高考文科数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

高考文科数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

‎《2018年高考文科数学分类汇编》‎ 第十三篇：极坐标与参数方程 解答题 ‎1.【2018全国一卷22】在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎4.【2018江苏卷21C】在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ 参考答案 解答题 ‎ 1.解： （1）由，得的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎2.解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，‎ 于是直线的斜率．‎ ‎3.解：（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ ‎4.解：因为曲线C的极坐标方程为，‎ 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．‎ 因为直线l的极坐标方程为，‎ 则直线l过A（4，0），倾斜角为，‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点．‎ 设另一个交点为B，则∠OAB=．‎ 连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，‎ 所以．‎ 因此，直线l被曲线C截得的弦长为．‎