- 2021-04-13 发布 |
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文档介绍
新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训七导数与函数的单调性极值最值20200113034
大题考法专训(七) 导数与函数的单调性、极值、最值 A级——中档题保分练 1.(2019·济南模拟)已知函数f(x)=asin x+bcos x(a,b∈R),曲线y=f(x)在点处的切线方程为y=x-. (1)求a,b的值; (2)求函数g(x)=在上的最小值. 解:(1)由切线方程知,当x=时,y=0, ∴f=a+b=0. ∵f′(x)=acos x-bsin x, ∴由切线方程知,f′=a-b=1. ∴a=,b=-. (2)由(1)知,f(x)=sin x-cos x=sin. ∴g(x)=,g′(x)=. 设u(x)=xcos x-sin x, 则u′(x)=-xsin x<0,故u(x)在上单调递减.∴u(x)<u(0)=0,∴g(x)在上单调递减. ∴g(x)在上的最小值为g=. 2.已知函数f(x)=xex-a(a∈R). (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程; (2)当a>0时,求函数f(x)的单调区间. 解:(1)当a=0时,f′(x)=(x+1)ex, 所以切线的斜率k=f′(1)=2e. 又f(1)=e, - 6 - 所以y=f(x)在点(1,e)处的切线方程为y-e=2e(x-1),即2ex-y-e=0. (2)f′(x)=(x+1)(ex-a), 令f′(x)=0,得x=-1或x=ln a. ①当a=时,f′(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增. ②当0<a<时,ln a<-1,由f′(x)>0,得x<ln a或x>-1;由f′(x)<0,得ln a<x<-1, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1). ③当a>时,ln a>-1,由f′(x)>0,得x<-1或x>ln a;由f′(x)<0,得-1<x<ln a, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a). 综上所述,当a=时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln a,-1); 当a>时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(ln a,+∞),单调递减区间为(-1,ln a). 3.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+aln x+1,a∈R. (1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的极大值; (2)求a的取值范围,使得f(x)≥1恒成立. 解:(1)f′(x)=x-(a+1)+(x>0). ∵x=3是f(x)的极值点, ∴f′(3)=3-(a+1)+=0,解得a=3. 当a=3时,f′(x)==. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化见下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + - 6 - f(x) 极大值 极小值 ∴f(x)的极大值为f(1)=-. (2)要使f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2-(a+1)x+aln x≥0恒成立. 设g(x)=x2-(a+1)x+aln x, 则g′(x)=x-(a+1)+=. ①当a≤0时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(0,1), 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(1,+∞), ∴g(x)min=g(1)=-a-≥0,解得a≤-. ②当0<a<1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(a,1), 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,a),(1,+∞), 此时g(1)=-a-<0,不合题意. ③当a=1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,不合题意. ④当a>1时,由g′(x)<0得g(x)的单调递减区间为(1,a), 由g′(x)>0得g(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,不合题意. 综上所述,若满足f(x)≥1恒成立,a的取值范围为. B级——拔高题满分练 1.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0). (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围. 解:(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞), 则h′(x)=-ax-2. 由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间, 知当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解, - 6 - 即a>-有解. 设G(x)=-,则只要a>G(x)min即可, 而G(x)=2-1, 所以G(x)min=-1, 所以a>-1,即实数a的取值范围为(-1,+∞). (2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立. 设G(x)=-,则a≥G(x)max, 而G(x)=2-1. 又x∈[1,4],所以∈, 所以G(x)max=-(此时x=4), 所以a≥-, 即实数a的取值范围为. 2.(2019·银川模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值. 解:(1)∵f(x)=ln x-ax2+(a-2)x, ∴函数f(x)的定义域为(0,+∞). ∴f′(x)=-2ax+(a-2)=. ∵f(x)在x=1处取得极值, 即f′(1)=-(2-1)(a+1)=0,∴a=-1. 当a=-1时,在内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,∴x=1是函数y=f(x)的极小值点. ∴a=-1. (2)∵a2<a,∴0<a<1.f′(x)=-2ax+(a-2)=, - 6 - ∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0, ∴当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上单调递增, ∴f(x)max=f(a)=ln a-a3+a2-2a. ②当即<a<时,f(x)在上单调递增,在上单调递减, ∴f(x)max=f=-ln 2-+=-1-ln 2. ③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减, ∴f(x)max=f(a2)=2ln a-a5+a3-2a2. 综上所述,当0<a≤时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是ln a-a3+a2-2a; 当<a<时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln 2; 当≤a<1时,函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值是2ln a-a5+a3-2a2. 3.已知函数f(x)=ex(cos x-sin x). (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)令g(x)=f(x)+ex(2x-2)-a(x2+2cos x),讨论g(x)的单调性并判断有无极值,若有,求出极值. 解:(1)∵f′(x)=ex(cos x-sin x)+ex(-sin x-cos x)=-2exsin x,∴f′(0)=0. 又f(0)=1,∴切线方程为y=1. (2)依题意得g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x), ∴g′(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2(x-sin x)(ex-a). 令u(x)=x-sin x,则u′(x)=1-cos x≥0, ∴函数u(x)在R上单调递增. ∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0. 当a≤0时,ex-a>0,则x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;x<0时,g′(x)<0,函数g(x)在(-∞,0)上单调递减.∴x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-2a-1,无极大值. - 6 - 当a>0时,g′(x)=2(x-sin x)(ex-a)=2(x-sin x)·(ex-eln a), 令g′(x)=0,得x1=ln a,x2=0. ①若0<a<1, x∈(-∞,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; x∈(ln a,0)时,ex-eln a>0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; x∈(0,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增, ∴当x=0时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(0)=-2a-1; 当x=ln a时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. ②若a=1,ln a=0,x∈R时,g′(x)≥0, ∴函数g(x)在R上单调递增,无极值. ③若a>1,ln a>0, x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减; x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增. ∴当x=0时,函数g(x)取得极大值,g(x)极大值=g(0)=-2a-1;当x=ln a时,函数g(x)取得极小值,g(x)极小值=g(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 综上所述,当a≤0时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,g(x)的极小值为-2a-1,无极大值; 当0<a<1时,函数g(x)在(-∞,ln a),(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,g(x)的极小值为-2a-1,极大值为-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]; 当a=1时,函数g(x)在R上单调递增,无极值; 当a>1时,函数g(x)在(-∞,0),(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,g(x)的极大值为-2a-1,极小值为-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. - 6 -查看更多