【物理】2018届二轮复习功能关系在电学中的应用学案（全国通用）
功能关系在电学中的应用
考向预测
本专题包括三个部分：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。
电场中的功能关系中，电粒子(或带电体)在电场中的运动问题是近几年高考常考的问题，高考命题角度集中在动能定理在平行板电容器中的应用，动能定理在非匀强电场中的应用，抛体运动、功能关系在匀强电场中的应用；题目难度以中档题为主,有选择亦有计算题。
电磁感应中的功能关系，高考命题命题角度有能量守恒定律在电磁感应中的应用，电磁感应电路中的电功、电功率，试题难度以中档题为主。
应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题，在高考中常以压轴题的形式出现，题目综合性强，分值高，难度大。
高频考点：电场中的功能关系；电磁感应中的功能关系；应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题。知识与技巧的梳理
考点一、电场中的功能关系
例 (2017·全国I卷T20)在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标（ra，φa）标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
A．Ea : Eb = 4:1
B．Ec : Ed = 2:1
C．Wab : Wbc = 3:1
D．Wbc : Wcd = 1:3
【审题立意】本题考查点电荷的电场、电势、电场力做功等知识。(1)点电荷电场中场强的计算；(2)点电荷电场中电势高低的判断；(3)点电荷电场中电场力做功的计算。
【解题思路】由图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m，根据点电荷的场强公式可知，，，故A正确，B错误；电场力做功，a与b、b与c、c与
d之间的电势差分别为2 V、1 V、1 V，所以，，故C正确，D错误。
【参考答案】 D
【知识构建】电场力做功及电场中的功能关系
【变式训练】1. 如图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从 a、b两点运动到c点，设电场力对两电子做的功分别为Wa和Wb，a、b点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则( )
A．Wa ＝Wb，Ea >Eb
B．Wa≠Wb，Ea >Eb
C．Wa＝Wb，Ea
Eb，故A对，C错。
答案：A
2. (多选)一质量为m带正电荷的小球由空中A点无初速自由下落，在t秒末加上竖直向上、范围足够大的匀强电场，再经过t秒小球又回到A点。不计空气阻力且小球从未落地，则 ( )
A．整个过程中小球电势能变化了mg2t2
B．整个过程中小球速度增量的大小为2gt
C．从加电场开始到小球运动到最低点时小球动能变化了mg2t2
D．从A点到最低点小球重力势能变化了mg2t2
解析：小球运动过程如图所示，加电场之前与加电场之后，小球的位移大小是相等的。由运动学公式，得v2＝2v1。对加电场之后的运动过程(图中虚线过程)应用动能定理得，对此前自由下落过程由机械能守恒得，又，联立以上各式可解得电场力所做的功W电＝mgh1＋mv－mv＝2mv＝2mg2t2，即整个过程中小球电势能减少了2mg2t2，故A错；整个过程中速度增量大小为Δv＝v2－0＝2v1＝2gt，故B正确；从加电场开始到小球运动到最低点时，动能变化了ΔEk＝0－mv＝－mg2t2，故C错；由运动学公式知，以及＝
＝，则从A点到最低点小球重力势能变化量为ΔEp＝mg(h1＋h2)＝mg(h1＋h1)＝mgh1＝×mv＝mg2t2，故D正确。
答案：BD
考点二、电磁感应中的功能关系
例 如图甲所示，在水平桌面上固定着两根相距L＝20 cm、相互平行的无电阻轨道P、Q，轨道一端固定一根电阻r＝0.02 Ω的导体棒a，轨道上横置一根质量m＝40 g、电阻忽略不计的金属棒b，两棒相距也为L＝20 cm，该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。开始时，磁感应强度B0＝0.1 T。设金属棒b与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2。
(1)若保持磁感应强度B0的大小不变，从t＝0时刻开始，给金属棒b施加一个水平向右的拉力，使它由静止开始做匀加速直线运动。此拉力F的大小随时间t变化的关系如图乙所示。求金属棒b做匀加速运动的加速度及其与轨道间的滑动摩擦力；
(2)若从t＝0开始，磁感应强度B随时间t按图丙中图象所示的规律变化，求在金属棒b开始运动前，这个装置中产生的焦耳热。
【审题立意】解答本题可按以下顺序分析：
【解题思路】(1)由题图乙可得，拉力F与t的大小随时间变化的函数表达式为：
F＝F0＋t＝(0.4＋0.1t)N
当金属棒b匀加速运动时，根据牛顿第二定律有：F－f－F安＝ma
F安＝B0I1L
I1＝＝，v＝at
所以F安＝t
联立解得F＝f＋ma＋t，代入数据解得a＝5 m/s2，f＝0.2 N。
(2)由题图丙可知，磁感应强度均匀增大，闭合电路中有恒定的感应电流I2，以金属棒b为研究对象，它受到的安培力逐渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到金属棒b所受安培力与最大静摩擦力f
相等时要开始运动。
感应电动势：E＝L2＝0.02 V
I2＝＝1 A
金属棒b将要运动时，有f＝BtI2L
所以Bt＝＝1 T
根据题图丙可得：Bt＝B0＋t＝(0.1＋0.5t)T
解得：t＝1.8 s
装置中产生的焦耳热为：Q＝I22rt＝12×0.02×1.8 J＝0.036 J。
【参考答案】(1)5 m/s2 0.2 N (2)0.036 J
【技能提升】求解电磁感应中的功能关系的思路
【变式训练】1. (2017·北京朝阳区高三质检)如图所示，匀强磁场的上下边界水平，宽度为L，方向垂直纸面向里。质量为m、边长为l(l＜L)的正方形导线框abcd始终沿竖直方向穿过该磁场，已知cd边进入磁场时的速度为v0，ab边离开磁场时的速度也为v0，重力加速度的大小为g。下列说法正确的是( )
A．线框进入和离开磁场时产生的感应电流方向相同
B．线框进入和离开磁场时受到的安培力方向相反
C．线框穿过磁场的过程中克服安培力所做的功为mg(L＋l)
D．线框穿过磁场的过程中可能先做加速运动后做减速运动
解析：根据楞次定律可知，线框进入磁场和离开磁场时产生的感应电流方向相反，再根据左手定则可知线框受到的安培力方向一直向上，A、B错误；根据动能定理，可知从进入磁场到离开磁场的过程动能不变，所以WG－W克安＝0，即W克安＝mg(L＋l)，C正确；如果cd边以速度v0进入磁场时开始做加速运动，那么ab边离开磁场时不可能减速到v0，D错误。
答案：C
2. (2017·江苏卷T13) 如图所示，两条相距d的平行金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R的电阻。质量为m的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ的磁感应强度大小为B、方向竖直向下。当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v。导轨和金属杆的电阻不计，导轨光滑且足够长，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：
(1)MN刚扫过金属杆时，杆中感应电流的大小I；
(2)MN刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(3)PQ刚要离开金属杆时，感应电流的功率P。
解析：(1)MN刚扫过金属杆时，金属杆的感应电动势E＝Bdv0 ①
回路的感应电流I＝ ②
由①②式解得I＝。 ③
(2)金属杆所受的安培力F＝Bid ④
由牛顿第二定律，对金属杆F＝ma ⑤
由③④⑤式解得a＝。 ⑥
(3)金属杆切割磁感线的速度v′＝v0－v ⑦
感应电动势E＝Bdv′ ⑧
感应电流的电功率P＝ ⑨
由⑦⑧⑨式解得P＝。 ⑩
考点三、应用动力学知识和功能关系解决力电综合问题
例 如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50 m。轨道的MM′端接一阻值为R＝0.50 Ω的定值电阻。直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度为B＝0.60 T的匀强磁场中，磁场区域的右边界为NN′，宽度为d＝0.80 m。NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆形轨道的半径均为R0＝0.50 m。现有一导体杆ab静止在距磁场的左边界s＝2.0 m处，其质量m＝0.20 kg、电阻r＝0.10 Ω。ab杆在与杆垂直的水平恒力F＝2.0 N的作用下开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，杆穿过磁场区域后，沿半圆形轨道运动，结果恰好能通过半圆形轨道的最高位置PP′。已知杆始终与轨道垂直，杆与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道电阻忽略不计，取g＝10 m/s2。求：
(1)导体杆通过PP′后落到直轨道上的位置离NN′的距离；
(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R的电荷量；
(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热。
【审题立意】本题首先要分析导体棒的运动过程，分三个子过程进行研究；其次要掌握三个过程遵守的规律，运用动能定理、能量守恒、机械能守恒定律联合求解。
【解题思路】(1)设导体杆运动到半圆形轨道最高位置的速度为v，因导体杆恰好能通过轨道最高位置，由牛顿第二定律得：mg＝m
导体杆通过PP′后做平抛运动x＝vt
2R0＝gt2
解得：x＝1 m。
(2)q＝·Δt
＝，＝，ΔΦ＝B·ld
联立解得：q＝0.4 C。
(3)设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v1，由动能定理有
(F－μmg)s＝mv12
解得：v1＝6.0 m/s
在导体杆从刚进磁场到滑至最高位置的过程中，由能量守恒定律有
mv12＝Q＋mg×2R0＋mv2＋μmgd
解得：Q＝0.94 J。
【参考答案】(1)1 m (2)0.4 C (3)0.94 J
【技能突破】力电综合问题一般题目综合性强，分析此类问题的关键是在正确地进行受力分析和运动分析的前提下，合理选用规律，列出方程求解。
力电综合问题的一般思维流程
【变式训练】 1. 如图所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距L＝0.2 m，右端连接阻值R＝0.4 Ω的电阻。质量m＝0.1 kg的导体棒ab垂直跨接在导轨上，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2。从t＝0时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向左的牵引力F，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，图乙是棒的速度—时间图象(其中OA是直线，AC是曲线，DE是AC曲线的渐近线)，电动机在12 s末达到额定功率，此后功率保持不变。已知0～12 s内电阻R上产生的热量Q＝12.5 J。除R以外其余部分的电阻均不计，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)棒在0～12 s内的加速度大小a；
(2)电动机的额定功率P；
(3)0～12 s内牵引力做的功W。
解析：(1)由图像知t1＝12 s时的速度v1＝9 m/s
a＝＝0.75 m/s2。
(2)当棒达到收尾速度vm＝10 m/s后，棒受力平衡，有F＝μmg＋BIL
而I＝，P＝Fvm
得P＝vm＝4.5 W。
(3)在0～12 s内F是变力，根据动能定理有W－Wf－WB＝mv12－0
而WB＝Q，Wf＝μmgs
0～12 s内棒移动的距离s＝v1t1＝×9×12 m＝54 m
解得W＝27.35 J。
2．如图甲所示，电阻不计、间距为l的平行长金属导轨置于水平面内，阻值为R的导体棒ab固定连接在导轨左端，另一阻值也为R的导体棒ef垂直放置在导轨上，ef与导轨接触良好，并可在导轨上无摩擦移动。现有一根轻杆一端固定在ef中点，另一端固定于墙上，轻杆与导轨保持平行，ef、ab两棒间距为d。若整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，且从某一时刻开始，磁感应强度B随时间t按图乙所示的方式变化。
(1)求在0～t0时间内流过导体棒ef的电流的大小与方向；
(2)求在t0～2t0时间内导体棒ef产生的热量；
(3)1.5t0时刻杆对导体棒ef的作用力的大小和方向。
解析：(1)在0～t0时间内，磁感应强度的变化率＝
产生感应电动势的大小E1＝＝S＝ld＝
流过导体棒ef的电流大小I1＝＝
由楞次定律可判断电流方向为e→f。
(2)在t0～2t0时间内，磁感应强度的变化率＝
产生感应电动势的大小E2＝＝S＝ld＝
流过导体棒ef的电流大小I2＝＝
该时间内导体棒ef产生的热量Q＝I22Rt0＝。
(3)1.5t0时刻，磁感应强度B＝B0
导体棒ef受安培力：F＝B0I2l＝
方向水平向左
根据导体棒ef受力平衡可知杆对导体棒的作用力为
F′＝－F＝－，负号表示方向水平向右。
