数学卷·2019届河北省邯郸市第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

数学卷·2019届河北省邯郸市第二中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）x

邯郸市第二中学高二年级（2016级）期中考试 数学试卷 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1. 已知集合，集合，则（ ）‎ A. [3，+∞） B. （3，+∞）‎ C. （-∞，-1]∪[3，+∞） D. （-∞，-1）∪（3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得：，，则[3，+∞），故选A.‎ ‎2. 已知等差数列中，，则（ ）‎ A. 20 B. 30 C. 40 D. 50‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，由题意可得：，即，故，故选A.‎ ‎3. 在中，若，则此三角形为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】在中，由以及正弦定理可知，，即，∵，，∴，，所以三角形为直角三角形，故选C.‎ ‎4. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，得或，∴命题，解得，由于成立，不成立，即命题是命题的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5. 在公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵数列为等差数列，∴，∵，∴，∵，∴，∵数列是等比数列，∴，故，故选C.‎ ‎6. 下列函数中，最小值为4的是（ ）‎ A. B. C. （） D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，，，不满足题意； B.由于，由均值不等式可得，当且仅当时取等号，故其最小值为4，满足题意；C.令，则，，因此函数单调递减，∴，不满足题意；D.当时，，不满足题意；故选B.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件 ‎7. 等差数列的前n项和为Sn，若S5=5，那么的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 2 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等差数列的前项和公式，即，由 ‎，，当且仅当，即，取“”，∴的最小值4，故选A.‎ ‎8. 已知实数满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. {a|-1≤a≤1} B. {a|a≤-1}‎ C. {a|a≤-1或a≥1} D. {a|a≥1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线， 作出不等式组对应的平面区域如图：则，，，∵的最大值为，最小值为，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若，则，此时经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足，即，可得，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得∴，综上可得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；‎ ‎（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎9. 若，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】对于①，根据不等式的性质，可知若，则，故正确，对于②若，两边同除以，则，即，故正确，对于③若，则，根据基本不等式即可得到；故正确，对于④若，则，故不正确，故选C.‎ ‎10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴或，，，，，∴的面积为，，，，，∴的面积为，故选C.‎ ‎11. 定义为个正数P1，P2…Pn的“均倒数”，若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则++…+=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得的前项和 ‎，,故选C.‎ 考点：与的关系；裂项相消数列求和.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．本题难度中等.‎ ‎12. 给出下列命题： ‎ ‎①命题“若，则方程（）无实根”的否命题；‎ ‎②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题；‎ ‎④“若，则的解集为”的逆命题． ‎ 其中真命题的序号为（ ）‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①命题“若，则方程（）无实根”的否命题是“若，则方程（）有实根”，是正确的；②命题“中，，那么为等边三角形”的逆命题是“是等边三角形，则”，是正确的；③命题“若，则＞0”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若，则的解集为”的逆命题是“若的解集为，则，∵不等式的解集为时，∴的解集为，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13. 若实数满足，则的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即 ，所以的最大值是-2，故填：-2.‎ ‎14. 如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，，则，∴，故答案为.‎ ‎15. 若变量满足约束条件，则的最大值为______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 做出如图所示可行域，由，可看作与间连线的斜率，由题时斜率最大．故本题填．‎ 点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可 行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. ‎ ‎16. 设Sn为数列{an}的前项和，已知，对任意，都有，则（）的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；利用递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的前项和公式可得的表达式，利用导数判断函数的单调性，一定要注意函数的定义域为正整数.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17. 已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列． ‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由题意可得，即，解得：，∴，∴数列的通项公式为．‎ ‎（2），‎ ‎==．‎ ‎18. 在中，已知三内角A，B，C成等差数列，且 ‎ ‎（1）求及角的值； ‎ ‎（2）设角所对的边分别为a，b，c，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）8‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质可得，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出；（2）根据正弦定理求出，再根据余弦定理求出.‎ 试题解析：（1）∵成等差数列，∴，又，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；‎ ‎（2）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得，即，解得或，∵，∴，∴，∴舍去，故．‎ ‎19. （1）若，，且，求的最小值．‎ ‎（2）已知，满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）64；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”即与基本不等式的性质即可得出.‎ 试题解析：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号． 那么：xy≥64故xy的最小值是64．‎ ‎（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+，当且仅当x=y，即x=，y=时取等号，故的最小值是：3+．‎ ‎20. 解关于的不等式 ．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.‎ 试题解析：当时，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.‎ ‎21. 命题不等式的解集是．命题：函数在定义域内是增函数，若为假命题，为真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得p，q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得 试题解析：∵命题p：不等式的解集是，∴，解得，∵命题q：函数在定义域内是增函数，∴，解得由为假命题，为真命题，可知一真一假，当真假时，由，当假真时，由，或，综上可知的取值范围为：，或 ‎22. 已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上.‎ ‎(1)求数列， 的通项，；‎ ‎(2)令，求数列的前项和；‎ ‎(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过与作差，进而整理可知数列是首项为、公比为2的等比数列，通过将点代入直线计算可知，进而整理即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）及作差法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算即得结论.‎ 试题解析：(1)解: ∵，∴,当时，，∴，∴，∴是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.‎ ‎(2)∵，∴③，因此④，③-④得： ，∴‎ ‎(3)证明:由(1)知，，∵ ，∴数列为单调递减数列；∴当时，即最大值为1，由可得，，而当时，当且仅当时取等号，∴.‎ 点睛：本题主要考查的是等差数列和等比数列通项公式以及数列的前 项和与作差法判断数列的单调性；解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎ ‎