八上时 角的平分线的性质二

八上时 角的平分线的性质二

‎§13．3．2 角的平分线的性质（二）‎ 教学目标 ‎ 1、 角的平分线的性质 ‎ 2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．‎ ‎ 3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．‎ ‎ 教学重点 ‎ 角平分线的性质及其应用．‎ ‎ 教学难点 ‎ 灵活应用两个性质解决问题．‎ ‎ 教学过程 ‎ Ⅰ．创设情境，引入新课 ‎ 拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？‎ ‎ 分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．‎ ‎ Ⅱ．导入新课 ‎ 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．‎ ‎ 折出如图所示的折痕PD、PE．‎ ‎ 画一画：‎ ‎ 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？‎ ‎ 投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．‎ ‎ 结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．‎ ‎ 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？‎ ‎ [生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎ 问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：‎ ‎ ‎ ‎ 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．‎ ‎ 由已知事项推出的事项：PD=PE．‎ ‎ 于是我们得角的平分线的性质：‎ ‎ 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎ [师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）‎ 问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：‎ ‎ [生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．‎ ‎ 由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．‎ ‎ 由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？‎ ‎ 分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．‎ ‎ 思考：‎ 如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处‎500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？‎ ‎ 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？‎ ‎ 2．比例尺为1：20000是什么意思？‎ ‎ 结论：‎ ‎ 1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点‎500米处．‎ ‎2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，‎ 这就涉及一个单位换算问题了．‎1m=‎100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中‎1cm表示实际距离‎200m的意思．作图如下：‎ ‎ 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．‎ ‎ 第二步：在射线OP上截取OC=‎2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．‎ ‎ 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．‎ ‎ III例题与练习 ‎ 例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．‎ 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．‎ ‎ 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．‎ ‎ 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．‎ ‎ 因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．‎ ‎ 所以PD=PE．‎ ‎ 同理PE=PF．‎ ‎ 所以PD=PE=PF．‎ ‎ 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．‎ ‎ 练习：‎ ‎1．课本P107练习．‎ ‎ 2．课本P108习题13．3─2．‎ ‎ 强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．‎ ‎ IV．课时小结 ‎ 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．‎ ‎ Ⅴ．课后作业 ‎ 1、课本习题13．3─3、4、5题．‎ ‎ 2、《课堂感悟与探究》‎