专题69 合情推理与演绎推理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题69 合情推理与演绎推理-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题69合情推理与演绎推理 最新考纲 ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．‎ ‎②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．‎ ‎②特点：由特殊到特殊的推理．‎ ‎(3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】归纳推理 命题点1　与数字有关的等式的推理 ‎【典型例题】‎ ‎《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（　　）‎ A．48 B．‎63 ‎C．99 D．120‎ ‎【解答】解：根据题意，‎ ‎2，则有2，‎ ‎3，则有3，‎ ‎4，则有4，‎ ‎5，则有5，‎ 若10，则有n＝102﹣1＝99；‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（　　）‎ A．01 B．‎43 ‎C．07 D．49‎ ‎【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，‎ 即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，‎ ‎2020＝504×4+4，‎ 则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，‎ 故选：A． ‎ 命题点2　与不等式有关的推理 ‎【典型例题】‎ 已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为　 　．‎ ‎【解答】解：观察已知中等式：‎ f（4）＝f（22）＞2，‎ f（8）＝f（23），‎ f（16）＝f（24）＞3，‎ f（32）＝f（25），…，‎ 则f（2n+1）（n∈N*）‎ 故答案为：f（2n+1）（n∈N*） ‎ ‎【再练一题】‎ 已知x＞1，观察下列不等式：‎ x2；‎ x23；‎ x34；‎ ‎…‎ 按此规律，第n个不等式为　 ．‎ ‎【解答】解：由x2；‎ x23；‎ x34；‎ ‎…‎ 按此规律，第n个不等式为：xnn+1，‎ 故答案为：xnn+1 ‎ 命题点3　与数列有关的推理 ‎【典型例题】‎ 把数列{an}的各项按照如图规律排成三角形数阵；若an＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为　 　．‎ ‎【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，‎ 第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，‎ 则该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a 由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，‎ 则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，‎ 则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，‎ 故答案为：﹣761． ‎ ‎【再练一题】‎ 如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，对任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，当an＞0时，点Pn（an，an+1）（　　）‎ A．只能在区域② ‎ B．只能在区域②和④ ‎ C．在区域①②③④均会出现 ‎ D．当n为奇数时，点Pn在区域②或④，当n为偶数时，点Pn在区域①或③‎ ‎【解答】解：任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，‎ 则Sn（an），‎ ‎∴Sn+1（an+1），‎ ‎∴an+1（an+1﹣an），‎ 即an+1﹣an，‎ ‎∵an＞0，‎ ‎∴an+10，‎ 解得an+1＜﹣1或0＜an+1＜1，‎ 故点Pn（an，an+1）只能在区域②和④‎ 故选：B． ‎ 命题点4　与图形变化有关的推理 ‎【典型例题】‎ 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，‎ 现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，‎ ‎∴最小正方形的边长为（）7．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“∇”，则该图案共有（　　）‎ A．16层 B．32层 C．64层 D．128层 ‎【解答】解：设该图案共有n层，则1+3+5+…+（2n﹣1）＝1024，‎ 即n2＝210，‎ 所以n＝25＝32，‎ 故选：B． ‎ 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ ‎(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎【题型二】类比推理 ‎【典型例题】‎ 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（　　）‎ A．1044 B．‎1024 ‎C．1045 D．1025‎ ‎【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，‎ 即：第一组：20，‎ 第二组：20，21，‎ 第三组：20，21，22，‎ ‎…‎ 第k组：20，21，22，…，2k﹣1，‎ 根据等比数列前n项和公式，‎ 求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，‎ 每项含有的项数为：1，2，3，…，k，‎ 总共的项数为N＝1+2+3+…+k，‎ 当k＝9时，45，‎ 故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．将此结论类比到空间四面体：设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．‎ 设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，‎ 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，‎ 所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．‎ 则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，‎ ‎∴r．‎ 故选：C． ‎ 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ ‎【题型三】演绎推理 ‎【典型例题】‎ 某演绎推理的“三段”分解如下：‎ ‎①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝logax（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（　　）‎ A．①→②→③ B．③→②→① C．②→①→③ D．②→③→①‎ ‎【解答】解：‎ ‎①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝logax（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，‎ 大前提是②，小前提是①，结论是③．‎ 故排列的次序应为：②→①→③，‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直．在以上三段论的推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．结论错误 ‎【解答】解：大前提，“矩形的对角线互相垂直”，‎ 小前提，正方形是矩形，‎ 结论，所以正方形的对角线互相垂直，‎ 大前提是错误的，因为矩形的对角线相等．‎ 以上三段论推理中错误的是：大前提，‎ 故选：A． ‎ 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ 基础知识训练 ‎1．已知，，，…，依此规律，若，则的值分别是（）‎ A．79 B．‎81 ‎C．100 D．98‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，，，…，‎ 依此规律，，则，可得，，‎ 故，‎ 故选：D．‎ ‎2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）‎ A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人 B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 D．在数列中，，可得，由此归纳出的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；‎ B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；‎ C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；‎ D为不完全归纳推理，属于合情推理．‎ 故选：C．‎ ‎3．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（　　）‎ ‎①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．‎ A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：‎ 大前提：一切奇数都不能被2整除，‎ 小前提：2019是奇数，‎ 结论：2019不能被2整除；‎ ‎∴正确的排列顺序是②③①．‎ 故选：C．‎ ‎4．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（　　）‎ A．第44行第84列 B．第45行第84列 C．第44行第83列 D．第45行第83列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，‎ 所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019 在第45行，第83列．‎ 故选：D．‎ ‎5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（　　）‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．‎ A．① B．② C．①②③ D．③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确； ‎ 对于②，‎ 正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等， ‎ 相邻两个面所成的二面角都相等，②正确； ‎ 对于③，各个面都是全等的正三角形， ‎ 各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确． ‎ ‎①②③都是合理、恰当的． ‎ 故选：C．‎ ‎6．正切函数是奇函数，是正切函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 大前提：正切函数是奇函数，正确；‎ 小前提：是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，该函数为偶函数，故错误；‎ 结合三段论可得小前提不正确.‎ 故答案选C ‎7．观察下列各式：，则的末尾两位数字为（ ）‎ A．49 B．‎43 ‎C．07 D．01‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意，得， 发现的末尾两位数为49，的末尾两位数为43，的末尾两位数为01，的末尾两位数为07，（ ）； ‎ 由于，所以的末两位数字为43；‎ 故答案选B ‎8．下面给出了四种类比推理：‎ ‎①由实数运算中的类比得到向量运算中的；‎ ‎②由实数运算中的 类比得到向量运算中的；‎ ‎③由向量的性质类比得到复数的性质；‎ ‎④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；‎ 其中结论正确的是 A．①② B．③④ C．②③ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎①设与的夹角为，则，，则成立；‎ ‎②由于向量的数量积是一个实数，设，，‎ 所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，‎ 但与不一定共线，不一定成立；‎ ‎③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；‎ ‎④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。故选：D。‎ ‎9．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下： ‎ 安全出口编号 甲，乙 乙，丙 丙，丁 丁，戊 甲，戊 疏散乘客时间（s）‎ ‎120‎ ‎220‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎200‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丁 D．戊 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a、b、‎ c、d、e，‎ 则a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200，‎ 解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140，‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，‎ 故选：C．‎ ‎10．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（ ）‎ A．直线，若，则.类比推出:向量，，，若∥，∥，则∥.‎ B．三角形的面积为，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，类比推出，可得出四面体的体积为，（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）‎ C．同一平面内，直线，若，则.类比推出:空间中，直线，若，则.‎ D．实数，若方程有实数根，则.类比推出:复数，若方程有实数根，则.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于A中，因为和任意向量都平行，所以若时，则无法得到，所以是错误的；‎ 对于B中，若四面体的四个面的面积为，四面体的表面积为，若内切球的半径为，其体积为，所以是正确的；‎ 对于C中，在空间中存在异面垂直，所以空间中，直线，若，则直线可以是任意夹角，所以是错误的；‎ 对于D中，若方程有实数根，则，但在复数方程有实根，但不满足，所以类比：复数，若方程有实数根，则是不正确的，故选B．‎ ‎11．将正整数依次排列如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 由表知第5行第3列的数是13，若第2020行第2列的数是，则的各位数字中，数字0的个数为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题前n行中共有1+2+3+…+n个整数，故第2019行中最后一个数：，‎ 第2020行中第二列的数为：，故0的个数为1‎ 故选：B ‎12．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为分，乙和丙最后得分都是分 ‎，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )‎ A．乙有四场比赛获得第三名 B．每场比赛第一名得分为 C．甲可能有一场比赛获得第二名 D．丙可能有一场比赛获得第一名 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可知,且都是正整数 当时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当时，，不满足 推断出，‎ 最后得出结论:‎ 甲5个项目得第一,1个项目得第三 ‎ 乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 ‎ 丙5个项目得第二,1个项目得第三,‎ 所以A选项是正确的.‎ ‎13．数列 猜想数列的通项公式 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据数列即：‎ 猜想数列的通项公式为：‎ 本题正确结果：‎ ‎14．凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.‎ 凸多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 长方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 五棱柱 ‎7‎ ‎10‎ ‎15‎ 三棱锥 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 四棱锥 ‎5‎ ‎5‎ ‎8‎ 猜想一般结论:F＋V－E＝____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由题知：三棱柱：，则，‎ 长方体：，则，‎ 五棱柱：，则，‎ 三棱锥：，则 四棱锥：，则，‎ 通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为。‎ ‎15．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，…，则第7行第3个数（从左往右数）为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设第行的第个数为，‎ 由题意可得，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎16．容器中有种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗粒子和一颗粒子发生碰撞则变成一颗粒子.现有粒子颗，粒子颗，粒子颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩颗粒子. 给出下列结论：‎ ‎① 最后一颗粒子可能是粒子 ‎ ‎② 最后一颗粒子一定是粒子 ‎③ 最后一颗粒子一定不是粒子 ‎ ‎④ 以上都不正确 其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎1、最后剩下的可能是A粒子 ‎10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；‎ ‎9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；‎ 所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子；‎ 这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。‎ ‎2、最后剩下的可能是C粒子 ‎10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；‎ 所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；‎ 这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。‎ ‎3、最后剩下的不可能是B粒子 A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况：‎ A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个）‎ B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变）‎ C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个）‎ A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）‎ A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子。（B多1个，AC共减少两个）‎ B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）‎ 可以发现如下规律：‎ ‎（1）从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。所以，最后剩下的不可能是B粒子。‎ ‎（2）从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.‎ ‎17．已知：；‎ ‎；‎ ‎.‎ 通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 已知；‎ ‎；‎ ‎.‎ 发现三个角为公差是的等差数列，形式为平方和等于定值 所以 证明：‎ 等式左边可化为 原式得证 ‎18．观察下列等式：‎ 按照以上式子规律：‎ ‎（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（）‎ ‎（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.（）‎ ‎【答案】(1) ，.(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）第5个等式为；‎ 第 个等式为 ，.‎ ‎（2）①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立.‎ ‎②假设 时，等式成立，即 ‎，（，）‎ 那么，当时，‎ ‎.‎ 即时等式成立.‎ 根据①和②，可知对任何，等式都成立.‎ ‎19．设，（其中，且）‎ ‎（1）请将用，来表示；‎ ‎（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广 ‎【答案】（1）；（2）结论为：，可以推广 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得：‎ 又 ‎（2）由，即 推测：‎ 证明：因为，‎ 所以，，‎ 所以 可知可以推广 ‎20．已知，.‎ ‎（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；‎ ‎（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见证明 ‎【解析】‎ 证明（1）当时，，，，‎ 当时，，，，‎ 当时，，，.‎ ‎（2）猜想：，即.‎ 下面用数学归纳法证明：①当时，上面已证.‎ ‎②假设当时，猜想成立，即，‎ 则当时，‎ ‎.‎ 因为，所以，‎ 所以，当时猜想也成立.‎ 综上可知：对，猜想均成立.‎ ‎21．如图（A），（B），（C），（D）为四个平面图形:‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（I）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将列联表补充完整；‎ 交点数 边数 区域数 ‎（A）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎（B）‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎（C）‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎（D）‎ ‎15‎ ‎（II）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为，试猜想间的数量关系（不要求证明）.‎ ‎【答案】（I）列联表见解析；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）‎ ‎（II）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为，猜想之间的数量关系为.‎ ‎22．函数令，．‎ ‎（1）求并猜想的表达式（不需要证明）； ‎ ‎（2）与相切，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎（1）， ‎ ‎.‎ 猜想 .‎ ‎（2）设切点为，‎ ‎，, ‎ 切线斜率， ‎ 解得. ‎ 所以.‎ 所以，解得.‎ 能力提升训练 ‎1．下列说法中运用了类比推理的是（ ）‎ A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为0.5‎ B．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.从而推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为 C．由数列的前5项猜出该数列的通项公式 D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 选项A:是归纳推理；选项B：是类比推理；选项C:是归纳推理；选项D:是演绎推理.‎ ‎2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ）‎ A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，‎ 小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，‎ 所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.‎ 本题正确选项：‎ ‎3．观察下列各式：…，则的末四位数字（ ）‎ A．8125 B．‎5625 ‎C．3125 D．0625‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于，末四位为，末四位的周期为，故，末四位和一样，为，故选A.‎ ‎4．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点,因为函数满足，所以是函数的极值点”，结论以上推理　　‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，‎ 而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选：A．‎ ‎5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．‎ ‎6．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点点标5，点处标6，点处标7，以此类推，则格点坐标的标签为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，观察图象的点可得处标，即；‎ 点处标，即；‎ 点处标，即，‎ ‎ ‎ 由此推断，点处标，‎ 当时，点处标，‎ 所以点位于点向左移动两格，所以点处标，故选C。‎ ‎7．写出以下各式的值：‎ ‎______；‎ ‎______；‎ ‎______．‎ 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1），，； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，，‎ 证明：，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎8．已知数列满足 ‎ ‎（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式. ‎ ‎（2）请证明你猜想的通项公式的正确性.‎ ‎【答案】（1），猜想；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知 得 猜想：.‎ ‎（2）由 ‎ 两边取倒数得： ，‎ ‎∴数列是以为首项，以为公差的等差数列， ‎ ‎∴‎ ‎9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为．‎ ‎（1）求出，，的值；‎ ‎（2）利用归纳推理，归纳出与的关系式；并猜想的表达式，不需要证明。‎ ‎【答案】（1），，．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题图可得，，．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 归纳可得：，．猜想 ‎10．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体中棱两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中表示斜边上的高，分别表示内切圆与外接圆的半径）‎ 直角三角形 直角四面体 条件 结论1‎ 结论2‎ 结论3‎ 结论4‎ 结论5‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ 记的面积依次为，‎ 平面与所成角依次为，‎ 点到平面的距离为分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为，‎ 直角三角形 直角四面体 条件 ‎ ‎ 结论1‎ 结论2‎ 结论3‎ 结论4‎ 结论5‎ 证明：设，‎ 过作，垂足为，联结，过作，垂足为，‎ 易证：，平面，则， ‎ 结论1：，‎ 在中，，‎ s ‎；‎ 结论2：，‎ ‎∴。‎ 同理，，‎ ‎∴；‎ 结论3：∵，∴，‎ 又，‎ ‎∴‎ 结论4：，‎ ‎∴.‎ 从而，即；‎ 结论5：将直角四面体补形成为以为长、宽、高的长方体，‎ 则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即.‎