【数学】2018届一轮复习人教A版笔记六不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版笔记六不等式学案

笔记六　不等式 易错点31　不等式的性质应用不当 典例31　已知0<α<π,-<β<,求α-β的取值范围.‎ ‎【错因分析】∵0<α<π,-<β<,∴0-<α-β<π-,∴α-β∈,该题容易出现的问题是套用错误,不等式具有同向相加性质,但两边不能分别相减.‎ ‎【正确解答】∵0<α<π,-<-β<,∴-<α-β<π+,∴α-β∈.‎ 易错点32　忽视基本不等式的应用条件 典例32　设a>0,b>0,且a+b=1,则函数f(x)=的最小值为　　　　. ‎ ‎【错因分析】∵=(a+b)≥2·2=4,∴函数f(x)的最小值为4.上述解法似乎很巧妙,但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样,因此取不到4.均值不等式a+b≥2(a>0,b>0)取等号的条件是“一正,二定,三相等”.‎ ‎【正确解答】=(a+b)=5+≥5+2=5+2.故填5+2.‎ ‎“和定积最大,积定和最小”.‎ 即当和为定值时,积有最大值;当积为定值时,和有最小值.‎ 易错点33　解含参数的不等式时分类讨论不当 典例33　解关于x的不等式|2x-1|≤a-2.‎ ‎【错因分析】原不等式等价于-(a-2)≤2x-1≤a-2,解得-≤x≤.由于基础不扎实,直接利用绝对值不等式的解集公式,而忽视对a-2进行分类讨论.‎ ‎【正确解答】当a-2<0时,不等式解集是⌀;当a-2≥0时,不等式解集是.‎ 易错点34　平面区域不明确或不能把握目标函数的几何意义 典例34　(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域是 (　　)‎ ‎【错因分析】一条直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为零)把平面分成两个半平面,在每个半平面内的点(x,y)使Ax+By+C值的符号一致.鉴于此,作不等式对应的平面区域方法是画线定界,取点定域,若含等号画实线,否则画虚线.对于选项A,B是因为思维不缜密导致计算错误,对于选项D是因为审题粗心,未注意到不含等号.‎ ‎【正确解答】先作出直线x+1=2y与x+y=3,得它们的交点为,将代入不等式皆成立,则可知C项平面区域即为所求.故选C.‎ 易错点35　混淆恒成立问题和存在性问题 典例35　设a>0,函数f(x)=x+,g(x)=x-ln x,若对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【错因分析】本题考生易出现的错误有两个:对“任意”理解不透彻;对f(x1)≥g(x2)恒成立的条件的使用不当,即最大值与最小值的使用不当.‎ ‎【正确解答】由于对任意x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,因此只要函数f(x)在[1,e]上的最小值大于或等于g(x)在[1,e]上的最大值即可.‎ 因为f'(x)=1-,g'(x)=1-,x∈[1,e],‎ 所以g'(x)≥0,‎ 所以g(x)max=e-1.‎ 当a>e时,f'(x)<0,‎ 所以f(x)min=f(e)=e+.‎ 由e+≥e-1,得a2≥-e恒成立,所以a>e.‎ 当1≤a≤e时,f(x)min=f(a)=2a.‎ 由2a≥e-1,得a>,所以1≤a≤e.‎ 当00,‎ 所以f(x)min=f(1)=1+a2.‎ 由1+a2≥e-1,得a≥,‎ 所以≤a<1.‎ 综上,可知a的取值范围为[,+∞).‎