2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六数列与函数不等式的综合问题苏教版
核心素养测评三十六 数列与函数、不等式的综合问题
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ( )
A.a1<0,0
1
C.a1>0,00,q>1
【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,
则-an>-an+1>0,则q=∈(0,1),
所以a1<0,00”是“S4 + S6>2S5”
的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件.
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件.
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7π,则tan 的值是( )
A.1 B. C.- D.-
【解析】选D.因为是等比数列,
所以a2·a6·a10==3,所以a6=.
因为{bn}是等差数列,
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所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=,
所以tan=tan =tan
=-tan =-tan =-.
4.(多选)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3).若a1>1,
则 ( )
A.a1a4 D.a1>a3
【解析】选BD.设f(x)=ln x-x(x>0),则f′(x)=-1=,
令f′(x)>0,得01,
所以f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,
所以f(x)≤f(1)=-1,即有ln x≤x-1.
从而a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1,所以a4<0,又a1>1,所以公比q<0.
若q=-1,则a1+a2+a3+a4=0,ln (a1+a2+a3)=ln a1>0,矛盾.
若q<-1,则a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)<0,而a2+a3=a2(1+q)=a1q(1+q)>0,所以ln (a1+a2+a3)>ln a1>0,
也矛盾.所以-10,所以a1>a3.
同理,因为=q2<1,a2<0,所以a4>a2.
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5.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围
为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.数列{an}满足
a1+a2+a3+…+an=n2+n, ①
当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1
=(n-1)2+(n-1),②
①-②得an=2n,故an=2n2,
数列满足:bn==
=
则:Tn=1-+-+…+-=,
由于Tn<λ(n∈N*)恒成立,
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故:<λ,整理得λ>,
因为y==在n∈N*上单调递减,故当n=1时,=,
所以λ>.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2 010=a2 012,则a20+a11的值是________.
【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,
a5==,a7==,
a9==,a11==,又a2 010=a2 012,
即a2 010=⇒+a2 010-1=0,
所以a2 010=.
又a2 010==,
所以1+a2 008==,
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即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=,
故a20+a11=+=.
答案:
7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)数列{an}的通项公式为________.
(2)数列的前n项和为________.
【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.
又{an}是递增的等差数列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,故an=2+(n-2)×=n+1.
(2)设数列的前n项和为Sn,
Sn=+++…++,①
Sn=+++…++,②
①-②得Sn=+++…+-=+++…+-
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=+-,
所以Sn=+-=2-.
答案:(1)an=n+1 (2)2-
8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为________.
【解析】因为a4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,
令λ=f(d)=-2,因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=-2,
当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求++…+.
【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则
a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,所以d=ln 2,
所以{an}的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(n∈N*).
(2)由(1)及已知,=enln 2=(eln 2)n=2n,
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所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*).
10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:++…+=n2+n,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.
【解析】(1)因为++…+=n2+n,
n=1时,可得a1=4,
n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1.
与++…+=n2+n.
两式相减可得=(2n-1)+1=2n.
所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).
(2)bn===,
所以Sn=1-+-+…+-=.
又Sn>,可得n>9,所以最小正整数n为10.
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