2018-2019学年山东省德州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省德州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省德州市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集2，3，4，5，6，，3，5，，6，，则　　‎ A． B．‎ C．3，5，6， D．3，4，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据并集与补集的定义，写出运算结果．‎ ‎【详解】‎ ‎3，5，，6，，‎ 则3，5，6，，‎ 又全集2，3，4，5，6，，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎2．某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为　　 ‎ 年级 一年级 二年级 三年级 学生人数 ‎1200‎ x y A．25 B．26 C．30 D．32‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．‎ ‎【详解】‎ 由题意得高二年级学生数量为：‎ ‎，‎ 高三年级学生数量为，‎ 现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，‎ 设应在高三年级抽取的学生的人数为n，‎ 则，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3．函数的定义域是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二次根式和对数函数的定义，求出使函数解析式有意义的自变量取值范围．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 函数y的定义域是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．求函数定义域的注意点：(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。‎ ‎4．已知点，则P在平面直角坐标系中位于　　‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】利用特殊角的三角函数值的符号得到点的坐标，直接判断点所在象限即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 在平面直角坐标系中位于第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．‎ ‎5．如图，边长为2的正方形有一内切圆向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆的面积公式得：，由正方形的面积公式得：，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：，得解．‎ ‎【详解】‎ 由圆的面积公式得：，‎ 由正方形的面积公式得：，‎ 由几何概型中的面积型可得：‎ ‎，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．‎ ‎6．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是 ‎，则表中m的值为　　 ‎ x ‎8‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎14‎ y ‎21‎ ‎25‎ m ‎28‎ ‎35‎ A．26 B．27 C．28 D．29‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 由线性回归方程的性质可知：，‎ 故，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．‎ ‎7．函数的零点个数为　　‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数的表达式，分别求出当和时的零点个数即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，由得，‎ 作出函数和在时的图象如图：‎ 由图象知两个函数有两个交点，即此时函数在时有两个零点，‎ 当时，由得，得，此时有一个零点，‎ 综上函数共有3个零点，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点个数的判断，利用分段函数的解析式，分别进行求解是解决本题的关键．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含参的函数，注意让含参的函数式子尽量简单一些。‎ ‎8．抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有　　‎ A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 ‎【答案】C ‎【解析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．‎ ‎【详解】‎ 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，‎ 事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”，‎ 事件A与事件B是对立事件；‎ 事件A与事件C是互斥但不对立事件；‎ 事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件．‎ 故互斥但不对立的共有1对．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥但不对立的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；‎ ‎③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中茎叶图知， ，‎ ‎； ，‎ ‎.‎ 所以<， >．‎ ‎10．已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为　　‎ A． B．1rad C． D．2rad ‎【答案】D ‎【解析】根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出的最大值，以及对应圆心角的值，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 设扇形的圆心角大小为，半径为r，‎ 根据扇形的面积为，周长为，‎ 得到，且，‎ ‎，‎ 又，当且仅当，即时，“”成立，‎ 此时取得最大值为，对应圆心角为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 二、解答题 ‎11．计算 ‎(2)‎ 已知：，求 ‎【答案】（1）4；（2）2；（3）‎ ‎【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可；根据可求出，进而求出，带入即可．‎ ‎【详解】‎ 原式；‎ 原式；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 考查分数指数幂和对数的运算，完全平方式的运用．题目比较基础.‎ ‎12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入单位：千元与月储蓄单位：千元的数据资料，算得，，，附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．‎ 求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；‎ 判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ 若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）千元 ‎【解析】由题意求出，，根据，，代入公式求值，又由，得出从而得到回归直线方程；变量y的值随x的值增加而增加，可知x与y之间是正相关还是负相关;代入即可预测该家庭的月储蓄．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，，，‎ ‎，‎ 那么：，．‎ ‎，．‎ 由．‎ ‎，‎ 故所求回归方程为．‎ 由于变量y的值随x的值增加而增加，即．‎ 故x与y之间是正相关．‎ 将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为千元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎13．已知角的终边上有一点，其中．‎ 求的值；‎ 求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值;先求得的值，同角三角函数的基本关系，‎ ‎【详解】‎ 角的终边上有一点，其中，，‎ 当时，，，，．‎ 当时，，，，．‎ 由题意可得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．常见的变形式有：(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.‎ ‎14．现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ 列出基本事件；‎ 求被选中的概率；‎ 求和不全被选中的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】利用列举法能求出基本事件；用M表示“被选中”，利用列举法求出M中含有6个基本事件，由此能求出被选中的概率；用N表示“和不全被选中”，则表示“和全被选中”，利用对立事件概率计算公式能求出和不全被选中的概率．‎ ‎【详解】‎ 现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，，通晓日语，‎ ‎，，通晓俄语，，通晓英语，‎ 从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ 基本事件空间，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，共18个基本事件．‎ 由于每个基本事件被选中的机会相等，‎ 这些基本事件是等可能发生的，‎ 用M表示“被选中”，‎ 则，，，，‎ ‎，，含有6个基本事件，‎ 被选中的概率．‎ 用N表示“和不全被选中”，则表示“和全被选中”，‎ ‎，，，含有3个基本事件，‎ 和不全被选中的概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本事件、古典概型概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.‎ ‎15．据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为元．‎ 在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；‎ 为了保证传统农业的顺利进行，限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】根据题意建立函数关系结合二次函数的单调性的性质进行求解即可；根据条件设300万农民的年总收入为，建立函数关系，利用一元二次函数的性质进行求解 ‎【详解】‎ 由题意如果有万人进企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y，‎ 则，，‎ 对称轴为，抛物线开口向下，即当时，y取得最大值为万元．‎ 即由100万人进企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．‎ 设300万农民的总收入为，，‎ 则，‎ 对称轴为，‎ 当时，，当时，取得最大值，‎ 当时，，当时，取得最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的应用问题，利用条件建立函数关系利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎16．对于函数，若存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点．‎ 当，时，求关于参数1的不动点；‎ 若对于任意实数b，函数恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；‎ 当，时，函数在上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）和3；（2）‎ ‎【解析】，时，解方程即可；即恒有两个不等实根，两次使用判别式即可得到；问题转化为在上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．‎ ‎【详解】‎ 当，时，，‎ 由题意有，即，‎ 解得：，，‎ 故当，时，的关于参数1的两个不动点为和3；‎ 恒有两个不动点，‎ ‎，即恒有两个不等实根，‎ 恒成立，‎ 于是 ，解得，‎ 故当且恒有关于参数1的两个相异的不动点时；‎ 由已知得在上有两个不同解，‎ 即在上有两个不同解，‎ 令，‎ 所以，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些。‎ 三、填空题 ‎17．下列函数中值域为R的有______．‎ A.    B C.   D.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】分别判断函数的单调性和取值范围，结合函数的值域进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 为增函数，函数的值域为R，满足条件．‎ B.由得或，能够取遍的每一个值，此时 的值域为R，满足条件．‎ C.，‎ 当时，，‎ 当时，，真是，即函数的值域为，不满足条件．‎ 是增函数，x能取遍R中的每一个值，故函数的值域为R，满足条件．‎ 故答案为：ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值域的求解，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．求函数值域的基本方法:(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域;(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域;(3)换元法：形如(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用换元法求值域，形如的函数用三角函数代换求值域;(4)分离常数法：形如的函数可用此法求值域;(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域;(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。‎ ‎18．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是______．‎ A.样本中支出在元的频率为 B.样本中支出不少于40元的人数有132‎ C.n的值为200‎ D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在元 ‎【答案】BC ‎【解析】在A中，样本中支出在元的频率为；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：；在C中，；若该校有2000‎ 名学生，则可能有600人支出在元．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得：‎ 在A中，样本中支出在元的频率为：，故A错误；‎ 在B中，样本中支出不少于40元的人数有：，故B正确；‎ 在C中，，故n的值为200，故C正确；‎ D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在元，故D错误．‎ 故答案为：BC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎19．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是______．‎ A.‎ B.当时，‎ C.函数的定义域为R，值域为 D.函数是增函数、奇函数 ‎【答案】ABC ‎【解析】由题意可得表示数x的小数部分，可得，当时，，即可判断正确结论．‎ ‎【详解】‎ 表示数x的小数部分，‎ 则，故A正确；‎ 当时，，故B正确；‎ 函数的定义域为R，值域为，故C正确；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 则，即有不为增函数，‎ 由，，可得，‎ 即有不为奇函数．‎ 故答案为：A，B，C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎20．已知，，且，则m的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由已知，得，‎ 故m的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了集合的子集关系及其运算，属于简单题．‎ ‎21．已知且，函数的图象恒过定点P，若P在幂函数的图象上，则______．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】根据指数函数的图象恒过定点，求出点P的坐标，代入幂函数的解析式求出，再计算的值．‎ ‎【详解】‎ 令，解得，此时，‎ 指数函数的图象恒过定点；‎ 设幂函数，为实数，‎ 由点P在的图象上，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：27．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题．‎ ‎22．已知，，则______；______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】把已知等式两边平方，求出的值，再利用完全平方公式求出的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，即．‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，即，‎ ‎．‎ 联立，解得，．‎ ‎．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数间的基本关系，求得是关键，也是难点，常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.‎ ‎23．已知偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，‎ 函数的图象过点，且在区间上单调递增，‎ 作出函数的图象大致如图：‎ 则不等式等价为或，‎ 即或，‎ 即不等式的解集为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象是解决本题的关键．‎