2018-2019学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，或，故.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．计算的值是（ ）‎ A．72 B．102 C．5070 D．5100‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，原式，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.‎ ‎3．设，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于，而，故，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.‎ ‎4．的展开式中的系数为（ ）‎ A．5 B．10 C．20 D．30‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得的系数.‎ ‎【详解】‎ 根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有的为，故展开式中的系数为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.‎ ‎5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率服从正态分布，且，则（ ）‎ A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.‎ ‎【详解】‎ 由于，故，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.‎ ‎6．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在上连续单调递增，‎ 且,‎ 所以函数的零点在区间内，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.‎ ‎7．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是 ‎ A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：在上是减函数有最大值，无最小值，故选A.‎ ‎【考点】函数的单调性.‎ ‎8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.‎ ‎9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得二项式的展开式的各项系数之和为.然后利用列举法求得在一共个数字中任选两个，和为的概率，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令代入得，即二项式的展开式的各项系数之和为.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：共种，其中和为的有共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.‎ ‎10．函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。‎ ‎【详解】‎ 当时，，故排除D；‎ 由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；‎ 由，由于 ， ，所以，故排除C;‎ 故答案为A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。‎ ‎11．对于偶函数，“的图象关于直线对称”是“是周期为2的周期函数”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，函数为偶函数，即.“的图象关于直线对称”“是周期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若与的图象上分别存在点、，使得、关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得关于对称函数，由与图像有公共点来求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设函数上一点为，关于对称点为，将其代入解析式得，即.在同一坐标系下画出和的图像如下图所示，由图可知，其中是的切线.由得，而，只有A选项符合，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数关于直线对称函数解析式的求法，考查两个函数有交点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．一只袋内装有大小相同的3个白球，4个黑球，从中依次取出2个小球，已知第一次取出的是黑球，则第二次取出白球的概率是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将问题转化为个白球和个黑球，从中任取一个，取到白球的概率来求解.‎ ‎【详解】‎ 由于第一次取出黑球，故原问题可转化为个白球和个黑球，从中任取一个，则取到白球的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查条件概率的计算，考查古典概型的计算，属于基础题.‎ ‎14．设随机变量的分布列（其中），则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据概率和为列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，解得.‎ 故填 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查随机变量分布列概率和为，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎15．已知函数且，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别令和代入函数解析式，对比后求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意①，‎ ‎②，由①得，代入②得.故填-2‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数求值，考查对数运算，考查分子有理化，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16．定义在上的偶函数满足，当时，，则函数在上的零点个数为__个．（其中为自然对数的底数，…）‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性和周期性画出函数图像，由两个函数图像交点个数，确定零点个数.‎ ‎【详解】‎ 由可知函数是周期为的周期函数，而函数为偶函数，函数图像结合时, 的图像，可画出上的图像，进而画出函数的图像.令，则，画出两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数有四个公共点，故有个零点.另，当时，，其斜率为.令，解得，代入得，过函数在点处的切线方程为，即，即函数与在点处相切于点.‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设，已知.‎ ‎（1）求的值 ‎（2）设，其中，求的值.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ；‎ ‎【解析】（1）根据二项式展开式的二项式系数，求得的表达式，代入解方程，求得的值.（2）利用二项式展开式化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以 因为 所以 解得 ‎（2）由（1）知.即 所以 因为，所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18．甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：‎ ‎①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.‎ ‎②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球。‎ ‎（1）求甲能参加音乐社团的概率；‎ ‎（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差 ‎【答案】(1) ；(2)分布列见解析； 数学期望；方差 ‎【解析】（1）先求得基本事件的总数为，然后计算出与圆心构成直角三角形或钝角三角形的取法数之和，再利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.（2）利用二项分布概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望和方差.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有种，其中与圆心构成直角三角形的取法有8种:，与圆心构成钝角三角形的取法有种: .所以甲能参加音乐社团的概率为：.‎ ‎（2）由题意可知：，的可能取值为：0,1,2,3.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望 方差 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查古典概型概率计算，考查二项分布分布列、期望和方差的计算，属于中档题.‎ ‎19．下表为2015年至2018年某百货零售企业的年销售额（单位：万元）与年份代码的对应关系，其中年份代码年份-2014（如：代表年份为2015年）。‎ 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 年销售额 ‎105‎ ‎155‎ ‎240‎ ‎300‎ ‎（1）已知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的年销售额；‎ ‎（2）2019年，美国为遏制我国的发展，又祭出“长臂管辖”的霸权行径，单方面发起对我国的贸易战，有不少人对我国经济发展前景表示担忧.此背景下，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的销售额能否持续增长的看法，随机调查了60为男顾客、50位女顾客，得到如下列联表：‎ 持乐观态度 持不乐观态度 总计 男顾客 ‎45‎ ‎15‎ ‎60‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎75‎ ‎35‎ ‎110‎ 问：能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关？‎ 参考公式及数据：回归直线方程，‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】(1) ；年销售额为367.5万元.(2) 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.‎ ‎【解析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，令 求得预测值.（2）根据题目所给数据计算的观测值，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得 所以 所以，‎ 所以关于的线性回归方程为 由于，所以当时，‎ 所以预测2019年该百货零售企业的年销售额为367.5万元.‎ ‎（2）由题可得 代入公式 得的观测值为：‎ 由于，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为对该百货零售企业的年销售额持续增长所持的态度与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查列联表独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎20．传说《西游记》中孙悟空的“如意金箍棒”原本是东海海底的一枚“定海神针”.作为兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孙悟空能让其大小随意变化。假定孙悟空在使用“如意金箍棒”与各路妖怪打斗时，都将其变化为底面半径为4至10之间的圆柱体。现假定孙悟空刚与一妖怪打斗完毕，并降伏了此妖怪，此时“如意金箍棒”的底面半径为10，长度为.在此基础上，孙悟空使“如意金箍棒”的底面半径以每秒1匀速缩短，同时长度以每秒40‎ 匀速增长，且在这一变化过程中，当“如意金箍棒”的底面半径为8时，其体积最大.‎ ‎（1）求在这一变化过程中，“如意金箍棒”的体积随时间（秒）变化的解析式，并求出其定义域；‎ ‎（2）假设在这一变化过程中，孙悟空在“如意金箍棒”体积最小时，将其定型，准备迎战下一个妖怪。求此时“如意金箍棒”的底面半径。‎ ‎【答案】(1) ，定义域为 ；(2)4‎ ‎【解析】（1）根据时间，写出“如意金箍棒”的底面半径和长度，由此计算出体积的解析式，并根据半径的范围求得的取值范围，也即定义域.利用导数求得的单调区间和极大值，根据此时“如意金箍棒”的底面半径列方程，解方程求得的值，进而求得解析式.（2）由（1）中求得的单调区间，求得的最小值，并求得此时“如意金箍棒”的底面半径.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）“如意金箍棒”在变化到秒时，其底面半径为，长度为 则有，得：‎ 时，（秒），由知，当时，取得极大值 所以，解得（）‎ 所以，定义域为 ‎（2）由（1）得：‎ 所以当时，，当时，‎ 所以在区间上为增函数，在区间上为减函数 则的最小值或；‎ 又 所以当（秒）时，“如意金箍棒”体积最小，‎ 此时，“如意金箍棒”的底面半径为（）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查中国古代文化，考查运算求解能力，考查函数应用问题，属于中档题.‎ ‎21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月对甲、乙两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中甲、乙两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用甲种支付方式和仅使用乙种支付方式的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额（元）‎ 支付方式 大于1000‎ 仅使用甲 ‎15人 ‎8人 ‎2人 仅使用乙 ‎10人 ‎9人 ‎1人 ‎（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月甲、乙两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（2）从样本中仅使用甲种支付方式和仅使用乙种支付方式的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于500元的人数，用频率近似代替概率，求的分布列和数学期望 ‎【答案】(1)0.45；(2) 的分布列见解析；数学期望为0.9‎ ‎【解析】（1）用减去仅使用甲、仅使用乙和两种都不使用的人数，求得都使用的人数，进而求得所求概率.（2）的所有可能值为0,1,2.根据相互独立事件概率计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，样本中仅使用甲种支付方式的学生有人，仅使用乙种支付方式的学生有人，甲、乙两种支付方式都不使用的学生有10人.‎ 故样本中甲、乙两种支付方式都使用的学生有人 所以从全校学生中随机抽取1人，‎ 该学生上个月甲、乙两种支付方式都使用的概率估计为.‎ ‎（2）的所有可能值为0,1,2.‎ 记事件为“从样本仅使用甲种支付方式的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于500元”，事件为“从样本仅使用乙种支付方式的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于500元”。‎ 由题设知，事件A，B相互独立，‎ 且 所以 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 故的数学期望 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查频率的计算，考查相互独立事件概率计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（2）设，求证：当时， .‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析 ‎【解析】（1）解法一：求得函数导数并通分，对分成两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数的取值范围.解法二：将原不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数结合洛必达法则，求得的取值范围，由此求得的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结论，证得当时成立.再利用导数证得当时，也成立，由此证得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为 ‎，构造函数，利用导数证得，进而证得，也即证得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）【解法一】由得：‎ ‎①当时，由知，‎ 在区间上为增函数，‎ 当时，恒成立，‎ 所以当时，满足题意；‎ ‎②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数.‎ 这时当时，，‎ 令，则 即在上为减函数，所以 即在上的最小值，‎ 此时，当时，不可能恒成立，即有不满足题意.‎ 综上可知，当，使恒成立时，‎ 的取值范围是.‎ ‎【解法二】‎ 当时，等价于 令，则只须使 设 在上为增函数，‎ 所以在上为增函数，‎ 当时，‎ 由洛必达法则知 即当时，，所以有 即当，使恒成立时，则的取值范围是 ‎（2）解法一：由（1）知，当时，‎ 当时，‎ 又 成立 故只须在证明，当时，即可 当时，‎ 又当时，‎ 所以，只须证明即可；‎ 设 由得：‎ 当，时 当时，‎ 即在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 当时，‎ 成立 综上可知，当时，成立.‎ ‎（2）解法二：由（1）知当时，‎ 等价于 设 由得：‎ 当时，；当时，‎ 即在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 当时，‎ 因为时，.所以 所以成立.‎ 综上可知，当时，成立.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.‎