中考数学一轮复习几何篇19圆的有关概念和性质

中考数学一轮复习几何篇19圆的有关概念和性质

‎19.圆的有关概念和性质 按住ctrl键 点击查看更多中考数学资源 知识考点：‎ ‎1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；‎ ‎2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；‎ ‎3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，4），B（－3，－3），C（4，）。试判断A、B、C三点与⊙O的位置关系。‎ 分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系。‎ 解：∵OA＝‎ ‎ ∴点A在⊙O上，点B在⊙O内，点C在⊙O外。‎ ‎【例2】如图，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝ 。‎ 分析：由于⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则点O到三边的距离也相等，即O是△ABC角平分线的交点，问题就容易解决了。‎ 解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，则OD＝OE＝OF ‎ ∴O为△ABC角平分线的交点 ‎ ∵∠A＝700‎ ‎ ∴∠ABC＋∠ACB＝1100‎ ‎ ∴∠OBC＋∠OCB＝×1100＝550‎ ‎ ∴∠BOC＝1800－550＝1250‎ ‎【例3】如图1，在⊙O中，AB＝2CD，那么（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、与的大小关系不能确定 分析：如图1，把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。‎ 解：如图1，作，则 ‎ ∵在△CDE中，CD＋DE＞CE ‎ ∴2CD＞CE ‎ ∵AB＝2CD ‎ ∴AB＞CE ‎ ∴，即 ‎ ‎ 变式：如图，在⊙O中，，问AB与2CD的大小关系？‎ 略解：取的中点E，则 ‎ ∴AB＝BE＝CD ‎ ∵在△AEB中，AE＋BE＞AB ‎ ∴2CD＞AB，即AB＜2CD 探索与创新：‎ ‎【问题】已知点M（，）在抛物线上，若以M为圆心的圆与轴有两个交点A、B，且A、B两点的横坐标是关于的方程的两根（如上图）。‎ ‎（1）当M在抛物线上运动时，⊙M在轴上截得的弦长是否变化？为什么？‎ ‎（2）若⊙M与轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，试求、的值。‎ 分析：（1）设A、B两点的横坐标分别是、，由根与系数的关系知，，那么：，又因为M在抛物线上，所以。故AB＝2，即⊙M在轴上截得的弦长不变。‎ ‎（2）C（0，－1），，‎ ‎①当AC＝BC，即时，，；‎ ‎②当AC＝AB时，，，，或 ‎，‎ ‎③当BC＝AB时，，，或，‎ 跟踪训练：‎ 一、选择题：‎ ‎1、两个圆的圆心都是O，半径分别为、，且＜OA＜，那么点A在（ ）‎ A、⊙内 B、⊙外 C、⊙外，⊙内 D、⊙内，⊙外 ‎2、一个点到圆的最小距离为‎4cm，最大距离为‎9cm，则该圆的半径是（ ）‎ ‎ A、‎2.5 cm或‎6.5 cm B、‎2.5 cm C、‎6.5 cm D、‎5 cm或‎13cm ‎3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）‎ A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 ‎4、如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）‎ ‎ A、到CD的距离保持不变 B、位置不变 C、等分 D、随C点移动而移动 二、填空题：‎ ‎1、若为⊙O的直径，为⊙O的一条弦长，则与的大小关系是 。‎ ‎2、△ABC的三边分别为‎5 cm、‎12 cm、‎13 cm，则△ABC的外心和垂心的距离是 。‎ ‎3、如图，⊙O中两弦AB＞CD，AB、CD相交于E，ON⊥CD于N，OM⊥AB于M，连结OM、ON、MN，则∠MNE与∠NME的大小关系是∠MNE ∠NME。‎ ‎ ‎ ‎4、如图，⊙O中，半径CO垂直于直径AB，D为OC的中点，过D作弦EF∥AB，则∠CBE＝ 。‎ ‎5、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数为 。‎ 三、计算或证明：‎ ‎1、如图，的度数为900，点C和点D将三等分，半径OC、OD分别和弦AB交于E、F。求证：AE＝CD＝FB。‎ ‎ ‎ ‎2、如图，在⊙O中，两弦AB与CD的中点分别是P、Q，且，连结PQ，求证：∠APQ＝∠CQP。‎ ‎3、如图，在⊙O中，两弦AC、BD垂直相交于M，若AB＝6，CD＝8，求⊙O的半径。‎ ‎4、如图，已知A、B、C、D四点顺次在⊙O上，且，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM。‎ 跟踪训练参考答案 一、选择题：CABB 二、填空题：‎ ‎ 1、≥；2、‎6.5cm；3、＞；4、300；5、150或750‎ 三、计算或证明：‎ ‎1、提示：连结AC、BD，先证AC＝CD＝BD，再利用角证AC＝AE，BD＝DF即可；‎ ‎2、提示：连结OP、OQ ‎ ∵P、Q是AB、CD的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥CD ‎ ∵，∴OP＝OQ ‎ ∴∠OPQ＝∠OQP，∴∠APQ＝∠CQP ‎3、提示：连结CO并延长交⊙O于E，连结ED、AE，设⊙O的半径为R，则∠EDC＝∠EAC＝900，∴。∵AC⊥BD，∴AE∥BD，∴，∴AB＝ED，∴，而AB＝6，CD＝8，∴R＝5‎ ‎4、提示：延长DC至N，使CN＝CM，连结NB，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM，Rt△BAM≌Rt△BDN。‎