2017-2018学年北京四中下学期高二年级期中考试数学试题（理科）（Word版）

2017-2018学年北京四中下学期高二年级期中考试数学试题（理科）（Word版）

北京四中2017－2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. ‎ ‎1. 复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 定积分的值为 A. e+2 B. e+1 C. e D. e－1‎ ‎3. 曲线y=x3－2x+1在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x－1 B. y=－x+l C. y=2x－2 D. y=－2x+2‎ ‎4. 函数y=xcosx的导数为 A. y'=cosx－xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx－sinx D. y'=xcosx+sinx ‎5. 设f（x）=x2－2x－4 lnx，则函数f（x）的增区间为 A. （0，+） B. （－，－1），（2，+） ‎ C. （2，+） D. （－1，0）‎ ‎6. 若复数z=（x2－4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎8. 直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为 A. B. 9 C. D. ‎ ‎9. 若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3‎ ‎10. 函数f（x）=x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤t，则实数t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0‎ ‎11. 设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（－1）=0，当x>0时，xf'（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是 A. （－，－1）（0，1） B. （－1，0）（1，+） ‎ C. （－，－1）（－l，0） D. （0，1）（1，+）‎ ‎12. 设函数f（x）=（x－2）lnx－ax+l，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是 A. （0，） B. （，] ‎ C. （，1） D. [，1）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎13. 下列是关于复数的类比推理：‎ ‎①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；‎ ‎②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；‎ ‎③已知a，b∈R，若a－b>0，则a>b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2>0，则z1>z2；‎ ‎④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. ‎ 其中推理结论正确的是__________. ‎ ‎14. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=－x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________. ‎ ‎15. 已知函数f（x）=ex－2x+a有零点，则a的取值范围是_________. ‎ ‎16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=__________. ‎ ‎17. 函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：‎ ‎①f（1）+f（－1）=0； ②f（－2）>0；‎ ‎③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________.‎ ‎ （写出所有正确判断的序号）‎ ‎18. 对于函数f（x）=（2x－x2）ex ‎①（－，）是f（x）的单调递减区间；‎ ‎②f（－）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；‎ ‎③f（x）有最大值，没有最小值；‎ ‎④f（x）没有最大值，也没有最小值. ‎ 其中判断正确的是________. ‎ 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分. ‎ ‎19. 已知函数f（x）=ax3+x2a∈R. 在x=－处取得极值. ‎ ‎（I）确定a的值；‎ ‎（II）若g（x）=f（x）·ex，讨论g（x）的单调性. ‎ ‎20. 设f（x）=a（x－5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）. ‎ ‎（I）确定a的值；‎ ‎（II）求函数f（x）的单调区间与极值. ‎ ‎21. 已知函数f（x）=ex+.‎ ‎（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；‎ ‎（II）函数f（x）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由. ‎ ‎22. 已知函数f（x）=－ax. ‎ ‎（I）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（ii）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（II）若10，故g（x）为增函数；‎ 当－10时，g'（x）>0，故g（x）为增函数. ‎ 综上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数. ‎ ‎20. 解：（I）因f（x）=a（x－5）2+6 lnx，故f'（x）=2a（x－5）+. ‎ 令x=1，得f（1）=16a，f' （1）=6－8a，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y－16a=6－8a（x－1），由点（0，6）在切线上可得6－16a=8a－6，故a=. ‎ ‎（II）由（I）知f（x）=（x－5）2+6lnx（x>0），f'（x）=x－5+=. ‎ 令f'（x）=0，解得x1=2，x2=3. ‎ 当03时，f'（x）>0，故f（x）在（0，2），（3，+）上为增函数；‎ 当20，>0，所以f（x）=ex+>0，‎ 即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点. ‎ 当x∈（－∞，a）时，f（x）=ex+=，‎ 令g（x）=ex（x－a）+1，只要讨论g（x）的零点即可. ‎ g'（x）=ex（x－a+1），g'（a－1）=0. ‎ 当x∈（－∞，a－1）时，g'（x）<0，g（x）是减函数；‎ 当x∈（a－1，a）时，g'（x）>0，g（x）是增函数，‎ 所以g（x）在区间（－∞，a）上的最小值为g（a－1）=1－ea－1. ‎ 当a=1时，g（a－1）=0，所以x=a－1是f（x）的唯一的零点；‎ 当a0，所以f（x）没有零点；‎ 当a>l时，g（a－1）=1－ea－1<0. 所以f（x）有两个零点. ‎ ‎22. 解：（I）当a=2时，f（x）=－2x. ‎ f'（x）=－2=. ‎ ‎（i）可得f'（1）=0，又f（1）=－3，所以f（x）在点（1，－3）处的切线方程为y=－3. ‎ ‎（ii）在区间（0，1）上2－2x2>0，且－lnx>0，则f'（x）>0. ‎ 在区间（1，+）上2－2x2<0，且－lnx<0，则f' （x）<0. ‎ 所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）. ‎ ‎（II）由x>0，f（x）<－1，等价于－ax<－l，等价于ax2－x+1－lnx>0. ‎ 设h（x）=ax2－x+1－lnx，只须证h（x）>0成立. ‎ 因为h'（x）=2ax－1－=，10. ‎ 则h（x）的最小值为h（x0）=ax－x0+1－lnx0‎ ‎=‎ ‎=. ‎ 又h'（1）=2a－2>0，h'（）=2（）=a－3<0，‎ 所以0，－lnx0>0. ‎ 因此－lnx0>0，即h（x0）>0. 所以h（x）>0‎ 所以f（x）<－1. ‎