新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训七导数与函数的单调性极值最值20200113034

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新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训七导数与函数的单调性极值最值20200113034

大题考法专训(七) 导数与函数的单调性、极值、最值 A级——中档题保分练 ‎1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=asin x+bcos x(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为y=x-.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)求函数g(x)=在上的最小值.‎ 解:(1)由切线方程知,当x=时,y=0,‎ ‎∴f=a+b=0.‎ ‎∵f′(x)=acos x-bsin x,‎ ‎∴由切线方程知,f′=a-b=1.‎ ‎∴a=,b=-.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=sin x-cos x=sin.‎ ‎∴g(x)=,g′(x)=.‎ 设u(x)=xcos x-sin x,‎ 则u′(x)=-xsin x<0,故u(x)在上单调递减.∴u(x)<u(0)=0,∴g(x)在上单调递减.‎ ‎∴g(x)在上的最小值为g=.‎ ‎2.已知函数f(x)=xex-a(a∈R).‎ ‎(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程;‎ ‎(2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间.‎ 解:(1)当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,‎ 所以切线的斜率k=f′(1)=2e.‎ 又f(1)=e,‎ - 6 -‎ 所以y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0.‎ ‎(2)f′(x)=(x+1)(ex-a),‎ 令f′(x)=0,得x=-1或x=ln a.‎ ‎①当a=时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.‎ ‎②当0<a<时,ln a<-1,由f′(x)>0,得x<ln a或x>-1;由f′(x)<0,得ln a<x<-1,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1).‎ ‎③当a>时,ln a>-1,由f′(x)>0,得x<-1或x>ln a;由f′(x)<0,得-1<x<ln a,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a).‎ 综上所述,当a=时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);‎ 当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1);‎ 当a>时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a).‎ ‎3.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1,a∈R.‎ ‎(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值;‎ ‎(2)求a的取值范围,使得f(x)≥1恒成立.‎ 解:(1)f′(x)=x-(a+1)+(x>0).‎ ‎∵x=3是f(x)的极值点,‎ ‎∴f′(3)=3-(a+1)+=0,解得a=3.‎ 当a=3时,f′(x)==.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化见下表:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ - 6 -‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎∴f(x)的极大值为f(1)=-.‎ ‎(2)要使f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2-(a+1)x+aln x≥0恒成立.‎ 设g(x)=x2-(a+1)x+aln x,‎ 则g′(x)=x-(a+1)+=.‎ ‎①当a≤0时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(0,1),‎ 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(1,+∞),‎ ‎∴g(x)min=g(1)=-a-≥0,解得a≤-.‎ ‎②当0<a<1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(a,1),‎ 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞),‎ 此时g(1)=-a-<0,不合题意.‎ ‎③当a=1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,不合题意.‎ ‎④当a>1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(1,a),‎ 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,不合题意.‎ 综上所述,若满足f(x)≥1恒成立,a的取值范围为.‎ B级——拔高题满分练 ‎1.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).‎ ‎(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),‎ 则h′(x)=-ax-2.‎ 由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,‎ 知当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,‎ - 6 -‎ 即a>-有解.‎ 设G(x)=-,则只要a>G(x)min即可,‎ 而G(x)=2-1,‎ 所以G(x)min=-1,‎ 所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞).‎ ‎(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.‎ 设G(x)=-,则a≥G(x)max,‎ 而G(x)=2-1.‎ 又x∈[1,4],所以∈,‎ 所以G(x)max=-(此时x=4),‎ 所以a≥-,‎ 即实数a的取值范围为.‎ ‎2.(2019·银川模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x.‎ ‎(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;‎ ‎(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.‎ 解:(1)∵f(x)=ln x-ax2+(a-2)x,‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).‎ ‎∴f′(x)=-2ax+(a-2)=.‎ ‎∵f(x)在x=1处取得极值,‎ 即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,∴a=-1.‎ 当a=-1时,在内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.‎ ‎∴a=-1.‎ ‎(2)∵a2<a,∴0<a<1.f′(x)=-2ax+(a-2)=,‎ - 6 -‎ ‎∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,‎ ‎∴当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ 当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ ‎①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上单调递增,‎ ‎∴f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-‎2a.‎ ‎②当即<a<时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴f(x)max=f=-ln 2-+=-1-ln 2.‎ ‎③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,‎ ‎∴f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-‎2a2.‎ 综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是ln a-a3+a2-‎2a;‎ 当<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln 2;‎ 当≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2ln a-a5+a3-‎2a2.‎ ‎3.已知函数f(x)=ex(cos x-sin x).‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)令g(x)=f(x)+ex(2x-2)-a(x2+2cos x),讨论g(x)的单调性并判断有无极值,若有,求出极值.‎ 解:(1)∵f′(x)=ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=-2exsin x,∴f′(0)=0.‎ 又f(0)=1,∴切线方程为y=1.‎ ‎(2)依题意得g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),‎ ‎∴g′(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2(x-sin x)(ex-a).‎ 令u(x)=x-sin x,则u′(x)=1-cos x≥0,‎ ‎∴函数u(x)在R上单调递增.‎ ‎∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.‎ 当a≤0时,ex-a>0,则x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;x<0时,g′(x)<0,函数g(x)在(-∞,0)上单调递减.∴x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-‎2a-1,无极大值.‎ - 6 -‎ 当a>0时,g′(x)=2(x-sin x)(ex-a)=2(x-sin x)·(ex-eln a),‎ 令g′(x)=0,得x1=ln a,x2=0.‎ ‎①若0<a<1,‎ x∈(-∞,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;‎ x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;‎ x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,‎ ‎∴当x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-‎2a-1;‎ 当x=ln a时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(ln a)=-a[ln‎2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].‎ ‎②若a=1,ln a=0,x∈R时,g′(x)≥0,‎ ‎∴函数g(x)在R上单调递增,无极值.‎ ‎③若a>1,ln a>0,‎ x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;‎ x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;‎ x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.‎ ‎∴当x=0时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(0)=-‎2a-1;当x=ln a时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(ln a)=-a[ln‎2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].‎ 综上所述,当a≤0时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,g(x)的极小值为-‎2a-1,无极大值;‎ 当0<a<1时,函数g(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,g(x)的极小值为-‎2a-1,极大值为-a[ln‎2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2];‎ 当a=1时,函数g(x)在R上单调递增,无极值;‎ 当a>1时,函数g(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,g(x)的极大值为-‎2a-1,极小值为-a[ln‎2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].‎ - 6 -‎
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