ‎ ‎，∴‎ ‎（2）设，斜率不存在时不符合题意，舍去；斜率存在时，则即， 即， ‎ 由题意可知，两弦长相等也就是和相等即可，故，∴，化简得： 对任意恒成立，故，解得 故存在点满足题意．‎ ‎21.（I）证明： ‎ 连结BD，设BD与AC的交点为O， ‎ ‎∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点； ‎ 连结MO， ‎ ‎∵O，M分别为DB，DD1的中点， ‎ ‎∴OM∥BD1， ‎ ‎∵OM⊂平面ACM，BD1⊄平面ACM ‎ ‎∴BD1∥平面ACM． ‎ ‎（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD， ‎ ‎∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1 ‎ OB1⊂平面BDD1B1，∴B1O⊥AC， ‎ 连结B‎1M，在△B1MO中 ‎ ‎∴‎ ∴B1O⊥OM…（10分） ‎ 又OM∩AC=O，∴B1O⊥平面AMC； ‎ ‎．（II） V=‎ ‎22.（1）证明：连接MN，则MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD，MN=CD． 由侧视图可知AE∥CD，AE=CD， ∴MN=AE，MN∥AE． ∴四边形ANME为平行四边形， ∴AN∥EM．∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME， ∴AN∥平面CME． （2）证明：由俯视图可知AC=AB，∵N是BC的中点， ∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN⊂平面ABC， ∴AN⊥平面BCD．由（1）知AN∥EM， ∴EM⊥平面BCD．又EM⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCD． （3）解：由俯视图得AB⊥AC，AB=AC=2， ∴BC=AB=2， ∵N是BC中点，∴AN=BC=，∴EM=． 由侧视图可知CD=4，CD⊥BC， ∴S△BCD=BCXCD=X2X4=4． ∴VD﹣BCE=VE﹣BCD=S△BCD•|EM|=×4×=． ‎ ‎ ‎