2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练30 等比数列及其前N项和

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练30 等比数列及其前N项和

课时规范练30　等比数列及其前n项和 基础巩固组 ‎1.已知等比数列{an}满足a1=‎1‎‎4‎,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.2 B.1 C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎8‎ ‎2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)‎ A.‎21‎‎2‎ B.9‎3‎ C.±9‎3‎ D.35‎ ‎3.(2017安徽黄山市二模,理3)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N+),则S5=(　　)‎ A.31 B.42 C.37 D.47‎ ‎4.设首项为1,公比为‎2‎‎3‎的等比数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)‎ A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2‎ C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an ‎5.(2017全国Ⅲ,理9)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ A.-24 B.-3 C.3 D.8‎ ‎6.(2017辽宁鞍山一模,理4)已知数列{an}满足an‎2‎=an-1·an+1(n≥2),若a2=3,a2+a4+a6=21,则a4+a6+a8=(　　)‎ A.84 B.63 C.42 D.21〚导学号21500732〛‎ ‎7.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　　. ‎ ‎8.(2017北京,理10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a‎2‎b‎2‎=　　　　　. ‎ ‎9.(2017江苏,9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=‎7‎‎4‎,S6=‎63‎‎4‎,则a8=　　　　　. ‎ ‎10.(2017安徽池州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求a1+a3+…+a2n+1.‎ 综合提升组 ‎11.(2017四川广元二诊,理6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an=‎3‎‎4‎Sn+2成立.若bn=log2an,则b1 008=(　　)‎ A.2 017 B.2 016 C.2 015 D.2 014‎ ‎12.(2018河南南阳期末,理5)已知各项均为正数的等比数列{an},a3·a5=2,若f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a7),则f'(0)=(　　)‎ A.8‎2‎ B.-8‎2‎ C.128 D.-128‎ ‎13.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=‎1‎‎3‎,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ 创新应用组 ‎14.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n.‎ ‎(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;‎ ‎(2)求证:数列an‎+‎2‎‎3‎(-1‎‎)‎n为等比数列,并求出{an}的通项公式.‎ ‎〚导学号21500733〛‎ 参考答案 课时规范练30　等比数列 及其前n项和 ‎1.C　∵a3a5=4(a4-1),‎ ‎∴a‎4‎‎2‎=4(a4-1),‎ 解得a4=2.‎ 又a4=a1q3,且a1=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴q=2,‎ ‎∴a2=a1q=‎1‎‎2‎.‎ ‎2.B　∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,‎ ‎∴a2·a48=3.‎ 又a1·a49=a2·a48=a‎25‎‎2‎=3,a25>0,‎ ‎∴a1·a2·a25·a48·a49=a‎25‎‎5‎=9‎3‎.‎ ‎3.D　∵an+1=Sn+1(n∈N+),‎ ‎∴Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N+),‎ ‎∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N+),‎ ‎∴数列{Sn+1}是首项为3,公比为2的等比数列.则S5+1=3×24,解得S5=47.‎ ‎4.D　Sn=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q‎=a‎1‎‎-anq‎1-q=‎‎1-‎‎2‎‎3‎an‎1-‎‎2‎‎3‎=3-2an,故选D.‎ ‎5.A　设等差数列的公差为d,则d≠0,a‎3‎‎2‎=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+‎6×5‎‎2‎×(-2)=-24,故选A.‎ ‎6.C　∵an‎2‎=an-1·an+1(n≥2),‎ ‎∴数列{an}是等比数列,设其公比为q,∵a2=3,a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21,即q4+q2-6=0,解得q2=2或q2=-3(舍去),‎ ‎∴a4+a6+a8=a2q2+a4q2+a6q2=2(a2+a4+a6)=42,故选C.‎ ‎7.-‎1‎‎2‎　由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+‎4×3‎‎2‎×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,‎ ‎∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-‎1‎‎2‎.‎ ‎8.1　设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,‎ 由题意知-1+3d=-q3=8,‎ 即‎-1+3d=8,‎‎-q‎3‎=8,‎ 解得d=3,‎q=-2.‎ 故a‎2‎b‎2‎‎=‎‎-1+3‎‎-1×(-2)‎=1.‎ ‎9.32　设该等比数列的公比为q,则S6-S3=‎63‎‎4‎‎-‎‎7‎‎4‎=14,即a4+a5+a6=14.①‎ ‎∵S3=‎7‎‎4‎,‎ ‎∴a1+a2+a3=‎7‎‎4‎.‎ 由①得(a1+a2+a3)q3=14,‎ ‎∴q3=‎14‎‎7‎‎4‎=8,即q=2.‎ ‎∴a1+2a1+4a1=‎7‎‎4‎,a1=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴a8=a1·q7=‎1‎‎4‎×27=32.‎ ‎10.解 (1)∵S1=a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,∴Sn=2n-1,‎ 又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2.‎ 当n=1时,a1=1,不适合上式.‎ ‎∴an=‎‎1,n=1,‎‎2‎n-2‎‎,n≥2.‎ ‎(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,4为公比的等比数列,∴a3+a5+…+a2n+1=‎2(1-‎4‎n)‎‎1-4‎‎=‎‎2(‎4‎n-1)‎‎3‎.‎ ‎∴a1+a3+…+a2n+1=1+‎2(‎4‎n-1)‎‎3‎‎=‎‎2‎‎2n+1‎‎+1‎‎3‎.‎ ‎11.A　在an=‎3‎‎4‎Sn+2中,令n=1得a1=8,∵an=‎3‎‎4‎Sn+2成立,‎ ‎∴an+1=‎3‎‎4‎Sn+1+2成立,‎ 两式相减得an+1-an=‎3‎‎4‎an+1,‎ ‎∴an+1=4an,又a1≠0,∴数列{an}为等比数列,‎ ‎∴an=8·4n-1=22n+1,∴bn=log2an=2n+1,∴b1 008=2 017,故选A.‎ ‎12.B ‎13.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,‎ 因为b1=1,b2=‎1‎‎3‎,所以a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.‎ ‎(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=bn‎3‎,因此{bn}是首项为1,公比为‎1‎‎3‎的等比数列.‎ 记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=‎1-‎‎1‎‎3‎n‎1-‎‎1‎‎3‎‎=‎3‎‎2‎-‎‎1‎‎2×‎‎3‎n-1‎.‎ ‎14.(1)解 在Sn=2an+(-1)n中分别令n=1,2,3,得a‎1‎‎=2a‎1‎-1,‎a‎1‎‎+a‎2‎=2a‎2‎+1,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=2a‎3‎-1,‎ 解得a‎1‎‎=1,‎a‎2‎‎=0,‎a‎3‎‎=2.‎ ‎(2)证明 由Sn=2an+(-1)n(n∈N+)得Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),两式相减,得an=2an-1-2(-1)n(n≥2).‎ ‎∴an=2an-1-‎4‎‎3‎(-1)n-‎2‎‎3‎(-1)n ‎=2an-1+‎4‎‎3‎(-1)n-1-‎2‎‎3‎(-1)n(n≥2),‎ ‎∴an+‎2‎‎3‎(-1)n ‎=2an-1‎‎+‎2‎‎3‎(-1‎‎)‎n-1‎(n≥2).‎ ‎∴数列an‎+‎2‎‎3‎(-1‎‎)‎n是以a1-‎2‎‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎为首项,以2为公比的等比数列.‎ ‎∴an+‎2‎‎3‎(-1)n=‎1‎‎3‎×2n-1.‎ ‎∴an=‎2‎n-1‎‎3‎‎-‎‎2‎‎3‎(-1)n.‎