重要——中考二次函数压轴题解题通法研究

重要——中考二次函数压轴题解题通法研究

中考二次函数压轴题———解题通法研究 由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选内容。因此总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。‎ 几个自定义概念：‎ ‎① 三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。 ‎ ‎② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P在y=2x+1上，就可设P（t, 2t+1）.若动点Ｐ在，则可设为Ｐ（，）当然若动点M在X轴上，则设为（t, 0）.若动点M在y轴上，设为（0，ｔ）． ‎ ‎③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ‎ ‎④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ‎ ‎⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ‎ ‎⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：。     ‎ ‎⑦ X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。                 ‎ ‎⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。‎ 1. 求证“两线段相等”的问题：‎ 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； ‎ 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。‎ 2. ‎“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：‎ 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。‎ 3、 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：‎ ‎ 先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。‎ 4、 ‎“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：‎ ‎ ‎ ‎（方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式（注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二 次方程，由题有△（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 ‎ ‎ （方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。 ‎ ‎ （方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。‎ 3、 常数问题：‎ ‎ （1）点到直线的距离中的常数问题： ‎ ‎ “抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：  ‎ 先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 ‎ ‎ （2）三角形面积中的常数问题： ‎ ‎ “抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题： ‎ ‎ 先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 ‎ ‎ （3）几条线段的齐次幂的商为常数的问题： ‎ 用K点法设出直线方程，求出与抛物线（或其它直线）的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。‎ 4、 ‎“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：‎ ‎ 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。‎ 5、 三角形周长的“最值（最大值或者最小值）”问题：‎ ‎ ① “在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）： ‎ ‎ 由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。 ‎ ‎ ② “在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题（简称“三边均动的问题）： ‎ 在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形，在动点坐标一母示后，运用，把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。‎ ‎ 8、三角形面积的最大值问题：‎ ‎ ① “抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）： ‎ ‎ (方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法，‎ 求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。 ‎ ‎ （方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。 ‎ ‎ ② “三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）： ‎ ‎ 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。‎ ‎ 9、“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：‎ ‎ 由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。‎ ‎10、“定四边形面积的求解”问题：‎ 有两种常见解决的方案： ‎ 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； ‎ 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）。‎ 11、 ‎“两个三角形相似”的问题：‎ ‎ 两个定三角形是否相似： ‎ ‎（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 ‎ ‎（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。 ‎ 一个定三角形和动三角形相似： ‎ ‎（1）已知有一个角相等的情形： ‎ 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。  ‎ ‎（2）不知道是否有一个角相等的情形： ‎ 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。‎ 11、 ‎“某函数图像上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：‎ ‎ 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。‎ 12、 ‎“某图像上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：‎ 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。‎ 进一步有：‎ ‎① 若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 ‎ ‎② 若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 ‎ ‎③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。‎ 13、 ‎“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：‎ ‎（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。‎ ‎ 先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。‎ 14、 ‎“某图形（直线或抛物线）上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：‎ ‎ 若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。 ‎ 若夹直角的两边中有一边与y ‎ 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。‎ 11、 ‎“某图像上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰直角三角形”的问题：‎ ‎ ① 若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。 ‎ ‎ ② 若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。‎ 12、 ‎“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：‎ ‎ 题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。‎ 13、 ‎“在相关函数的解析式已知或者易求出的情况下，题中又含有某动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线段常”的问题：‎ ‎ （此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，本类型实际上是前面14的特殊情形。） ‎ 先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或ｙ轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转化（分割），列出面积方程”。‎ 14、 ‎“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的情况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或参数的值”的问题：‎ 此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。‎ 如果动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉）。再注意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何知识的角度进行判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。如果动图形是基本模型，就无须分割（或转化）了，直接先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方程，往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。一句话，该问题简称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，得结论”。‎