2016—2017 学年度下学期第一次阶段性考试 高二数学（文）试卷

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2016—2017 学年度下学期第一次阶段性考试 高二数学（文）试卷 一、选择题 1．给出下列四个命题，其中正确的是 ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中存在三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④ 2．过正三棱柱底面一边所作的正三棱柱的截面是 A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形 D．梯形 3．已知 a 、b 是异面直线， a  平面 ，b  平面  ，则 、  的位置关系是 A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定 4.如图所示，正方形 O′A′B′C′的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形 的周长是 A．6 B．8 C．2＋3 2 D．2＋2 3 5．设 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 A．若 a∥α，b∥α，则 a∥b B．若 a∥α，a∥β，则α∥β C．若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α D．若 a∥α，α⊥β， 则α⊥β 6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅制 造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所 示，若π取 3，其体积为 12.6（立方寸），则图中 x 的为 A．2.5 B．3 C．3.2 D．4 7．已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形， PA  平面 ABC ．则下列结论不正确．．．的是 A． //CD 平面 PAF B． DF  平面 PAF C． //CF 平面 PAB D． CF  平面 PAD 8．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图 面积为 A． 3 2 B． 3 4 C．1 D． 1 2 9．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2。将梯 形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.2π 3 B.4π 3 C.5π 3 D．2π 10．正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，底面边长为 2，截面 AB1C1D 与底面 ABCD 所成二面角 的正切值为 2，则 B1 点到平面 AD1C 的距离为 A． 8 3 B． 2 2 3 C． 4 2 3 D． 4 3 11．如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将△ADE 沿 AE 翻折成△SAE，使得平面 SAE⊥平面 ABCE，则下列说法中正确的有 ①存在点 E 使得直线 SA⊥平面 SBC； ②平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 ③平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行； ④存在点 E 使得 SE⊥BA． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12 ． 如 图 , 已 知 正 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 棱 长 为 1, 动 点 P 在 此 正 方 体 的 表 面 上 运 动 , 且 (0 3)PA x x   ,记点 P 的轨迹的长度为 ( )f x ,则函数 ( )f x 的图像可 能是 二、填空题 13．如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是∠ABC 为直角的等腰 直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上， 当 AF＝________时，CF⊥平面 B1DF. 14. 如 图 ， 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA=AB=AC=2 ， 30ASB BSC CSA       ，M、N 分别为 SB、SC 上的点，则△AMN 周长最小值为 . 15. 已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长取最小值时,沿对角线 AC 把 ACD 折起,则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 。 16．空间中任意放置的棱长为 2 的正四面体 ABCD.下列命题正确的是_________.（写出所有正确 的命题的编号） ①正四面体 ABCD的主视图面积可能是 2 ； ②正四面体 ABCD的主视图面积可能是 3 62 ； ③正四面体 ABCD的主视图面积可能是 3 ； ④正四面体 ABCD的主视图面积可能是 2 ⑤正四面体 ABCD的主视图面积可能是 4 . A B C S N M 第 14 题 三、解答题 17（本小题满分 10 分） 如图，正四棱锥 P﹣ABCD 中底面边长为 2 ，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ． （I）求正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径； （II）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值． 18（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 ACC1A1⊥侧面 ABB1A1， ∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1． （Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1； （Ⅱ）求三棱锥 ABC﹣A1B1C1 的侧面积． 19．（本题满分 12 分） 如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA⊥底面 ABCD，且 PA=AB=AC=2， ． （Ⅰ）求证：平面 PCD⊥平面 PAC； （Ⅱ）如果 M 是棱PD 上的点，N 是棱 AB 上一点，AN=2NB，且三 棱锥 N﹣BMC 的体积为 ，求 的值． 20（本小题满分 12 分） 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC， ，O 为 AD 上一点，且 AO=1，平面外 两点 P，E 满足 ，AE=1，EA⊥平面 ABCD，PO∥EA． （I）证明：BE∥平面 PCD． （II）求该几何体的体积． 21（本小题满分 12 分） 曲线 1C 上任意一点 M 满足 4|||| 21  MFMF , 其中 F 1 (- ),0,3 F 2 ( ),0,3 抛物线 2C 的焦 点是直线 y＝x－1 与 x 轴的交点, 顶点为原点 O. （I）求 1C ， 2C 的标准方程； （II）请 问是否存在直线 l 满足条件：① 过 2C 的焦点 F ；② 与 1C 交于不同两点 M ， N ， 且满足 ONOM  ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 22.（本题满分 12 分）已知函数    ln .x kf x k Rx x    （1）若曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线斜率为 10，求函数  f x 的最大值； （2）若不等式  2 1 01x f x x   与  2 21 2 72 xk x e x e     在 1, 上均恒成立，求实 数 k 的取值范围. 2016—2017 学年度下学期第一次阶段性考试 高二数学（文）试卷 1-12 ABABC BDBCA AB 13.a 或 2a 14. 2 2 15.16 16．①②③④ 【解析】对于四面体 ABCD，如下图： 当光线垂直于底面 BCD 时，主视图为 BCD ，其面积为 1 2 3= 32   ，③正确； 当光线平行于底面 BCD ，沿CO 方向时，主视图为以 BD 为底，正四面体的高 AO 为高的三角形， 则其面积为 2 21 3 2 62 2 (2 )2 3 3      ，②正确； 当 光 线 平 行 于 底 面 BCD ， 沿 CD 方 向 时 ， 主 视 图 为 图 中 △ ABE ， 则 其 面 积 为 2 21 3 32 2 (2 ) 22 2 3       ，①正确； 将正四面体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面 积为 2 2 2  ，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确. 17．【解答】解：（1）连结 AC，BD 交于点 O，连结 PO，则 PO⊥面 ABCD， ∴∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角， ∴tan∠PAO= ． 又 AB=2 ，则 PO=AO•tan∠PAO= ． 设 F 为外接球球心，连 FA， 易知 FA=FP，设 FO=x，则 x2+4=（ ﹣x）2， ∴x= ， ∴正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球半径为 ； （2）连结 EO，由于 O 为 BD 中点，E 为 PD 中点，所以 EO ． ∴∠AEO 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角． 在 Rt△POD 中， ． ∴ ． 由 AO⊥BD，AO⊥PO 可知 AO⊥面 PBD． 所以 AO⊥EO， 在 Rt△OAE 中，tan∠AEO= = = ， 即异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值为 ． 18．【解答】证明：（Ⅰ）取 AA1 中点 O，连结 OC1，AC1， ∵AA1=AC=A1C1=4，∠C1A1A=60°，∴△AC1A1 为正三角形， ∴OC1⊥AA1，OC1=2 ， 又侧面 ACC1A1⊥侧面 ABB1A1，面 ACC1A1∩面 ABB1A1=AA1，OC1⊂面 ACC1A1， ∴OC1⊥平面 ABB1A1， 又 A1B1⊂平面 ABB1A1，∴OC1⊥A1B1， 在△OA 1B1 中，∵∠OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2， ∴ =1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得 OB1= ， ∴OA1 2=OB1 2+ ，∴A1B1⊥OB1， 又 OB1∩OC1=O，OB1⊂平面 OB1C1，OC1⊂平面 OB1C1， ∴A1B1⊥平面 OB1C1， ∵B1C1⊂平面 OB1C1，∴A1B1⊥B1C1． 解：（Ⅱ）依题意， =8 ， 在平行四边形 ABB1A1 中，过 B1 作 B1E⊥1 于点 E， 过 O 作 OF⊥BB1 于点 F，则 OFB1E 为矩形，∴OF=B1E， 由（1）知 OC1⊥平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴BB1⊥OC1， ∵BB1⊥OF，OC1∩OF=O，OC1⊂平面 OC1F，OF⊂平面 OC1F， ∴BB1⊥平面 OC1F，∵C1F⊂平面 OC1F， ∴C1F⊥BB1， ∵ ， 在 Rt△OC1F 中，OC1=2 ，OF=B1E= ， ∴C1F= = ， ∴ =BB1× ， ∴ 三 棱 锥 ABC ﹣ A1B1C1 的 侧 面 积 S=2 = ． 19．【解答】证明：（Ⅰ）连结 AC，在△ABC 中，AB=AC=2， ， ∴BC2=AB2+AC2，则 AB⊥AC． ∵AB∥CD，∴AC⊥CD． 又∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面 PAC， ∵CD⊆面 PCD，∴平面 PCD⊥平面 PAC； 解：（Ⅱ）设 M 点到面 ABCD 的距离为 d， 则 ． 由 VN﹣BMC=VM﹣BNC= = ， 得 ． ∵ ， ∴ ． 20．【分析】（1）在平面 PCD 内作直线 FC，利用直线与平面平行的判定定理证明 BE∥平面 PCD． （2）分割几何体为两个棱锥，利用已知数据即可求该几何体的体积． 【解答】解：（1）作 EF∥AD，交 PD 于 F，连结 FC，OB，作 FG∥EA，交 AD 于 G，连结 GC， ∵AD∥BC， ，EF∥AD， ∴AEFG 是矩形，∵BC AG，∴EF BC， ∴BCFE 是平行四边形，BE∥CF，CF⊂面 PCD，BE⊄ 面 PCD， ∴BE∥平面 PCD． （2）由题意，几何体看作 P﹣BCDO，B﹣POAE 两个棱锥的体积的和， ∵EA⊥平面 ABCD，PO∥EA，∴PO⊥平面 ABCD， ∵AO=1，平面外两点 P，E 满足 ，AE=1，等腰梯形 ABCD 中 ， AD∥BC， ， ∴BO⊥平面 PEAO， ∴ 几 何 体 的 体 积 为 ： VP ﹣ BCDO+VB ﹣ POAE= = ． 21.解：(1) 1C 的方程为： 14 2 2  yx ， 2C 的方程为： xy 42  。 （2）假设存在这样的直线l ，设其方程为 myx 1 ，两交点坐标为 ),(),,( 2211 yxNyxM ， 由      14 1 2 2 yx myx 消去 x ，得   0324 22  myym ， , 4 3, 4 2 221221     m yy m myy ①      21 2 212121 111 yymyymmymyxx  4 44 4 3 4 21 2 2 2 2 2       m m m m m mm ，②  ONOM  ， ,0,0 2121  yyxxONOM ③ 将①②代入③得， ,0 4 3 4 44 22 2      mm m 解得 2 1m 所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为 22  xy 或 22  xy ． 22．