辽宁省葫芦岛协作校2020届高三4月质量检测 数学（理）

辽宁省葫芦岛协作校2020届高三4月质量检测 数学（理）

‎2020年高三质量检测 数学(理科)‎ 本试卷共23题，共6页。全卷满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝}，A∩B＝‎ A.[1，＋∞) B.[1，3] C.(3，5] D.[3，5]‎ ‎2.若复数z满足z(i－1)＝2i(i为虚数单位)，则z为 A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i ‎3.已知平面向量＝(2，3)，＝(x，4)，若⊥(－)，则x＝‎ A. B.1 C.2 D.3‎ ‎4.数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为 A.中位数为7，标准差为2 B.中位数为7，标准差为4‎ C.中位数为7.5，标准差为4 D.中位数为7.5，标准差为2‎ ‎5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分不必要条件是 A.m⊥α，m⊥β B.mα，nβ，m⊥n C.m⊥β，m//α D.m//n，m⊥α，n⊥β ‎6.已知a＝log2020，b＝()2020，，则 A.c0，f(x)≤ax－1，则a的最小值为 A.0 B. C.1 D.e 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。‎ ‎13.某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]。据此绘制了如图所示的频率分布直方图。据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为 (60分以上为及格)，这200名学生中成绩在[80，90)中的学生有 名。‎ ‎14.若f(x)＋2f()＝2x＋对任意非零实数x恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 。‎ ‎15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为 。‎ ‎16.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝4，E为AD中点，则三棱锥A1－CDE外接球的表面积为 。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，且。‎ ‎(I)求角C的大小；‎ ‎(II)若c＝3，求a＋b的取值范围。‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 学校开设了射击选修课，规定向A，B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；‎ 小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为，向B靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立。现对小明同学进行以上三次射击的考核。‎ ‎(I)求小明同学恰好命中一次的概率；‎ ‎(II)求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E(X)。‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE。‎ ‎(I)证明：AF⊥平面A1BC；‎ ‎(II)求二面角B－A1E－B1余弦值的大小。‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知椭圆C：的焦距为2，过点(－1，)。‎ ‎(I)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(II)设椭圆的右焦点为F，定点P(2，0)，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线x＝2的另一个交点为Q，试探究在x轴上是否存在一定点M，使直线BQ恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝x(a－lnx)，g(x)＝x2＋e－x。‎ ‎(I)讨论f(x)在(，＋∞)上的单调性：‎ ‎(II)设h(x)＝f(x)－g(x)，若h(x)的最大值为0，求a的值。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22.(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(I)求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎(II)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值。‎ ‎23.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－m|－|2x＋2m|(m>0)。‎ ‎(I)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(II)若x∈R，t∈R，使得f(x)＋|t－1|<|t＋1|，求实数m的取值范围。‎ ‎2020 年高三质量检测 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，‎ ‎1.～12. DBADC BCACB AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．95%，40 （第一空2分，第二空3分） 14. x+y-2=0‎ ‎15． 16. 44‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分 12 分）‎ 解: （Ⅰ）由则 ………………………………2分 ‎∴ ………3分 所以 …………………………………5分 而 故 ………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由 且 ∴ ……………………7分 ‎∴ ……………………………8分 ‎∴ 所以……………………………9分 当且仅当时等号成立，此时A=B则，不符合题意∴……………10分 又 ……………………………………………………………11分 所以的取值范围是 …………………………………………………12分 ‎18.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击靶命中”为事件, “该射手第一次射击靶命中”为事件，“该射手第二次射击靶命中”为事件，‎ 由题意可知，， ……………………………2分 由于 …………………………4分 ‎=； ……………………………6分 ‎（Ⅱ） ……………………………7分 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎……………………………9分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎……………………………10分 ‎. …………………………12分 ‎19.（本题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）连接，在中，‎ 故. ……………………………1分 由于三棱柱是直三棱柱，故平面，‎ 直角三角形中，因为，，所以所以，‎ 又因为直角，即. ……………………………2分 再由为中点并且为等腰三角形可知，‎ 结合，得平面，∴. ……………………………4分 综合，，，‎ 得到平面. ……………………………6分 ‎（Ⅱ）由于，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ ‎，故，，，，‎ ‎,,‎ 设面法向量为，面法向量为，‎ ‎，取，得， ………………………8分 ‎，取，得， …………………………10分 则二面角的余弦值. ……………………………12分 ‎20．（本题满分 12 分）‎ 解： （Ⅰ）由题知 …………………………………………………………2分 解得，， …………………………………………………………3分 所以椭圆的方程为 …………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：‎ 由 得 ………………………………………5分 则，， ………………………………………6分 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则…7分 则，故的方程为：‎ ‎ …………………8分 令，则 ‎ …………………9分 而，， …………………10分 所以 …………………11分 故直线恒过定点，且定点为 ……………………………………12分 ‎21.（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为 ---------------------------------------------------------------1分 所以 -------------------------------------------3分 ‎①若---------------4分 ‎②若上单调递增；--5分 ‎. ‎ ‎-------------------6分 ‎（Ⅱ），是 ‎ -----------------------------------------------------------------------------------------7分 ‎ ‎ 所以存在唯一正实数 ---------------------8分 当 ‎ 当 ----------------------9分 所以将式代入整理得 ‎-------------------------10分 由题设所以-----11分 所以 -----------------------------12分 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本题满分 10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ 即 ……………………2分 又，代入上式 ……………………3分 得的极坐标方程为． ……………………5分 ‎（Ⅱ）设，， ……………………6分 将代入， ……………………7分 得， …………………8分 所以， …………………9分 所以． …………………10分 ‎23．（本题满分 10 分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）当时， ……………………2分 或或， ……………………3分 解得，所以原不等式的解集为． ……………………5分 ‎（Ⅱ）对任意恒成立，对实数有解．‎ ‎∵， …………………6分 根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值，……………………7分 ‎∵， ……………………8分 ‎∴，即的最大值为， ……………………9分 所以问题转化为，解得． ……………………10分