辽宁省丹东市凤城市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

辽宁省丹东市凤城市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题

辽宁省丹东市凤城一中2019-2020学年上学期高三第一次月考数学理科试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知集合，，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,‎ 考点：集合交集及函数值域 点评：两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合,求函数值域要结合函数定义域 ‎2.若复数满足，为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简z，利用i的周期性计算结果．‎ ‎【详解】由题意可得，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查虚数i的周期运算问题，是一道基础题．‎ ‎3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍 C. 2015年与2018年艺体达线人数相同 D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.‎ 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.‎ ‎【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.‎ 对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；‎ 对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；‎ 对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；‎ 对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．‎ ‎4.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解．‎ ‎【详解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，‎ ‎∴2sin72°，a2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎5.已知函数，则函数的大致图象为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定正确的函数图像.‎ ‎【详解】因为当时，函数单调递减，所以排除选项A、C；‎ 又，所以排除选项D，‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎6.下列命题中，真命题的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 的充要条件是 D. 若，且，则中至少有一个大于1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D．‎ ‎【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．‎ B.当时，，所以B错误．‎ C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误．‎ D.假设x，y都小于1，则，，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎7.设，则的大小关系为(　　)‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性可得，根据幂函数的单调性可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为指数函数是减函数，,所以<，即；‎ 因为幂函数是增函数，,所以>,即，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎8.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题分别计算两种情况对应的概率，分别相加，即可．‎ ‎【详解】分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为，第二种情况对应概率为，所以概率为，故选C．‎ 点睛】本道题考查了排列组合，考查了古典概率问题，难度中等．‎ ‎9.已知函数在区间上单调递增，则实数t的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简为，再根据正弦函数的增区间可解得．‎ ‎【详解】依题意，‎ ‎，‎ 当时，因为在上单调递增，且在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 解得 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性．属中档题．‎ ‎10.已知函数若直线l与曲线，都相切，则直线l的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设斜率为k，分别求出l在，图象上的切点坐标为、，再利用坐标表示出斜率，列出关于k的方程，求出k．‎ ‎【详解】设直线l的斜率为k，则，解得，切点为；‎ 且，解得，切点为；‎ 因为l与曲线，都相切，所以，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求公切线的斜率，导数的几何意义，属于中档题．‎ ‎11.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）‎ A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120种，选D.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑与和的关系，去掉绝对值号后可得，然后再通过导数研究函数的图象，结合图象可得所求结果．‎ ‎【详解】方程等价于 或或，‎ 即或或，‎ 所以．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴当时，取得最小值，且．‎ 画出函数的图象，如下图所示．‎ 于是可得，当时，恒成立．‎ 由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解，‎ 只需，即，‎ 解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.的展开式中常数项的系数为60，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值．‎ ‎【详解】由于的展开式的通项公式为，令，‎ 求得，可得展开式中常数项的系数为，则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎14.若，则满足不等式的的取值范围为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得f（x）为R上的奇函数和减函数，故原不等式可化为＝f（0），利用单调性解之即可．‎ ‎【详解】由题意得，‎ ‎ ，所以是R上的奇函数，所以=0，‎ 又= 在R上单调递减，‎ 所以，即，所以，‎ 解得或，即的取值范围为.‎ 答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判定及应用，属于基础题．‎ ‎15.在边长为1的等边三角形ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF.设，则____________；＝____________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先以E为原点，BC为x轴，EA为y 轴，建立坐标系，分别表示出相关各点坐标及相关向量的坐标，将问题中的向量运算转化为坐标运算．‎ ‎【详解】首先以E为原点，BC为x轴，EA为y轴，建立坐标系，则，，，，；，，，．‎ 设，，则，‎ 由得，=2，可得，，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以．‎ ‎＝=．‎ ‎【点睛】坐标法是解决平面向量问题的常用方法．其过程如下：（1）结合图形，适当建立坐标系；（2）确定相关点的坐标；（3）计算（表示）相关向量的坐标；（4）结合问题条件建立方程或进行坐标运算．‎ ‎16.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程式（），则对函数有下列判断：‎ ‎①函数是偶函数；‎ ‎②对任意的，都有；‎ ‎③函数在区间上单调递减；‎ ‎④．‎ 其中判断正确的序号是 ．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因此最终构成图象如下：‎ 根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数，∴①正确;‎ 由图象即分析可知函数的周期是4.∴②正确；‎ 函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增，∴③错误；‎ ‎④.所以④正确.故选①②④.‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ ‎17.已知单位圆的内接的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件结合正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解角B的大小（2）通过的面积为，结合正弦定理求出a，b然后求解的周长．‎ ‎【详解】（1）在中，，，‎ 所以，‎ 即，所以．‎ 因为，所以．‎ ‎，所以，‎ ‎，由余弦定理得 由得，‎ 所以的周长为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知，函数（，为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）原函数在上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a的范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，.‎ 令，解得 所以，函数的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）方法1：若函数在上单调递增，则在上恒成立.‎ 即，令.‎ 则在上恒成立.‎ 只需，得：‎ 方法2：，令，即，‎ 解得.‎ 所以，的增区间为 又因为在上单调递增，所以 ‎ 即，解得.‎ ‎【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.‎ ‎19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ 且函数表达式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．‎ 因为的对称中心为，．‎ 令，解得，．‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，．由可知，当时，取得最小值．‎ 考点：“五点法”画函数在某一个周期内图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．‎ ‎20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；‎ ‎（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？‎ ‎（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.‎ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）每株“相近”的株数的最大值为5.‎ ‎（3）的分布列为：‎ ‎11‎ 一株产量的期望为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；‎ ‎（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；‎ ‎（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）设每株产量为，‎ 根据题意：，‎ 解得，‎ 令，‎ 解得，‎ 所以每株“相近”的株数的最大值为5.‎ ‎（3）由回归方程得：‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 由题意得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以分布列为：‎ ‎11‎ 所以，‎ 所以一株产量的期望为.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的计算及应用，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若在区间上有两个极值点.‎ ‎（）求实数的取值范围；‎ ‎（）求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出，列表讨论的单调性，问题得解．‎ ‎（Ⅱ）（i）由在区间上有两个极值点转化成有两个零点，即有两个零点，求出，讨论的单调性，问题得解．‎ ‎（ii）由得，将转化成，由得单调性可得，讨论在 的单调性即可得证．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，，，令，得.‎ 的单调性如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ 单调递增 易知.‎ ‎（Ⅱ）（i）.令，则.‎ 令，得.‎ 的单调性如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ 单调递增 在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，‎ 结合的单调性可知，且，即且.‎ 所以，即的取值范围是.‎ ‎（ii）由（i）知，所以.‎ 又，，，结合的单调性可知，.‎ 令，则.当时，，，，‎ 所以在上单调递增，而，，‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线的直角坐标方程即可；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点在直线上，联立直线的参数方程与C的直角坐标方程，结合直线的几何意义可得的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，消去参数可得，故曲线的普通方程为．‎ 由，可得，即，‎ 将，代入上式，可得，‎ 故直线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），‎ 将，代入，化简可得，‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程中参数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23.已知函数，‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数为偶函数，此时的最小值为t，若实数a，b，c满足，证明：‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1化为分段函数即可求出不等式的解集2根据偶函数的性质求出函数m的值，再根据三角绝对值不等式求出t的值，再根据基本不等式即可证明．‎ ‎【详解】（1），则 由可得由无解     可得；‎ 综上的解集为，‎ 证明：（2）因为函数为偶函数，所以，此时，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以当且仅当时，取““，‎ 所以，‎ 即．‎ ‎【点睛】本考主要查了利用绝对值三角不等求最小值和基本不等式，考查了转化思想和计算能力，属中档题．‎ ‎ ‎