2017-2018学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二6月月考数学（文）试题（解析版）
2017-2018学年辽宁省沈阳铁路实验中学高二6月月考
数学（文）
时间：120分钟 分数：150分 命题人：裴晓航 校对：殷裕民
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3．用反证法证明命题：“，若可被2整除，那么中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是( )
A. 都能被2整除 B. 都不能被2整除
C. 不都能被2整除 D. 不能被2整除
4．给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题：
②命题“若，则”的否命题是“若，则”；
③若“”为真命题，“”为假命题，则为真命题，为假命题；
④函数有极值的充要条件是或 .
其中正确的个数有（ ）
A. B. C. D.
5．函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）
A. B. C. D.
6．函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8．若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上错误结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11．如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有
，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．若复数z＝1－i，则z＋的虚部是______．
14．已知函数f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
15．15．某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中4位居民的月均用水量分别为(单位:t):1,1.5,1.5,2.若根据如图所示的程序框图,则输出的结果S为_____.
16．曲线：，经过伸缩变换，得到曲线，直线：（为参数），直线与曲线交于、两点，已知点，则__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（满分10分）2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.
（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.
18．（满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成， ， ， ， ， 六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
19．（满分12分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
20．（满分12分）已知函数,
(1)讨论单调性;
(2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数 .
21．（满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线
的极坐标方程为, 点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，斜率为.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设直线与曲线相交于两点，求的值.
22．（满分12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】分析：通过解不等式求得集合A，然后再求．
详解：由题意得，
∴.
点睛：本题考查二次不等式的解法和集合的交集运算，考查学生的运算能力，属容易题．
2．B
【解析】分析：由题意首先求得复数z，然后结合负数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，则：，
结合复数模的运算法则可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．B
【解析】分析：由题意否定结论即可得到反证法假设的内容，据此即可确定结论.
详解：由反证法的定义结合题意否定题中的结论，则：
用反证法证明命题：“，若可被2整除，那么中至少有一个能被2整除．”时，
假设的内容应该是都不能被2整除.
本题选择B选项.
点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
4．B
【解析】分析：①根据原命题与逆否命题的等价性可判断；②根据否命题的定义判断；③根据“或命题”与“且命题”的性质判断；④根据有两相异根的充要条件判断.
详解：①因为命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题，①错；
② “若，则”的否命题是“若，则”， ②正确；
③若“”为真命题，“”为假命题，则真假，或假真，③错；
④求得，方程有两个不同解的充要条件是
或，所以函数有极值的充要条件是或，④正确，故选B.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的极值、充要条件、四个命题之间的关系，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
5．B
【解析】分析：根据指数函数的性质求得函数的值域,利用几何概型概率公式可得结果.
详解：，
即函数的值域,
在区间上随机取一个数,
则试验的全部结果构成的区域长度为,
则的概率是,故选B.
点睛：本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
6．C
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x>0，所以f(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.
点睛：因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，则f′(x)＝(1－x)e－x，当f′(x)>0，即(1－x)e－x>0时，得0
1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且xe－x>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，又x→＋∞，f(x)→0.因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且xe－x<0，即f(x)在x∈(－∞，0)时，其图象恒在x轴下方，又x→－∞，f(x)→0，故选C.
7．C
【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序．
详解：由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意.
故跑第三棒的人是丙.
选C.
点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果．
8．B
【解析】∵正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，∴3xy=1﹣x2，则，
∴当且仅当
即故x+y的最小值是，故选B．
考点：基本不等式
9．D
【解析】由题意得函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．
∵，
∴，
即或，
解得或．
∴实数的取值范围为．选D．
点睛：
解答本题的关键是利用函数的性质将问题进行合理的转化，由于函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，因此可根据所给出的函数值的大小，将问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题，然后根据不等式的相关知识解决．
10．C
【解析】
方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在线性回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.
11．C
【解析】当时， 。所以,
故当时， ，为减函数。
所以时， ，
故函数在的最大值与最小值之差为3-1=2。选C。
点睛：
（1）解答本题的关键是求出当时的解析式，解题时要根据给出的函数的性质求解，然后利用函数在区间上的单调性求出函数的最值。
（2）若函数图象的对称轴为，则有，也可表示为。
12．B
【解析】分析：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，求出导数，分析可得g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，结合函数g（x）的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．
详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，
其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），
又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＜0，
则g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，
（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0
⇒（x+2018）2f（x+2018）＞（﹣2）2f（﹣2）⇒g（x+2018）＞g（﹣2），
又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，
则有，
解可得：x＜﹣2020，
即不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；
故选：B．
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
13．－
【解析】分析：先化简z＋再写虚部即可.
详解：故虚部为－
点睛：考查复数的四则运算，属于基础题.
14．
【解析】由题意得当时， ，
要使函数f(x)的值域为R，则需满足，解得．
所以实数的取值范围为．
答案：
15．
【解析】通过流程图可以看出实际上是求4个数的平均数
所以，
输出S=1.5
点晴：本题考查的知识点是程序图.解决这类问题要理解图中所表示的意思，实际上就是求四个数的平均数，图中表示四个数先输入第一个数，然后再输入第二个数，求出两个数的平均数，然后再加上第三个数，再求平均数，最后加上第四个数，求出最后的平均数，然后输出结果.
16．
【解析】伸缩变换即：，据此可得：，
直线的参数方程为标准型，结合参数的几何意义可得：，
将直线的参数方程代入曲线，得：
，
化简得：同号，.
即.
17．(1)答案见解析；(2).
【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。
详解：（1）补充列联表如下：
由列联表知
故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.
（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.
记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取2人，基本事件有
共15种
记至少有一位男性观众为事件，则事件包含共9个基本事件
由古典概型，知
点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；
（2）计算的值；
（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断。
18．(1)见解析(2) (3) []
【解析】分析：（1）利用所有小矩形的面积之和为，求得分数在内的频率，再根据小矩形的高，即可补全频率分布直方图；
（2）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，即可求出中位数；
（3）计算从第一组和第六组所有人数中任取人的取法总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
详解：（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，
则有，可得，
所以频率分布直方图为：
（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为
（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，
第1组学生数： 人（设为1，2，3，4，5，6）
第6组学生数： 人（设为）[]
所有基本事件有：12，13，14，15，16， ，23，24，25，26， ， ，
，34，35，36， ， ， ，45，46， ， ,，56， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有35种，
事件包括的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ， ， ， 共有18种
所以.
点睛：本题考查了利用样本估计总体的综合应用问题，以及古典概型及其概率的计算问题，对弈频率分布直方图，应注意：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
19．(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）由和可由点斜式得切线方程；
（2）由函数在上是减函数，可得在上恒成立，，由二次函数的性质可得解.
详解：（1）当时，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为函数在上是减函数，
所以在上恒成立.
做法一：
令,有，得
故.
实数的取值范围为
做法二：
即在上恒成立，则在上恒成立，
令，显然在上单调递减，
则，得
实数的取值范围为
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
20．(1)见解析;(2)-1.
【解析】分析：（1）对a分类讨论求单调性.(2)先利用导数求出m的表达式，，再求不超过的最大整数 .
详解：（1） ，
①当时，
时，单调递减；
时，单调递增；
②当时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
③当时，时， 单调递增；
④当时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
，
当时，，单调递增；
时，，单调递减；
，， ，
所以，存在唯一的，使，即
所以，当时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，所以，.
所以，不超过的最大整数为.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求函数的最大值，主要是利用导数求解，并且利用了二次求导.，
如果函数求导之后，如果不方便求函数的单调区间，就应该二次求导.
21．(1) 直线的参数方程为 (参数).
(2) .
【解析】分析：(1)根据 （ 是参数），将左右两边同时乘以，得。将点P的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程。
(2)将A、B设成参数方程，联立曲线C得，整理化简利用韦达定理求的值。
详解：
(1)曲线的方程为
点的直角坐标为(0,3)
直线的参数方程为 (参数).
(2)设,将直线的参数方程代入曲线的方程得
整理得, 由韦达定理可知, ,
则
.
点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标间的关系。通过联立参数方程和直角坐标方程，建立与关系的方法是解决参数方程的重点，关键是在联立是保证直线的方程为标准参数方程。
22．(1) .
(2) .
【解析】分析：第一问首先将代入，然后根据零点分段将绝对值符号去掉，再去解对应的各段上的不等式，从而求得的范围，最后求并集得到结果；第二问根据所给的量词，将恒成立问题转化为相应的最值问题，结合三角不等式，分类讨论，求得结果.
详解：（1）当时，，则
当时，由得，，解得；
当时，恒成立；
当时，由得，，解得．
所以的解集为．
（2）因为对任意，都存在，使得不等式成立，
所以．
因为，所以，
且，…①
当时，①式等号成立，即．
又因为，…②
当时，②式等号成立，即．
所以，整理得，，
解得或，即的取值范围为．
点睛：该题考查的是有关不等式的问题，在解题的过程中，需要明确绝对值不等式的解法，解不等式的关键是去掉绝对值符号，利用零点分段法解决，再者就是关于恒成立问题注意向最值方向考虑，根据量词的形式，确定是最大值还是最小值.
